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2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 第36講 合情推理與演繹推理學(xué)案

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1、 第36講 合情推理與演繹推理 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.了解合情推理的含義,能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理.了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用. 2.了解演繹推理的重要性,掌握演繹推理的基本模式,并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理. 3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異. 2017·全國卷Ⅰ,12 2016·北京卷,8 2015·江蘇卷,11 2015·福建卷,15 合情推理一般以新定義、新規(guī)則的形式考查集合、函數(shù)、不等式、數(shù)列等問題;而演繹推理常結(jié)合函數(shù)、方程、不等式、解析幾何、立體幾何、數(shù)列等問題中的證明來考查. 分值:5分 1.合情推理

2、(1)歸納推理 ①定義:由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的__全部對象__都具有這些特征的推理,或者由個別的事實概括出一般結(jié)論的推理. ②特點(diǎn):是由__部分__到__整體__、由__個別__到__一般__的推理. (2)類比推理 ①定義:由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有__這些特征__的推理. ②特點(diǎn):是由__特殊__到__特殊__的推理. 2.演繹推理 (1)演繹推理 從一般性的原理出發(fā),推出某個特殊情況下的結(jié)論,我們把這種推理稱為演繹推理.簡言之,演繹推理是由__一般__到__特殊__的推理. (2)“三段論”是演

3、繹推理的一般模式 ①大前提——已知的__一般原理__. ②小前提——所研究的__特殊情況__. ③結(jié)論——根據(jù)一般原理,對__特殊情況__做出的判斷. 1.思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”). (1)歸納推理與類比推理都是由特殊到一般的推理.( × ) (2)在類比時,平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適.( × ) (3)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù),若數(shù)m是3的倍數(shù),則m一定是9的倍數(shù)”,這是三段論推理,但其結(jié)論是錯誤的.( √ ) (4)在演繹推理中,只要符合演繹推理的形式,結(jié)論就一定正確.( × ) 解析 (1)錯誤.歸納推理是由部分到整體、由個

4、別到一般的推理;類比推理是由特殊到特殊的推理. (2)錯誤.平面中的三角形與空間中的四面體作為類比對象較為合適. (3)正確.因為大前提錯誤,所以結(jié)論錯誤. (4)錯誤.演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時,得到的結(jié)論一定正確. 2.命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù),整數(shù)是有理數(shù),所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題,推理錯誤的原因是( C ) A.使用了歸納推理 B.使用了類比推理 C.使用了“三段論”,但推理形式錯誤 D.使用了“三段論”,但小前提錯誤 解析 由條件知使用了三段論,但推理形式是錯誤的. 3.?dāng)?shù)列2,5,11,20,x,47,…中的x=( B ) A.2

5、8   B.32   C.33   D.27 解析 由5-2=3,11-5=6,20-11=9. 則x-20=12,因此x=32. 4.給出下列三個類比結(jié)論: ①(ab)n=anbn與(a+b)n類比,則有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay與sin(α+β)類比,則有sin(α+β)=sin αsin β; ③(a+b)2=a2+2ab+b2與(a+b)2類比,則有(a+b)2=a2+2a·b+b2. 其中結(jié)論正確的個數(shù)是( B ) A.0   B.1   C.2   D.3 解析 只有③正確. 5.觀察下列不等式: 1+<, 1

6、++<, 1+++<, … 按此規(guī)律,第五個不等式為__1+++++<__. 解析 觀察得出規(guī)律,左邊為項數(shù)個連續(xù)自然數(shù)平方的倒數(shù)和,右邊為項數(shù)的2倍減1的差除以項數(shù),即1+++++…+<(n∈N*,n≥2), 所以第五個不等式為1+++++<. 一 類比推理 (1)進(jìn)行類比推理,應(yīng)從具體問題出發(fā),通過觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行對比,提出猜想.其中找到合適的類比對象是解題的關(guān)鍵. (2)類比推理常見的情形有:平面與空間類比、低維與高維的類比、等差與等比數(shù)列類比、運(yùn)算類比(加與乘、乘與乘方、減與除、除與開方)、數(shù)的運(yùn)算與向量運(yùn)算類比、圓錐曲線間的類比等. 【例1】 (1)

7、若數(shù)列是等差數(shù)列,則數(shù)列也為等差數(shù)列.類比這一性質(zhì)可知,若正項數(shù)列是等比數(shù)列,且也是等比數(shù)列,則dn的表達(dá)式應(yīng)為( D ) A.dn=   B.dn= C.dn=   D.dn= (2)在平面幾何中:△ABC的∠C內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為=.把這個結(jié)論類比到空間:在三棱錐A-BCD中(如圖),平面DEC平分二面角A-CD-B,且與AB相交于E,則得到類比的結(jié)論是__=__. 解析 (1)若{an}是等差數(shù)列,則a1+a2+…+an=na1+d,∴bn=a1+d=n+a1-,即{bn}為等差數(shù)列;若{cn}是等比數(shù)列,則c1·c2·…·cn=c·q1+2+…+(n-1)=c

8、·q, ∴dn==c1·q,即{dn}為等比數(shù)列,故選D. (2)由平面中線段的比轉(zhuǎn)化為空間中面積的比可得=. 二 歸納推理 歸納推理中幾種問題的處理技巧 (1)與等式或不等式“共舞”問題.觀察所給的幾個等式或不等式兩邊式子的特點(diǎn),注意是縱向看,發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律. (2)與數(shù)列“牽手”問題.先求出幾個特殊現(xiàn)象,歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象,該結(jié)論超越了前提所含的范圍,從而由特殊的結(jié)論推廣到一般結(jié)論. (3)與圖形變化“相融”問題.合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論,并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡裕? 【例2】 觀察下列等式: 12=1; 12-22=-3; 12-22+3

9、2=6; 12-22+32-42=-10; … 依此規(guī)律,第n個等式可為__12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·__. 解析 第n個等式的左邊第n項應(yīng)是(-1)n+1n2, 右邊數(shù)的絕對值為1+2+3+…+n=, 故有12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·. 【例3】 觀察下列的圖形中小正方形的個數(shù),則第6個圖中有__28__個小正方形. 解析 第1~5個圖形中分別有3,6,10,15,21個小正方形,它們分別為1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+5,1+2+3+4+5+6,因此an=1+2+3+…+(n

10、+1).故a6=1+2+3+…+7==28,即第6個圖中有28個小正方形. 【例4】 (2016·山東卷)觀察下列等式: -2+-2=×1×2; -2+-2+-2+-2=×2×3; -2+-2+-2+…+-2=×3×4; -2+-2+-2+…+-2=×4×5; … 照此規(guī)律, -2+-2+-2+…+-2=__n(n+1)__. 解析 通過觀察已給出等式的特點(diǎn),可知等式右邊的是個固定數(shù),后面第一個數(shù)是等式左邊最后一個數(shù)括號內(nèi)角度值分子中π的系數(shù)的一半,后面第二個數(shù)是第一個數(shù)的下一個自然數(shù),所以,所求結(jié)果為×n×(n+1),即n(n+1). 三 演繹推理 演繹推理是從一般

11、到特殊的推理;其一般形式是三段論,應(yīng)用三段論解決問題,應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提,若前提是顯然的,則可以省略. 【例5】 數(shù)列的前n項和記為Sn,已知a1=1,an+1=·Sn(n∈N*),證明: (1)數(shù)列是等比數(shù)列; (2)Sn+1=4an. 證明 (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn, ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn, ∴=2·,又=1≠0,(小前提) 故是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列.(結(jié)論) (2)由(1)可知=4·(n≥2), ∴Sn+1=4(n+1)·=4··Sn-1=4an(n≥2),(小前提) 又

12、a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴對于任意正整數(shù)n,都有Sn+1=4an.(結(jié)論) 1.(2018·安徽淮南模擬)從1開始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列,現(xiàn)有一個三角形框架在圖中上下或左右移動,使每次恰有九個數(shù)在此三角形內(nèi),則這九個數(shù)的和可以為( B ) A.2 011   B.2 012 C.2 013   D.2 014 解析 根據(jù)題圖所示的規(guī)則排列,設(shè)最上層的一個數(shù)為a∈N*,則第二層的三個數(shù)為a+7,a+8,a+9,第三層的五個數(shù)a+14,a+15,a+16,a+17,a+18,這9個數(shù)之和為a+3a+24+5a+80=9a+104.

13、由9a+104=2 012,得a=212,是自然數(shù),故選B. 2.(2018·江西臨川一中模擬)已知12=×1×2×3,12+22=×2×3×5,12+22+32=×3×4×7,12+22+32+42=×4×5×9,則12+22+…+n2=__n(n+1)(2n+1)(n∈N*)__(其中n∈N*). 解析 根據(jù)題意可歸納出12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1),下面給出證明:(k+1)3-k3=3k2+3k+1,則23-13=3×12+3×1+1,33-23=3×22+3×2+1,…,(n+1)3-n3=3n2+3n+1,累加得(n+1)3-13=3(12+22+…+n2)+3(

14、1+2+…+n)+n,整理得12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1),故填n(n+1)(2n+1). 3.用火柴棒擺“金魚”,如圖所示,按照下面的規(guī)律,第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為__6n+2__.  … 解析 由題意知,圖②的火柴棒比①的多6根,圖③的火柴棒比圖②的多6根,而圖①的火柴棒的根數(shù)為2+6,∴第n條小魚需要(2+6n)根. 4.(2018·北京海淀模擬)若f(a+b)=f(a)f(b)(a,b∈N*),且f(1)=2,則++…+=__2_018__. 解析 利用三段論. 因為f(a+b)=f(a)f(b)(a,b∈N*),(大前提) 令b=1,則=f(1

15、)=2,(小前提) 所以==…==2.(結(jié)論) 所以原式==2 018. 易錯點(diǎn) 類比不當(dāng) 錯因分析:從平面類比到空間時,缺乏對對應(yīng)特點(diǎn)的分析,無法得到正確結(jié)論. 【例1】 在Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于D,求證:=+,那么在四面體A-BCD中,類比上述結(jié)論,你能得到怎樣的猜想,并說明理由. 解析 如圖(1)所示,由射影定理知AD2=BD·DC, AB2=BD·BC,AC2=BC·DC, ∴= ==. 又BC2=AB2+AC2,∴==+, ∴=+. 四面體A-BCD中,AB,AC,AD兩兩垂直,AE⊥平面BCD于E, 則=++. 證明如下:如

16、圖(2),連接BE交CD于F,連接AF. ∵AB⊥AC,AB⊥AD, ∴AB⊥平面ACD.而AF?平面ACD,∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中,AE⊥BF,∴=+. 在Rt△ACD中,AF⊥CD,=+. ∴=++. 【跟蹤訓(xùn)練1】 在等差數(shù)列{an}中,若a10=0,則有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.類比上述性質(zhì),相應(yīng)地:在等比數(shù)列{bn}中,若b9=1,則有等式__b1·b2·…·bn=b1·b2·…·b17-n(n<17,n∈N*)__成立. 解析 在等差數(shù)列{an}中,由a10=0,得:a1+a19=a2+a18=…=a

17、n+a20-n=an+1+a19-n=2a10=0, ∴S19=a1+a2+…+an+…+a19=0(n<19), 即a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1, 又∵a1=-a19,a2=-a18,…,a19-n=-an+1, ∴a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1=a1+a2+…+a19-n. 若a9=0,同理a1+a2+…+an=a1+a2+…+a17-n(n<17). 在等比數(shù)列{bn}中,b1·b2·…·bn=b1·b2·…·b17-n(n<17,n∈N*) 課時達(dá)標(biāo) 第36講 [解密考綱]高考中,歸納推理和類比推理主要是和數(shù)列、不等式等內(nèi)容

18、聯(lián)合考查,多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn). 一、選擇題 1.下面四個推導(dǎo)過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是( B ) A.大前提:無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù);小前提:π是無理數(shù);結(jié)論:π是無限不循環(huán)小數(shù) B.大前提:無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù);小前提:π是無限不循環(huán)小數(shù);結(jié)論:π是無理數(shù) C.大前提:π是無限不循環(huán)小數(shù);小前提:無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù);結(jié)論:π是無理數(shù) D.大前提:π是無限不循環(huán)小數(shù);小前提:π是無理數(shù);結(jié)論:無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù) 解析 對于A項,小前提與結(jié)論互換,錯誤;對于B項,符合演繹推理過程且結(jié)論正確;對于C項和D項,均為大前提錯誤,故選B. 2.請仔細(xì)觀察

19、1,1,2,3,5,(  ),13,運(yùn)用合情推理,可知寫在括號里的數(shù)最可能是( A ) A.8   B.9   C.10   D.11 解析 觀察題中所給各數(shù)可知,2=1+1,3=1+2,5=2+3,8=3+5,13=5+8,∴括號中的數(shù)為8.故選A. 3.在整數(shù)集Z中,被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”,記為[k],即[k]={5n+k|n∈Z} ,k=0,1,2,3,4.給出如下四個結(jié)論: ①2 013∈[3]; ②-2∈[2]; ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④整數(shù)a,b屬于同一“類”的充要條件是“a-b∈[0]”. 其中正確結(jié)論的個數(shù)為( C

20、 ) A.1   B.2   C.3   D.4 解析 因為2013=402×5+3,所以2013∈[3],①正確;-2=-1×5+3,-2∈[3],所以②不正確;因為整數(shù)集中被5除的數(shù)可以且只可以分成五類,所以③正確;整數(shù)a,b屬于同一“類”,因為整數(shù)a,b被5除的余數(shù)相同,從而a-b被5除的余數(shù)為0,反之也成立,故整數(shù)a,b屬于同一“類”的充要條件是“a-b∈[0]”,故④正確.所以正確的結(jié)論有3個,故選C. 4.觀察(x2)′=2x,(x4)′=4x3, (cos x)′=-sin x,由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的

21、導(dǎo)函數(shù),則g(-x)=( D ) A.f(x)   B.-f(x) C.g(x)   D.-g(x) 解析 由所給等式知,偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).∵f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函數(shù),從而g(x)是奇函數(shù).∴g(-x)=-g(x). 5.已知an=logn+1(n+2)(n∈N*),觀察下列運(yùn)算: a1·a2=log23·log34=·=2; a1·a2·a3·a4·a5·a6=log23·log34·…·log78=··…·=3;…. 若a1·a2·a3·…·ak(k∈N*)為整數(shù),則稱k為“企盼數(shù)”,試確定當(dāng)a1·a2·a3·…·ak=2 018時,“企盼數(shù)”k為( C 

22、) A.22 017 +2   B.22 017 C.22 018-2   D.22 017-4 解析 a1·a2·a3·…·ak==2 018,lg(k+2)=lg 22 018,故k=22 018-2. 6.(2016·北京卷)袋中裝有偶數(shù)個球,其中紅球、黑球各占一半.甲,乙,丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球,將其中一個球放入甲盒,如果這個球是紅球,就將另一個球放入乙盒,否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程,直到袋中所有球都被放入盒中,則( B ) A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多 C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球 D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣

23、多 解析 假設(shè)袋中只有一紅一黑兩個球,第一次取出后,若將紅球放入了甲盒,則乙盒中有一個黑球,丙盒中無球,A錯誤;若將黑球放入了甲盒,則乙盒中無球,丙盒中有一個紅球,D錯誤;同樣,假設(shè)袋中有兩個紅球和兩個黑球,第一次取出兩個紅球,則乙盒中有一個紅球,第二次必然拿出兩個黑球,則丙盒中有一個黑球,此時乙盒中紅球多于丙盒中的紅球,C錯誤,故選B. 二、填空題 7.(2018·河南開封聯(lián)考)如圖所示,由曲線y=x2,直線x=a,x=a+1(a>0)及x軸圍成的曲邊梯形的面積介于相應(yīng)小矩形與大矩形的面積之間,即a2<∫x2dx<(a+1)2.運(yùn)用類比推理,若對?n∈N*,++…+

24、,則實數(shù)A=__ln 2__. 解析 令

25、)2__. 解析 觀察這些等式,第一個等式左邊是1個數(shù),從1開始;第二個等式左邊是3個數(shù)相加,從2開始;第三個等式左邊是5個數(shù)相加,從3開始;……;第n個等式左邊是2n-1個數(shù)相加,從n開始.等式的右邊為左邊2n-1個數(shù)的中間數(shù)的平方,故第n個等式為n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 9.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為 Sn,則 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論我們可以得到一個真命題為:設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn,則__T4,,,__成等比數(shù)列. 解析 利用類比推理把等差數(shù)列中的差換成商即可. 三、解答題 10

26、.設(shè)f(x)=,先分別求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后歸納猜想一般性結(jié)論,并給出證明. 解析 f(0)+f(1)=+ =+ =+=, 同理可得f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=. 由此猜想f(x)+f(1-x)=. 證明:f(x)+f(1-x)=+ =+ =+==. 11.定義“等和數(shù)列”:在一個數(shù)列中,如果每一項與它的后一項的和都為同一常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列,這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列,且a1=2,公和為5. 求:(1)a18的值; (2)該數(shù)列的前n項和Sn. 解析 (1)由等和數(shù)列

27、的定義,數(shù)列{an}是等和數(shù)列,且a1=2,公和為5,易知a2n-1=2,a2n=3(n=1,2,…),故a18=3. (2)當(dāng)n為偶數(shù)時, Sn=a1+a2+…+an =(a1+a3+…+an-1)+(a2+a4+…+an) 當(dāng)n為奇數(shù)時, Sn=Sn-1+an=(n-1)+2=n-. 綜上所述,Sn= 12.對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),給出定義:設(shè)f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù),f″(x)是f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f″(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(diǎn)(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何—個三次函數(shù)都有“

28、拐點(diǎn)”;任何—個三次函數(shù)都有對稱中心,且“拐點(diǎn)”就是對稱中心.若f(x)=x3-x2+3x-,請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn), (1)求函數(shù)f(x)=x3-x2+3x-的對稱中心; (2)計算f+f+f+…+f. 解析 (1)f′(x)=x2-x+3,f″(x)=2x-1, 由f″(x)=0,即2x-1=0,解得x=. f=×3-×2+3×-=1. 由題中給出的結(jié)論,可知函數(shù)f(x)=x3-x2+3x-的對稱中心為. (2)由(1)知函數(shù)f(x)=x3-x2+3x-的對稱中心為,所以f+f=2, 即f(x)+f(1-x)=2. 故f+f=2,f+f=2, f+f=2,…,f+f=2, 所以f+f+f+…+f=×2×2 016=2 016. 13

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