《2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.4 函數(shù)的應(yīng)用(一)教學案 新人教A版必修第一冊》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.4 函數(shù)的應(yīng)用(一)教學案 新人教A版必修第一冊(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、3.4 函數(shù)的應(yīng)用(一)
(教師獨具內(nèi)容)
課程標準:1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學語言和工具.2.在實際情境中,能夠運用已經(jīng)學過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)及冪函數(shù)建立模型,解決簡單的實際問題,體會這些函數(shù)在解決實際問題中的作用.
教學重點:用函數(shù)模型來解決實際問題.
教學難點:建立函數(shù)模型.
【知識導學】
知識點 用函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟
(1)審題:弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,用函數(shù)刻畫實際問題,初步選擇模型.
(2)建模:將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言,利用數(shù)學知識,建立相應(yīng)的數(shù)學模型.
(3)求模:求解數(shù)學模型,得到數(shù)學
2、結(jié)論.
(4)還原:利用數(shù)學知識和方法得出的結(jié)論還原到實際問題中.
可將這些步驟用框圖表示如下:
【新知拓展】
常見的函數(shù)模型
(1)一次函數(shù)模型:即直線模型,其特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值勻速增大或減?。F(xiàn)實生活中很多事例可以用該模型來表示,例如:勻速直線運動的時間和位移的關(guān)系,彈簧的伸長量與拉力的關(guān)系等.
(2)二次函數(shù)模型:二次函數(shù)為生活中最常見的一種數(shù)學模型,因二次函數(shù)可求其最大值(或最小值),故最優(yōu)、最省等問題常常是二次函數(shù)的模型.
(3)分段函數(shù)模型:由于分段函數(shù)在不同的區(qū)間中具有不同的解析式,因此分段函數(shù)在研究條件變化的實際問題,或者在某一特定條件下的實際問題
3、中具有廣泛的應(yīng)用.
1.判一判(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在用函數(shù)模型解決實際問題時,得到的數(shù)學問題的解就是實際問題的解.( )
(2)現(xiàn)實生活中有很多問題都可以用分段函數(shù)來描述,如出租車計費,個人所得稅等.( )
(3)一根蠟燭長20 cm,點燃后每小時燃燒5 cm,燃燒時剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(h)的函數(shù)關(guān)系可以用一次函數(shù)模型來刻畫.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√
2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)
(1)某人從A地出發(fā),開汽車以80千米/小時的速度經(jīng)2小時到達B地,在B地停留2小時,則汽車離開A地的距離y(單位:千米)是時間
4、t(單位:小時)的函數(shù),該函數(shù)的解析式是________.
(2)有200 m長的籬笆材料,如果利用已有的一面墻(假設(shè)長度夠用)作為一邊,圍成一塊矩形菜地,那么矩形的長為________ m,寬為________ m時,這塊菜地的面積最大.
答案 (1)y= (2)100 50
題型一 一次函數(shù)模型解決實際問題
例1 某服裝廠每天生產(chǎn)童裝200套或西服50套,已知每生產(chǎn)一套童裝需成本40元,可獲得利潤22元,每生產(chǎn)一套西服需成本150元,可獲得利潤80元.由于資金有限,該廠每月成本支出不超過23萬元,為使贏利最大,若按每月30天計算,應(yīng)安排生產(chǎn)童裝和西服各多少天(天數(shù)為整數(shù))
5、?并求出最大利潤.
[解] 設(shè)生產(chǎn)童裝的天數(shù)為x,則生產(chǎn)西服的天數(shù)為(30-x),每月生產(chǎn)童裝和西服的套數(shù)分別為200x和50(30-x),每月生產(chǎn)童裝和西服的成本分別為40×200x元和150×50×(30-x)元,每月生產(chǎn)童裝和西服的利潤分別為22×200x元和80×50×(30-x)元,則總利潤為y=22×200x+80×50×(30-x),化簡得y=400x+120000.
注意到每月成本不超過23萬元,則40×200x+150×50×(30-x)≤230000,從而求出x的取值范圍是0≤x≤10,且x為整數(shù).顯然當x=10時,贏利最大,最大利潤是124000元.
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6、
用一次函數(shù)模型解決實際問題的解題方法
(1)建立一次函數(shù)模型時應(yīng)先求出自變量的取值范圍;
(2)根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系建立一次函數(shù)模型;
(3)利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行求解、檢驗.
某列火車從北京西站開往石家莊,全程277 km.火車出發(fā)10 min開出13 km后,以120 km/h勻速行駛.試寫出火車行駛的總路程s與勻速行駛的時間t之間的關(guān)系,并求離開北京2 h時火車行駛的路程.
解 因為火車勻速運動的時間為(277-13)÷120=(h),所以0≤t≤.因為火車勻速行駛t h所行駛路程為120t,所以,火車行駛總路程s與勻速行駛時間t之間的關(guān)系是s=13+12
7、0t.離開北京2 h時火車行駛的路程s=13+120×=233(km).
題型二 二次函數(shù)模型解決實際問題
例2 某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品,其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y=-48x+8000,已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸.若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元,那么當年產(chǎn)量為多少噸時,可以獲得最大利潤?最大利潤是多少?
[解] 設(shè)可獲得總利潤為R(x)萬元,
則R(x)=40x-y
=40x-+48x-8000
=-+88x-8000
=-(x-220)2+1680(0≤x≤210).
∵R(x)在[0,210]上單調(diào)
8、遞增,
∴x=210時,
R(x)max=-(210-220)2+1680=1660(萬元).
∴年產(chǎn)量為210噸時,可獲得最大利潤1660萬元.
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用二次函數(shù)模型解題的策略
(1)根據(jù)實際問題建立函數(shù)解析式(即二次函數(shù)關(guān)系式).
(2)利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法求函數(shù)的最值,從而解決實際問題中的最值問題.
(3)解答二次函數(shù)最值問題最好結(jié)合二次函數(shù)的圖象.
有甲、乙兩種商品,經(jīng)營銷售這兩種商品所獲得的利潤依次為Q1萬元和Q2萬元,它們與投入的資金x萬元的關(guān)系是Q1=x,Q2=.現(xiàn)有3萬元資金投入使用,則對甲、乙兩種商品如何
9、投資才能獲得最大利潤?
解 設(shè)對甲種商品投資x萬元,則對乙種商品投資(3-x)萬元,總利潤為y萬元.
所以Q1=x,Q2=.
所以y=x+(0≤x≤3),
令t=(0≤t≤),則x=3-t2.
所以y=(3-t2)+t=-2+.
當t=時,ymax==1.05(萬元),
即x==0.75(萬元),所以3-x=2.25(萬元).
由此可知,為獲得最大利潤,對甲、乙兩種商品的資金投入分別為0.75萬元和2.25萬元,共獲得利潤1.05萬元.
題型三 分段函數(shù)模型解決實際問題
例3 某廠生產(chǎn)某種零件,每個零件的成本為40元,出廠單價定為60元,該廠為鼓勵銷售商訂購,決定當一次訂
10、購量超過100個時,每多訂購1個,訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元,但實際出廠單價不能低于51元.
(1)當一次訂購量為多少個時,零件的實際出廠單價恰降為51元?
(2)設(shè)一次訂購量為x個,零件的實際出廠單價為P元,寫出函數(shù)P=f(x)的表達式;
(3)當銷售商一次訂購500個零件時,該廠獲得的利潤是多少元?如果訂購1000個,利潤又是多少元?
(工廠售出一個零件的利潤=實際出廠單價-成本)
[解] (1)設(shè)每個零件的實際出廠價恰好降為51元時,一次訂購量為x0個,則x0=100+=550(個).因此,當一次訂購量為550個時,每個零件的實際出廠價恰好降為51元.
(2)當
11、0550時,P=51.
∴P=f(x)=(x∈N).
(3)設(shè)銷售商一次訂購量為x個時,工廠獲得的利潤為L元,
則L=(P-40)x=(x∈N).
當x=500時,L=6000;當x=1000時,L=11000.
因此,當銷售商一次訂購500個零件時,該廠獲得的利潤是6000元;如果訂購1000個,利潤是11000元.
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用分段函數(shù)模型解決實際問題的解法
分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同,可以先將其當作幾個問題,將各段的變化規(guī)律分別找出來,再將其合到一
12、起,要注意各段變量的范圍,特別是端點值.
有一新款服裝在4月份(共30天)投放某專賣店銷售,日銷售量y(單位:件)關(guān)于時間n(1≤n≤30,n∈N*)(單位:天)的函數(shù)圖象如圖所示,其中函數(shù)y=f(n)的圖象中的點位于斜率為5和-3的兩條直線上,兩直線的交點的橫坐標為m,且第m天日銷售量最大.
(1)求f(n)的表達式,及前m天的銷售總量;
(2)按規(guī)律,當該服裝的銷售總量超過400件時,社會上流行該服裝,而日銷售量連續(xù)下降并低于30件時,該服裝的流行會消失.試問該服裝在社會上流行的天數(shù)是否會超過10天?并說明理由.
解 (1)由圖象知,當1≤n≤m且n∈N*時,設(shè)f
13、(n)=5n+b,將點(1,2)代入,得5+b=2,
解得b=-3,則f(n)=5n-3.
由f(m)=57,即5m-3=57,得m=12.
當12400,
∴從第14天開始銷售總量超過400件,即該服裝開始流行.
設(shè)第n天的日銷售量開始低于30件(12
14、,即f(n)=-3n+93<30,解得n>21.
∴從第22天開始日銷售量低于30件,即流行時間為14號至21號.
∴該服裝在社會上流行的天數(shù)不超過10天.
題型四 綜合運用所學知識解決實際問題
例4 某商品每件成本價為80元,售價為100元,每天售出100件.若售價降低x成(1成=10%),售出商品數(shù)量就增加x成.要求售價不能低于成本價.
(1)設(shè)該商店一天的營業(yè)額為y,試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x),并寫出定義域;
(2)若要求該商品一天營業(yè)額至少為10260元,求x的取值范圍.
[解] (1)由題意得y=100·100.
因為售價不能低于成本價,所以100-80
15、≥0,得x≤2.所以y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定義域為[0,2].
(2)由題意得20(10-x)(50+8x)≥10260,化簡得8x2-30x+13≤0.解得≤x≤.所以x的取值范圍是.
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對于此類實際應(yīng)用問題,應(yīng)先根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式,再解決數(shù)學問題,最后結(jié)合問題的實際意義作出回答.建立函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵.
甲廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10),每小時可獲得的利潤是100元.
(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元,求x的取值范圍;
(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大,問
16、:甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度?并求最大利潤.
解 (1)根據(jù)題意,得
200≥3000,
整理得5x-14-≥0,即5x2-14x-3≥0,
又1≤x≤10,可解得3≤x≤10.
即要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元,x的取值范圍是[3,10].
(2)設(shè)利潤為y元,則
y=·100=9×104
=9×104,
故當x=6時,ymax=457500元.
即甲廠以6千克/小時的生產(chǎn)速度生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品時獲得的利潤最大,最大利潤為457500元.
1.設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a>0)米,小王騎自行車勻速從甲地到乙地用了20分鐘,在乙地休息10分鐘后,他又
17、勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘,則小王從出發(fā)到返回原地所走過的路程y(米)和其所用的時間x(分)的函數(shù)圖象為(如下圖所示)( )
答案 D
解析 注意到y(tǒng)表示“小王從出發(fā)到返回原地所走過的路程”,而不是位移.故選D.
2.某學校要召開學生代表大會,規(guī)定各班每10人推選一名代表,當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表.那么,各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=
答案 B
解析 根據(jù)規(guī)定可知,當各班人數(shù)除以10的余數(shù)分別為7,8,9時可以
18、增選一名代表,所以最小應(yīng)該加3,因此利用取整函數(shù)可表示為y=.
3.生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本,某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)=x2+2x+20(萬元).1萬件售價是20萬元,若該企業(yè)生產(chǎn)的這種商品能夠全部售出,那么為獲取最大利潤,該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品的數(shù)量為( )
A.18萬件 B.20萬件 C.16萬件 D.8萬件
答案 A
解析 利潤L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,當x=18時,L(x)有最大值.故選A.
4.某同學將父母給的零用錢按每月相等的數(shù)額存放在儲蓄盒內(nèi),準備捐給希望工程,盒內(nèi)原有60元,2個月后盒內(nèi)
19、有80元.則盒內(nèi)錢數(shù)y(元)與存錢月數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式為________.
答案 y=10x+60(x≥0)
解析 設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b.因為當x=0時,y=60;當x=2時,y=80,所以解得所以y=10x+60(x≥0).
5.心理學家發(fā)現(xiàn),學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x(單位:分)之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30),y值越大,表示接受能力越強.
(1)x在什么范圍內(nèi),學生的接受能力逐步增強?x在什么范圍內(nèi),學生的接受能力逐步降低?
(2)第10分鐘時,學生的接受能力是多少?
(3)第幾分鐘時,學生的接受能力最強?
解 (1)因為y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9.
所以,當0≤x≤13時,學生的接受能力逐步增強;
當13≤x≤30時,學生的接受能力逐步下降.
(2)當x=10時,y=-0.1×(10-13)2+59.9=59,
即第10分鐘時,學生的接受能力為59.
(3)當x=13時,y取最大值.
所以,在第13分鐘時,學生的接受能力最強.
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