《2019高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題五 立體幾何 第一講 空間幾何體的三視圖、表面積與體積學案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題五 立體幾何 第一講 空間幾何體的三視圖、表面積與體積學案 理（28頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第一講　空間幾何體的三視圖、表面積與體積 考點一　空間幾何體的三視圖與直觀圖 1．三視圖的排列規(guī)則 俯視圖放在正(主)視圖的下面，長度與正(主)視圖的長度一樣，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．即“長對正、高平齊、寬相等”． 2．原圖形面積S與其直觀圖面積S′之間的關(guān)系 S′＝S. [對點訓練] 1．(2018·全國卷Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可

2、以是(　　) [解析]　兩個木構(gòu)件咬合成長方體時，小長方體(榫頭)完全嵌入帶卯眼的木構(gòu)件，易知俯視圖可以為A.故選A. [答案]　A 2．(2018·河北衡水中學調(diào)研)正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(如圖)，用過點A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的左視圖為(　　) [解析]　過點A，E，C1的截面為AEC1F，如圖，則剩余幾何體的左視圖為選項C中的圖形．故選C. [答案]　C 3．(2018·江西南昌二中模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示，在該幾何體的各個面中，面積最小的面的面積為(　　) A．8 B．4 C．4

3、 D．4 [解析]　由三視圖可知該幾何體的直觀圖如圖所示，由三視圖特征可知，PA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝AC＝4，DB＝2，則易得S△PAC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP＝12，S△BCD＝×4×2＝4，故選D. [答案]　D 4．如圖所示，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45°，腰和上底長均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積為________． [解析]　直觀圖的面積S′＝×(1＋1＋)×＝.故原平面圖形的面積S＝＝2＋. [答案]　2＋ [快速審題]　(1)看到三視圖，想到常見幾何體的三視圖，進而還原空間幾

4、何體． (2)看到平面圖形直觀圖的面積計算，想到斜二側(cè)畫法，想到原圖形與直觀圖的面積比為. 　由三視圖還原到直觀圖的3步驟 (1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面． (2)根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置． (3)確定幾何體的直觀圖形狀． 考點二　空間幾何體的表面積與體積 1．柱體、錐體、臺體的側(cè)面積公式 (1)S柱側(cè)＝ch(c為底面周長，h為高)； (2)S錐側(cè)＝ch′(c為底面周長，h′為斜高)； (3)S臺側(cè)＝(c＋c′)h′(c′，c分別為上下底面的周長，h′為斜高)． 2．柱體、錐體、臺體的

5、體積公式 (1)V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)； (2)V錐體＝Sh(S為底面面積，h為高)； (3)V臺＝(S＋＋S′)h(不要求記憶)． 3．球的表面積和體積公式 S表＝4πR2(R為球的半徑)，V球＝πR3(R為球的半徑)． [對點訓練] 1．(2018·浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 [解析]　由三視圖可知該幾何體是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上，下底邊的長分別為1 cm,2 cm，高為2 cm，直四棱柱的高為2 cm.故直四棱柱的體積V＝×2×2＝6

6、 cm3. [答案]　C 2．(2018·哈爾濱師范大學附中、東北師范大學附中聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體的表面積是(　　) A.＋2 B.＋2 C.＋3 D.π＋2 [解析]　由三視圖知，此幾何體為一個半圓錐，其底圓半徑為1，高為2，故母線長為＝，所以該幾何體的表面積S＝π×1×＋π×12＋×2×2＝＋2.故選B. [答案]　B 3．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　由已知易得該幾何體是一個以正視圖為底面，高為2的四棱錐．由于正視圖是一個上底邊為

7、2，下底邊為4，高為2的直角梯形，故該四棱錐的底面積S＝×(2＋4)×2＝6，則V＝Sh＝×6×2＝4.故選D. [答案]　D 4．(2018·太原一模)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．6π＋1 B.＋1 C.＋ D.＋1 [解析]　由幾何體的三視圖知，該幾何體為一個組合體，其中下部是底面直徑為2，高為2的圓柱，上部是底面直徑為2，高為1的圓錐的四分之一，所以該幾何體的表面積為4π＋π＋＋＋1＝＋1，故選D. [答案]　D [快速審題]　(1)看到求規(guī)則圖形的表面積(體積)，想到相應(yīng)幾何體的表面積(體積)公式． (2)看到求不規(guī)則圖形

8、的表面積，想到幾何體的側(cè)面展開圖． (3)看到求不規(guī)則圖形的體積，想到能否用割補思想、特殊值法等解決． 　求幾何體表面積和體積關(guān)鍵過好“兩關(guān)” (1)還原關(guān)，即利用“長對正，寬相等，高平齊”還原空間幾何體的直觀圖． (2)公式關(guān)，即會利用空間幾何體的體積或表面積公式求簡單組合體的體積或表面積． 考點三　多面體與球的切接問題 　與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖．角度1：與球的組合體中求棱柱(錐)的表面積或體積 [探究追問]　若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC－A1B1C

9、1的6個頂點都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面積． [解]　將直三棱柱補形為長方體ABEC－A1B1E1C1， 則球O是長方體ABEC－A1B1E1C1的外接球． ∴體對角線BC1的長為球O的直徑． 因此2R＝＝13. 故S球＝4πR2＝169π. 　“切”“接”問題的處理方法 (1)“切”的處理：解決與球有關(guān)的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時要先找準切點，通過作截面來解決．如果內(nèi)切的是多面體，則多通過多面體過球心的對角面來作截面． (2)“接”的處理：把一個多面體的幾個頂點放在球面上即球的外接問題．解決這類問題的關(guān)

10、鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑． [對點訓練] 1．[角度1](2018·廣東惠州二模)已知三棱錐S－ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，AB＝2，SA＝SB＝SC＝2，則三棱錐S－ABC的外接球的球心到平面ABC的距離是(　　) A. B．1 C. D. [解析]　∵三棱錐S－ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，SA＝SB＝SC＝2，∴S在底面ABC內(nèi)的射影為AB的中點，設(shè)AB的中點為H，連接SH，CH， ∴SH⊥平面ABC，∴SH上任意一點到A，B，C的距離相等，易知SH＝，CH＝1，∴Rt△SHC中∠HSC＝30°.在面SH

11、C內(nèi)作SC的垂直平分線MO，交SH于點O，交SC于點M，則O為三棱錐S－ABC的外接球的球心．∵SC＝2，∴SM＝1，又∠OSM＝30°，∴SO＝，OH＝，∴球心O到平面ABC的距離為，故選A. [答案]　A 2．[角度2](2018·武漢調(diào)研)一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖為等腰直角三角形，正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰三角形，則此三棱錐外接球的表面積為(　　) A．16π B．9π C．4π D．π [解析]　三棱錐如右圖，設(shè)外接球半徑為R，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，D為BC中點．SD⊥面ABC.球心O在SD上，SD＝2.在直角△ODC中，OC＝R，OD＝2－

12、R，DC＝.則(2－R)2＋()2＝R2，即R＝，故V－ABC的外接圓的表面積為S＝4πR2＝9π，選B. [答案]　B 1．(2018·全國卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為(　　) A．2 B．2 C．3 D．2 [解析]　由圓柱的三視圖及已知條件可知點M與點N的位置如圖1所示，設(shè)ME與FN為圓柱的兩條母線，沿FN將圓柱的側(cè)面展開，如圖2所示，連接MN，MN即為從M到N的最短路徑，由題意知，ME＝2，EN＝4，∴MN

13、＝＝2.故選B. [答案]　B 2．(2018·北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　由三視圖得四棱錐的直觀圖如圖所示．其中SD⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，SD＝AD＝CD＝2，AB＝1.由SD⊥底面ABCD，AD，DC，AB?底面ABCD，得SD⊥AD，SD⊥DC，SD⊥AB，故△SDC，△SDA為直角三角形，又∵AB⊥AD，AB⊥SD，AD，SD?平面SAD，AD∩SD＝D，∴AB⊥平面SAD，又SA?平面SAD，∴AB⊥SA，即△SAB也是直角三角形，從而SB＝＝3，又

14、BC＝＝，SC＝2，∴BC2＋SC2≠SB2，∴△SBC不是直角三角形，故選C. [答案]　C 3．(2017·浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A.＋1 B.＋3 C.＋1 D.＋3 [解析]　由三視圖可知該幾何體是由底面半徑為1 cm，高為3 cm的半個圓錐和三棱錐S－ABC組成的，如圖，三棱錐的高為3 cm，底面△ABC中，AB＝2 cm，OC＝1 cm，AB⊥OC.故其體積V＝××π×12×3＋××2×1×3＝cm3.故選A. [答案]　A 4．(2018·天津卷)已知正方體ABCD－A1B1C

15、1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M－EFGH的體積為________． [解析]　由題意知四棱錐的底面EFGH為正方形，其邊長為，即底面面積為，由正方體的性質(zhì)知，四棱錐的高為.故四棱錐M－EFGH的體積V＝××＝. [答案]　 5．(2017·江蘇卷)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________． [解析]　設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R，則由題設(shè)可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R，高為2R，∴＝＝. [答案]　 1

16、.該部分在高考中一般會以“兩小”或“一小”的命題形式出現(xiàn)，這“兩小”或“一小”主要考查三視圖，幾何體的表面積與體積． 2．考查一個小題時，本小題一般會出現(xiàn)在第4～8題的位置上，難度一般；考查2個小題時，其中一個小題難度一般，另一小題難度稍高，一般會出現(xiàn)在第10～16題的位置上，本小題雖然難度稍高，主要體現(xiàn)在計算量上，但仍是對基礎(chǔ)知識、基本公式的考查． 熱點課題12　補形法求幾何體的表面積與體積 [感悟體驗] 1．(2018·太原一模)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．2 B. C．4 D. [解析]　觀察三視圖并依托正方體，可得該幾何體

17、直觀圖為A1－ABEF，如圖所示，其體積為V正方體－VAFD－BEC－VA1－BEC1B1－VA1－FEC1D1＝2×2×2－×2×1×2－×2×(1＋2)×2×－×1×2×2＝. [答案]　B 2．(2018·合肥聯(lián)考)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線(實線和虛線)表示的是某幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的體積為(　　) A．24π B．29π C．48π D．58π [解析]　如圖，在3×2×4的長方體中構(gòu)造符合題意的幾何體(三棱錐A－BCD)，其外接球即為長方體的外接球，表面積為4πR2＝π(32＋22＋42)＝29π. [答案]　B 專題跟蹤訓

18、練(二十一) 一、選擇題 1．(2017·北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為(　　) A．3 B．2 C．2 D．2 [解析]　由三視圖得該四棱錐的直觀圖如圖中S－ABCD所示，由圖可知，其最長棱為SD，且底面ABCD是邊長為2的正方形，SB⊥面ABCD，SB＝2，所以SD＝＝2.故選B. [答案]　B 2．(2018·益陽、湘潭高三調(diào)考)如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的體積為(　　) A. B. C. D．4 [解析]　由三視圖可得三棱錐為如圖所示的三棱錐A－PBC(放到棱長為

19、2的正方體中)，則VA－PBC＝×S△PBC×AB＝××2×2×2＝.故選B. [答案]　B 3．(2018·遼寧五校聯(lián)考)一個長方體被一平面截去一部分后，所剩幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．36 B．48 C．64 D．72 [解析]　由幾何體的三視圖可得該幾何體的直觀圖如圖所示，將幾何體分割為兩個三棱柱，所以該幾何體的體積為×3×4×4＋×3×4×4＝48，故選B. [答案]　B 4．(2018·廣東七校聯(lián)考)某一簡單幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的外接球的表面積是(　　) A．13π B．16π C．25π D．27π

20、 [解析]　由三視圖知該幾何體是一個底面為正方形的長方體，由正視圖知該長方體的底面正方形的對角線長為4，所以底面邊長為2，由側(cè)視圖知該長方體的高為3，設(shè)該幾何體的外接球的半徑為R，則2R＝＝5，解得R＝，所以該幾何體的外接球的表面積S＝4πR2＝4π×＝25π，故選C. [答案]　C 5．(2018·洛陽市高三第一次聯(lián)考)已知球O與棱長為4的正四面體的各棱相切，則球O的體積為(　　) A.π B.π C.π D.π [解析]　將正四面體補成正方體，則正四面體的棱為正方體相應(yīng)面上的對角線，因為正四面體的棱長為4，所以正方體的棱長為2.因為球O與正四面體的各棱都相切，所以球O為正方體

21、的內(nèi)切球，即球O的直徑為正方體的棱長，其長為2，則球O的體積V＝πR3＝π，故選A. [答案]　A 6．(2018·河北第二次質(zhì)檢)《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學專著，書中有關(guān)于“塹堵”的記載，“塹堵”即底面是直角三角形的直三棱柱．已知某“塹堵”被一個平面截去一部分后，剩下部分的三視圖如圖所示，則剩下部分的體積是(　　) A．50 B．75 C．25.5 D．37.5 [解析]　由題意及給定的三視圖可知，剩余部分是在直三棱柱的基礎(chǔ)上，截去一個四棱錐所得的，且直三棱柱的底面是腰長為5的等腰直角三角形，高為5.如圖，圖中幾何體ABCC1MN為剩余部分，因為AM＝2，B1C1⊥平

22、面MNB1A1，所以剩余部分的體積V＝V三棱柱－V四棱錐＝×5×5×5－×3×5×5＝37.5，故選D. [答案]　D 7．(2018·廣東廣州調(diào)研)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某個幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A．4＋4＋2 B．14＋4 C．10＋4＋2 D．4 [解析]　如圖，該幾何體是一個底面為直角梯形，有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐S－ABCD.連接AC，因為AC＝＝2，SC＝＝2，SD＝SB＝＝2，CD＝＝2，SB2＋BC2＝(2)2＋42＝24＝SC2，故△SCD為等腰三角形，△SCB為直角三角形．過D作DK⊥SC于點K，

23、則DK＝＝，△SCD的面積為××2＝2，△SBC的面積為×2×4＝4.所求幾何體的表面積為×(2＋4)×2＋2××2×2＋4＋2＝10＋4＋2，選C. [答案]　C 8．(2018·河南濮陽二模)已知三棱錐A－BCD中，△ABD與△BCD是邊長為2的等邊三角形且二面角A－BD－C為直二面角，則三棱錐A－BCD的外接球的表面積為(　　) A. B．5π C．6π D. [解析]　取BD中點M，連接AM，CM，取△ABD，△CBD的中心即AM，CM的三等分點P，Q，過P作面ABD的垂線，過Q作面CBD的垂線，兩垂線相交于點O，則點O為外接球的球心，其中OQ＝，CQ＝，連接OC，則

24、外接球的半徑R＝OC＝，表面積為4πR2＝，故選D. [答案]　D 9．(2018·廣東揭陽一模)某幾何體三視圖如圖所示，則此幾何體的表面積為(　　) A．4π＋16 B．2(＋2)π＋16 C．4π＋8 D．2(＋2)π＋8 [解析]　由三視圖知，該幾何體是一個棱長為2的正方體和一個底面半徑為、高為1的圓柱的組合體，其表面積S表＝5×22＋2π··1＋2π·()2－22＝2(＋2)π＋16.故選B [答案]　B 10．(2018·福建福州質(zhì)檢)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，俯視圖中的兩條曲線均為圓弧，則該幾何體的體積為(　　)

25、 A．64－ B．64－8π C．64－ D．64－ [解析]　由三視圖可知該幾何體是由棱長為4的正方體截去個圓錐和個圓柱所得到的，且圓錐的底面半徑為2，高為4，圓柱的底面半徑為2，高為4，所以該幾何體的體積為43－＝64－.故選C. [答案]　C 11．(2018·湖南十三校聯(lián)考)三棱錐S－ABC及其三視圖中的正視圖和側(cè)視圖如下圖所示，則該三棱錐S－ABC的外接球的表面積為(　　) A．32π B.π C.π D.π [解析]　設(shè)外接球的半徑為r，球心為O.由正視圖和側(cè)視圖可知，該三棱錐S－ABC的底面是邊長為4的正三角形．所以球心O一定在△ABC的外心

26、上方．記球心O在平面ABC上的投影點為點D，所以AD＝BD＝CD＝4××＝，則由題可建立方程 ＋＝4，解得r2＝.所以該三棱錐S－ABC的外接球的表面積S＝4πr2＝π.故選B. [答案]　B 12．(2018·中原名校聯(lián)考)已知A，B，C，D是球O表面上四點，點E為BC的中點，點AE⊥BC，DE⊥BC，∠AED＝120°，AE＝DE＝，BC＝2，則球O的表面積為(　　) A.π B. C．4π D．16π [解析]　由題意可知△ABC與△BCD都是邊長為2的正三角形，如圖，過△ABC與△BCD的外心M，N分別作面ABC、面BCD的垂線，兩垂線的交點就是球心O. 連接O

27、E，可知∠MEO＝∠NEO＝∠AED＝60°， 在Rt△OME中，∠MEO＝60°，ME＝，所以O(shè)E＝2ME＝，連接OB，所以球O的半徑R＝OB＝＝＝，所以球O的表面積為S＝4πR2＝π，故選B. [答案]　B 二、填空題 13．(2018·沈陽質(zhì)檢)三棱錐P－ABC中，D，E分別為PB，PC的中點，記三棱錐D－ABE的體積為V1，P－ABC的體積為V2，則的值為________． [解析]　如圖，設(shè)S△ABD＝S1，S△PAB＝S2，E到平面ABD的距離為h1，C到平面PAB的距離為h2，則S2＝2S1，h2＝2h1，V1＝S1h1，V2＝S2h2，所以＝＝. [答案]　

28、14．(2018·寧夏銀川一中模擬)如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為________． [解析]　由三視圖知，該幾何體是一個高為2，底面直徑為2的圓柱被一平面從上底面最右邊緣斜向下45°切開所剩下的幾何體，其體積為對應(yīng)的圓柱的體積的一半，即V＝×π×12×2＝π.故答案為π. [答案]　π 15．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體最長的棱長為________． [解析]　依題意知，幾何體是如圖所示的三棱錐A－BCD.其中∠CBD＝120°，BD＝2，點C到直線BD的距離為，BC＝2，CD＝2，AB＝2，AB⊥平面BCD，因此AC＝AD＝2，所以該幾何體最長的棱長為2. [答案]　2. 16．(2018·廈門一模)如圖所示的是一個幾何體的三視圖， 則該幾何體的表面積為________． [解析]　該幾何體為一個長方體從正上方挖去一個半圓柱剩下的部分，長方體的長、寬、高分別為4,1,2，挖去半圓柱的底面半徑為1，高為1，所以表面積為S＝S長方體表－S半圓柱底－S圓柱軸截面＋S半圓柱側(cè)＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋×2π×1＝26. [答案]　26 28