《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第4節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布列教學(xué)案 理（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第4節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布列教學(xué)案 理（含解析）北師大版（7頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第四節(jié)　離散型隨機(jī)變量及其分布列 [考綱傳真]　1.理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性.2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用． 1．離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)將隨機(jī)現(xiàn)象中試驗(yàn)(或觀測)的每一個可能的結(jié)果都對應(yīng)于一個數(shù)，這種對應(yīng)稱為一個隨機(jī)變量． (2)離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量的取值能夠一一列舉出來，這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量． (3)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的取值為a1，a2，…隨機(jī)變量X取ai的概率為pi(i＝1,2，…)，記作：P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)， 或把上式列表： X＝ai a1 a

2、2 … P(X＝ai) p1 p2 … 稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列． (4)性質(zhì)： ①pi＞0，i＝1,2，…； ②p1＋p2＋…＝1. 2．超幾何分布 一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(M≤N)件次品．從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么 P(X＝k)＝(其中k為非負(fù)整數(shù))． 如果一個隨機(jī)變量的分布列由上式確定，則稱X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布． [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)離散型隨機(jī)變量的分布列中，各個概率之和可以小于1. (　　) (2)離散型隨機(jī)變量的

3、各個可能值表示的事件是彼此互斥的． (　　) (3)如果隨機(jī)變量X的分布列由下表給出，則它服從兩點(diǎn)分布． (　　) X 2 5 P 0.3 0.7 (4)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．投擲甲、乙兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為X，那么X＝4表示的事件是(　　) A．一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn) B．兩顆都是2點(diǎn) C．甲是3點(diǎn)，乙是1點(diǎn)或甲是1點(diǎn)，乙是3點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn) D．以上答案都不對 C　[甲是3點(diǎn)，乙是1點(diǎn)與甲是1點(diǎn)，乙是3點(diǎn)是試驗(yàn)的兩個不同結(jié)果，故選C.] 3．設(shè)隨

4、機(jī)變量X的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P p 則p為(　　) A.　　　　　　　　　 B． C. D． C　[由分布列的性質(zhì)知，＋＋＋＋p＝1，∴p＝1－＝.] 4．設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________. 10　[由于隨機(jī)變量X等可能取1,2,3，…，n， ∴取到每個數(shù)的概率均為， ∴P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，∴n＝10.] 5．在含有3件次品的10件產(chǎn)品中任取4件，則取到次品數(shù)X的分布列為________． P(X＝k)＝，k＝0,

5、1,2,3　[由題意知，X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，所以分布列為P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.] 離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì) 1．隨機(jī)變量X的分布列如下： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________. 　[由題意知 所以2b＋b＝1，則b＝，因此a＋c＝. 所以P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝.] 2．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求a； (2)求P； (3)求P. [解]　(1)由分布列的性質(zhì)，得P＋P＋P

6、＋P＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1， 所以a＝. (2)P＝P＋P＋P(X＝1)＝3×＋4×＋5×＝. (3)P＝P＋P＋P＝＋＋＝＝. [規(guī)律方法]　(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗(yàn)，以保證每個概率值均為非負(fù)數(shù)． (2)求隨機(jī)變量在某個范圍內(nèi)的概率時，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)各隨機(jī)變量對應(yīng)的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式． 求離散型隨機(jī)變量的分布列 【例1】　已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或檢測出3件正品時檢測結(jié)束． (1)求第一次檢

7、測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率； (2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列． [解]　(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A，P(A)＝＝. (2)X的可能取值為200,300,400. P(X＝200)＝＝， P(X＝300)＝＝， P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300) ＝1－－＝＝. 故X的分布列為 X 200 300 400 P [規(guī)律方法]　求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟 (1)找出隨機(jī)變量X的所有可能取

8、值xi(i＝1,2,3，…，n)； (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確． 提醒：求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所有取值對應(yīng)的概率，在求解時，要注意應(yīng)用計數(shù)原理、古典概型等知識． 一個盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號分別為1,2,3,4；白色卡片3張，編號分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)． (1)求取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率； (2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的分布列． [解]　(1)由

9、題意知，在7張卡片中，編號為3的卡片有2張，故所求概率為P＝1－＝1－＝. (2)由題意知，X的可能取值為1,2,3,4，且 P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 所以隨機(jī)變量X的分布列是 X 1 2 3 4 P 超幾何分布 【例2】　PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的可入肺顆粒物．根據(jù)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)． 從某自然

10、保護(hù)區(qū)2017年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示 ： PM2.5日均 值(微克/ 立方米) [25， 35) [35， 45) [45， 55) [55， 65) [65， 75) [75， 85] 頻數(shù) 3 1 1 1 1 3 (1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率； (2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列． [解]　(1)記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，恰有一天

11、空氣質(zhì)量達(dá)到一級”為事件A，則P(A)＝＝. (2)依據(jù)條件知，ξ服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)． ∴P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝. 故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P [規(guī)律方法]　求超幾何分布的分布列的步驟 某外語學(xué)校的一個社團(tuán)中有7名同學(xué)，其中2人只會法語，2人只會英語，3人既會法語又會英語，現(xiàn)選派3人到法國的學(xué)校交流訪問．求： (1)在選派的3人中恰有2人會法語的概率； (2)在選派的3人中既會法語又會英語的人數(shù)X的分布列． [解]　(1)設(shè)事件A：選派的3人中恰有2人會法語，則P(A)＝＝. (2)依題意知，X服從超幾何分布，X的可能取值為0,1,2,3， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 P - 7 -