《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 層級二 專題三 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列教學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 層級二 專題三 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列教學(xué)案（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第1講　等差數(shù)列、等比數(shù)列 [考情考向·高考導(dǎo)航] 1．等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定及基本運算是每年高考的熱點，在考查基本運算的同時，也注重考查對函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用． 2．對等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的考查主要是求解數(shù)列的等差中項、等比中項、通項公式和前n項和． [真題體驗] 1．(2019·全國Ⅲ卷)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15，且a5＝3a3＋4a1，則a3＝(　　) A．16　　　　　　　 　　　 B．8 C．4 D．2 解析：C　[應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式解題時，要注意公比是否等于1，防止出錯．設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為

2、q，則解得 ∴a3＝a1q2＝4，故選C.] 2．(2016·天津卷)設(shè){an}是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q<0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n－1＋a2n<0”的(　　) A．充要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件 解析：C　[設(shè)數(shù)列的首項為a1，則a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)，當(dāng)q<0，因為1＋q的符號不確定，所以無法判斷a2n－1＋a2n的符號；反之，若a2n－1＋an<0， 即a1q2n－2(1＋q)<0， 即q<－1<0，故“q<0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n－1＋a

3、2n<0”的必要不充分條件．] 3．(2019·全國Ⅰ卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．已知S9＝－a5. (1)若a3＝4，求{an}的通項公式； (2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范圍． 解：(1)設(shè){an}的公差為d， 由S9＝－a5得a1＋4d＝0. 由a3＝4得a1＋2d＝4. 于是a1＝8，d＝－2. 因此{an}的通項公式為an＝10－2n. (2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d， Sn＝. 由a1＞0知d＜0，故Sn≥an等價于n2－1ln＋10≤0，解得1≤n≤10， 所以n的取值范圍是{n|1≤n≤10，n∈N}． [

4、主干整合] 1．等差數(shù)列 (1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)求和公式：Sn＝＝na1＋d； (3)性質(zhì)： ①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq； ②an＝am＋(n－m)d； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，成等差數(shù)列． 2．等比數(shù)列 (1)通項公式：an＝a1qn－1(q≠0)； (2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝＝； (3)性質(zhì)： ①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq； ②an＝am·qn－m； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比數(shù)

5、列． 熱點一　等差、等比數(shù)列的基本運算 [題組突破] 1．(2019·寧波三模)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，若a1·a6·a11＝－3，b1＋b6＋b11＝7π，則tan的值是(　　) A．－　　　　　　　　　 B．－1 C．－ D. 解析：A　[依題意得，a＝(－)3,3b6＝7π， ∴a6＝－，b6＝，又＝＝－， 故tan＝tan＝tan＝－tan＝－，選A.] 2．(2020·廣州調(diào)研)已知等比數(shù)列{an}公比為q，其前n項和為Sn，若S3，S9，S6成等差數(shù)列，則q3等于(　　) A．－ B．1 C．－或1 D．－1或 解析

6、：A　[若q＝1，則3a1＋6a1＝2×9a1， 得a1＝0，矛盾，故q≠1. 所以＋＝2， 解得q3＝－或1(舍)，故選A.] 3．(2019·淄博三模)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若＜－1，則(　　) A．Sn的最大值是S8 B．Sn的最小值是S8 C．Sn的最大值是S7 D．Sn的最小值是S7 解析：D　[由(n＋1)Sn＜nSn＋1得(n＋1)·＜n·，整理得an＜an＋1，所以等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，所以數(shù)列{an}的前7項為負(fù)值，即Sn的最小值是S7.] 　 等差、等比數(shù)列基

7、本運算的關(guān)注點 (1)基本量：在等差(比)數(shù)列中，首項a1和公差d(公比q)是兩個基本元素； (2)解題思路：①設(shè)基本量a1和d(q)；②列、解方程(組)；把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程(組)，然后求解，注意整體計算，以減少計算量． 熱點二　等差(比)數(shù)列的判斷與證明 [例1]　(2020·龍巖質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足an＝3an－1＋k3n－1(n∈N*，n≥2，k∈R)． (1)設(shè)a1＝1，k＝0，證明數(shù)列是等比數(shù)列； (2)對任意k∈R，是否存在一個實數(shù)t，使得bn＝(an＋t)(n∈N*)且{bn}為等差數(shù)列？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由． [解析]　

8、(1)證明：當(dāng)k＝0時，an＝3an－1－1，所以an－＝3an－1－＝3， 即＝3，又a1－＝≠0，所以數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列． (2)當(dāng)n≥2時，bn－bn－1＝(an＋t)－(an－1＋t)＝(an＋t－3an－1－3t)＝(3an－1＋k3n－1＋t－3an－1－3t) ＝(k3n－1－2t)＝k－. 要使{bn}為等差數(shù)列，則必須使1＋2t＝0，∴t＝－， 即對任意的k∈R，存在t＝－，使{bn}為等差數(shù)列． 判斷和證明等差或等比數(shù)列的方法 (1)判斷一個數(shù)列是等差(等比)數(shù)列，還有通項公式法及前n項和公式法，但不作為證明方法． (2)若要判斷一個數(shù)列不

9、是等差(等比)數(shù)列，只需判斷存在連續(xù)三項不成等差(等比)數(shù)列即可； (3)a＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}為等比數(shù)列的必要而不充分條件，也就是要注意判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時，要注意各項不為0. (2019·鄭州二模)成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15，并且這三個數(shù)分別加上2,5,13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3，b4，b5. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式． (2)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求證：數(shù)列是等比數(shù)列． 解析：(1)設(shè)成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為a－d，a，a＋d. 依題意，得a－d＋a＋a＋d＝15. 解得a＝5. 所以{bn}中的b3，b4

10、，b5依次為7－d,10,18＋d. 依題意，有(7－d)(18＋d)＝100， 解得d＝2或d＝－13(舍去)． 故{bn}的第3項為5，公比為2. 由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝. 所以bn＝b1·qn－1＝·2n－1＝5·2n－3， 即數(shù)列{bn}的通項公式bn＝5·2n－3. (2)由(1)得數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝＝5·2n－2－，即Sn＋＝5·2n－2. 由S1＋＝，＝＝2可知， 數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列． 熱點三　等差與等比數(shù)列的綜合問題 [例2]　(2018·天津卷)設(shè){an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn(n∈N*)；{bn

11、}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為Tn(n∈N*)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn； (2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整數(shù)n的值． [審題指導(dǎo)]　(1)利用條件求出等比數(shù)列的公比和等差數(shù)列的首項及公差，寫出通項公式，進而求出前n項和． (2)由(1)知Tn＝2n－1，將其拆成2n和－1兩部分，{2n}是等比數(shù)列，易求和，－1是常數(shù)，易求和，再結(jié)合Sn＝和已知條件，可求得n的值． [解析]　(1)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0，因此為q＞0，可得q＝2

12、，故bn＝2n－1.所以，Tn＝＝2n－1. 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4，由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，從而a1＝1，d＝1，故an＝n.所以，Sn＝. (2)由(1)，有T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2. 由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1，整理得n2－3n－4＝0， 解得n＝－1(舍)，或n＝4.所以，n的值為4. (1)關(guān)于等差、等比數(shù)列的綜合問題大多為兩者運算的綜合題以及相互之間的轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是求出兩個數(shù)列的基本量；首項和公差

13、(或公比)，靈活運用性質(zhì)轉(zhuǎn)化條件，簡化運算，準(zhǔn)確記憶相關(guān)的公式是解決此類問題的關(guān)鍵． (2)求數(shù)列中的最大項，可以利用圖象或者數(shù)列的單調(diào)性求解，同時注意數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別． (2020·湖北八校聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}的公比q＞1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差數(shù)列，數(shù)列{anbn}的前n項和為. (1)分別求出數(shù)列{an}和{bn}的通項公式； (2)設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，已知?n∈N*，Sn≤m恒成立，求實數(shù)m的最小值． 解析：(1)∵a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差數(shù)列， ∴2a2＝a1＋a3－8， 即2a1q＝a1＋a1q2－8，∴q2－

14、2q－3＝0， ∴q＝3或－1，而q＞1，∴q＝3， ∴an＝2·3n－1. ∵a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝， ∴a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1 ＝， 兩式相減得anbn＝2n·3n－1(n≥2)． ∵an＝2·3n－1，∴bn＝n(n≥2)， 令n＝1，可求得b1＝1，∴bn＝n. (2)∵數(shù)列{an}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列， ∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列， ∴Sn＝＝·＜. ∵?∈N*，Sn≤m恒成立，故實數(shù)m的最小值為. 熱點四　數(shù)列與傳統(tǒng)文化的交匯創(chuàng)新 數(shù)學(xué) 建模 素養(yǎng) 數(shù)學(xué)建模——數(shù)列實際應(yīng)用中的核心素養(yǎng) 以學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)

15、知識為基礎(chǔ)，把現(xiàn)實生活中的實際問題通過“建?！鞭D(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題——數(shù)列問題，進而通過數(shù)學(xué)運算來解釋實際問題，并接受實際的檢驗. [例3]　(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻．十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于12.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為(　　) A．3 f　　　 　　　　　　 B．3 f C．12 f D．12 f [解析]　D　[由題意可知，單音的頻率構(gòu)成以a1＝f為首項，q＝為公比的等比

16、數(shù)列，則a8＝a1q7＝f·()7＝f.故選D.] 涉及等比數(shù)列的數(shù)學(xué)文化題頻繁出現(xiàn)在考試試題中．解決這類問題的關(guān)鍵是將古代實際問題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學(xué)問題，掌握等比數(shù)列的概念、通項公式和前n項和公式． (2020·銀川模擬)《九章算術(shù)》是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，全書收集了246個問題及其解法，其中一個問題為“現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面四節(jié)容積之和為3升，下面三節(jié)的容積之和為4升，求中間兩節(jié)的容積各為多少？”該問題中第2節(jié)，第3節(jié)，第8節(jié)竹子的容積之和為(　　) A.升 B.升 C.升 D.升 解析：A　[自上而下依次設(shè)各節(jié)竹子的容積分別為a1，a

17、2，…，a9，依題意有因為a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝2a8，故a2＋a3＋a8＝＋＝，故選A.] 限時45分鐘　滿分74分 一、選擇題(本大題共7小題，每小題5分，共35分) 1．(2019·全國Ⅰ卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．已知S4＝0，a5＝5，則(　　) A．a(chǎn)n＝2n－5　　　　　　　 B．a(chǎn)n＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n 解析：A　[設(shè){an}的公差為d，則解得a1＝－3，d＝2. ∴an＝－3＋(n－1)·2＝2n－5， Sn＝－3n＋×2＝n2－4n，故選A.] 2．(多選題)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q

18、，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并且滿足條件a1>1，a7·a8>1，<0.則下列結(jié)論正確的是(　　) A．01 C．Sn的最大值為S9 D．Tn的最大值為T7 解析：AD　[本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及前n項積的最值． ∵a1>1，a7·a8>1，<0，∴a7>1，a8<1， ∴01,01，a8<1，∴T7是數(shù)列{Tn}中的最大項，故D正確．故選AD.] 3．(2020·銀川模擬)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有

19、金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬未一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長五尺，一頭粗，一頭細，在粗的一端截下1尺，重4斤，在細的一端截下1尺，重2斤，問依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上述的已知條件，若金箠由粗到細是均勻變化的，問第二尺與第四尺的重量之和為(　　) A．6斤 B．9斤 C．9.5斤 D．12斤 解析：A　[依題意，金箠由粗到細各尺的重量構(gòu)成一個等差數(shù)列，設(shè)首項a1＝4，則a5＝2，由等差數(shù)列的性質(zhì)得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺與第四尺的重量之和為6斤，故選A.] 4．(2020·荊州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足5an＋1＝25·5an，且

20、a2＋a4＋a6＝9，則log(a5＋a7＋a9)等于(　　) A．－3 B．3 C．－ D. 解析：A　[∵5an＋1＝25·5an＝52＋an， ∴an＋1＝an＋2， ∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且公差為2. ∵a2＋a4＋a6＝9， ∴3a4＝9，a4＝3. ∴l(xiāng)og(a5＋a7＋a9)＝log3a7＝log3(a4＋6)＝log27＝－3.] 5．(2020·豫西五校聯(lián)考)在等差數(shù)列{an}中，其前n項和是Sn，若S15＞0，S16＜0，則在，，…，中最大的是(　　) A. B. C. D. 解析：B　[由于S15＝＝15a8＞0， S16＝＝8(a

21、8＋a9)＜0， 可得a8＞0，a9＜0. 這樣＞0，＞0，…，＞0，＜0，＜0，…，＜0， 而0＜S1＜S2＜…＜S8，a1＞a2＞…＞a8＞0， 所以在，，…，中最大的是. 故選B.] 6．(2020·洛陽聯(lián)考)數(shù)列{an}是以a為首項，b為公比的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn＝1＋a1＋a2＋…＋an(n＝1,2，…)，數(shù)列{cn}滿足cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn(n＝1,2，…)，若{cn}為等比數(shù)列，則a＋b等于(　　) A. B．3 C. D．6 解析：B　[由題意知，當(dāng)b＝1時，{cn}不是等比數(shù)列， 所以b≠1.由an＝abn－1， 得bn＝1＋＝

22、1＋－， 則cn＝2＋n－· ＝2－＋n＋， 要使{cn}為等比數(shù)列，必有 得a＋b＝3.] 7．(2020·重慶二調(diào))已知a1，a2，a3，a4依次成等比數(shù)列，且公比q不為1，將此數(shù)列刪去一個數(shù)后得到的數(shù)列(按原來的順序)是等差數(shù)列，則正數(shù)q的值是(　　) A. B. C. D. 解析：B　[因為公比q不為1，所以刪去的數(shù)不是a1，a4.①若刪去a2，則由2a3＝a1＋a4得2a1q2＝a1＋a1q3，又a1≠0，所以2q2＝1＋q3，整理得q2(q－1)＝(q－1)(q＋1)．又q≠1，所以q2＝q＋1，又q＞0，得q＝；②若刪去a3，則由2a2＝a1＋a4得2a1q＝

23、a1＋a1q3，又a1≠0，所以2q＝1＋q3，整理得q(q＋1)(q－1)＝q－1.又q≠1，則可得q(q＋1)＝1，又q＞0，得q＝. 綜上所述，q＝，故選B.] 二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分) 8．(2020·資陽診斷)設(shè)數(shù)列{an}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則ab1＋ab2＋…＋ab10值為________． 解析：依題意得an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，bn＝1×2n－1＝2n－1，abn＝bn＋1＝2n－1＋1，因此ab1＋ab2＋…＋ab10＝(20＋1)＋(21＋1)＋…＋(29＋1)＝＋10＝

24、210＋9＝1 033. 答案：1 033 9．(2019·北京卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a2＝－3，S5＝－10，則a5＝____________，Sn的最小值為____________． 解析：本題考查等差數(shù)列的通項公式、求和公式、等差數(shù)列的性質(zhì)，難度不大，注重重要知識、基礎(chǔ)知識、基本運算能力的考查． 等差數(shù)列{an}中，S5＝5a3＝－10，得a3＝－2，a2＝－3，公差d＝a3－a2＝1，a5＝a3＋2d＝0，由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)得n≤5時，an≤0，n≥6時，an大于0，所以Sn的最小值為S4或S5，即為－10. 答案：(1)0　(2)－10 10．(

25、2019·益陽三模)設(shè)等差數(shù)列{an}的各項均為整數(shù)，其公差d≠0，a5＝6，若a3，a5，am(m＞5)是公比為q(q＞0)的等比數(shù)列，則m的值為________． 解析：由a3am＝a，(6－2d)[6＋(m－5)d]＝36， 得－2d[(m－5)d－3m＋21]＝0 ∵d≠0，∴(m－5)d－3m＋21＝0， ∴d＝＝3－ 由m＞5，m，d∈Z知m－5為6的正約數(shù) ∴m－5可取1,2,3,6 當(dāng)m－5＝1，m＝6時，d＝－3， q＝＝＝， 當(dāng)m－5＝2，m＝7時，d＝0，不合題意， 當(dāng)m－5＝3，m＝8時，d＝1，q＝ 當(dāng)m－5＝6，m＝11時，d＝2，q＝3，故m

26、的值為6,8或11. 答案：6,8或11 三、解答題(本大題共2小題，每小題12分，共24分) 11．(2018·北京卷)設(shè){an}是等差數(shù)列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2. (1)求{an}的通項公式； (2)求ea1＋ea2＋…＋ean. 解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， ∵a2＋a3＝5ln 2， ∴a1＋d＋a1＋2d＝5ln 2， ∵a1＝ln 2，∴d＝ln 2， ∵等差數(shù)列{an}中an＝a1＋(n－1)d＝nln 2， ∴an＝nln 2，n∈N*. (2)由(1)知an＝nln 2， ∵ean＝enln 2＝eln2n＝2n，

27、∴{ean}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列 ∴ea1＋ea2＋…＋ean ＝eln 2＋eln 22＋…＋eln 2n ＝2＋22＋…＋2n ＝ ＝2n＋1－2 ∴所求為ea1＋ea2＋…ean＝2n＋1－2，n∈N*. 12．(2019·濰坊三模)設(shè)數(shù)列{an}的各項為正實數(shù)，bn＝log2an，若數(shù)列{bn}滿足b2＝0，bn＋1＝bn＋log2p，其中p為正常數(shù)，且p≠1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若p＝2，設(shè)數(shù)列{cn}對任意的n∈N*，都有c1bn＋c2bn－1＋c3bn－2＋…＋cnb1＝－2n成立，問數(shù)列{cn}是不是等比數(shù)列？若是，請求出其通

28、項公式；若不是，請說明理由． 解析：(1)因為bn＋1＝bn＋log2p，所以bn＋1－bn＝log2p， 所以數(shù)列{bn}是以log2p為公差的等差數(shù)列， 又b2＝0，所以bn＝b2＋(n－2)(log2p)＝log2pn－2， 故由bn＝log2an，得an＝2bn＝2log2pn－2＝pn－2. (2)因為p＝2，由(1)得bn＝n－2， 所以c1(n－2)＋c2(n－3)＋c3(n－4)＋…＋cn(－1)＝－2n，① 則c1(n－1)＋c2(n－2)＋c3(n－3)＋…＋cn＋1(－1)＝－2(n＋1)，② 由②－①，得c1＋c2＋c3＋…＋cn－cn＋1＝－2，③ 所以c1＋c2＋c3＋…＋cn＋cn＋1－cn＋2＝－2，④ 再由④－③，得2cn＋1＝cn＋2， 即＝2(n∈N*)， 所以當(dāng)n≥2時，數(shù)列{cn}成等比數(shù)列， 又由①式，可得c1＝2，c2＝4，則＝2， 所以數(shù)列{cn}一定是等比數(shù)列，且cn＝2n. - 12 -