《2020版高考數(shù)學一輪復習 第8章 平面解析幾何 第5節(jié) 橢圓教學案 文（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學一輪復習 第8章 平面解析幾何 第5節(jié) 橢圓教學案 文（含解析）北師大版（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第五節(jié)　橢　圓 [考綱傳真]　1.了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(zhì)． 1．橢圓的定義 (1)我們把平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的集合叫作橢圓．這兩定點F1，F(xiàn)2叫作橢圓的焦點，兩個焦點F1，F(xiàn)2間的距離叫作橢圓的焦距． (2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a＞0，c＞0. ①當2a＞|F1F2|時，M點的軌跡為橢圓； ②當2a＝|F1F2|時，M點的軌跡為線段F1F2； ③當2a＜|F1F2|時，M

2、點的軌跡不存在． 2．橢圓的標準方程和幾何性質(zhì) 標準方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 圖形 性質(zhì) 范圍 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點 頂點 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 離心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c 的關(guān)系 c2＝a2－b2 與橢圓定義有關(guān)的結(jié)論 以橢圓＋＝1(a>b>0)上一點P(x0，y0)(y0≠0)和焦點F1(－c,0

3、)，F(xiàn)2(c,0)為頂點的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則 (1)|PF1|＋|PF2|＝2a. (2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)S＝|PF1||PF2|·sin θ，當|y0|＝b，即P為短軸端點時，S取最大值，為bc. (4)焦點三角形的周長為2(a＋c)． (5)已知過焦點F1的弦AB，則△ABF2的周長為4a. [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓． (　　) (2)橢圓上一點P與兩焦點F1，F(xiàn)

4、2構(gòu)成△PF1F2的周長為2a＋2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距)． (　　) (3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓． (　　) (4)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲線是橢圓． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)設(shè)P是橢圓＋＝1上的點，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|＋|PF2|等于(　　) A．4　　　　B．5　　　　C．8　　　　D．10 D　[依橢圓的定義知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.] 3．若方程＋＝1表示橢圓，則m的取值范圍是(　　) A．(－3,5) B．(－5,

5、3) C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3) C　[由方程表示橢圓知 解得－30)的左焦點為F1(－4,0)，則m＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．9 B　[由左焦點為F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.] 5．(教材改編)已知橢圓的一個焦點為F(1,0)，離心率為，則橢圓的標準方程為________． ＋＝1　[設(shè)橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)．因為橢圓的一個焦點為F(1,0)，離心率e＝，所以解得故橢圓的標準方程為＋＝1.

6、] 橢圓的定義與標準方程 1．已知△ABC的頂點B，C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是(　　) A．2　　　　B．6　　　　C．4　　　　D．12 C　[由橢圓的方程得a＝.設(shè)橢圓的另一個焦點為F，則由橢圓的定義得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周長為|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.] 2．(2019·濟南調(diào)研)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋

7、y2＝9，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　) A.－＝1 B.＋＝1 C．－＝1 D．＋＝1 D　[設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，且 2a＝16,2c＝8，故所求的軌跡方程為＋＝1.] 3．(2019·徐州模擬)已知F1、F2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，則b＝________. 3　[設(shè)|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，則 所以2r1r2＝(r1＋

8、r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，所以S＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.] 4．已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點，(，)，則橢圓方程為________． ＋＝1　[設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．由解得m＝，n＝. ∴橢圓方程為＋＝1.] [規(guī)律方法]　1.橢圓定義的應(yīng)用技巧 (1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標準方程，求焦點三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等． (2)通常定義和余弦定理結(jié)合使用，求解關(guān)于焦點三角形的周長和面積問題． 2．求橢圓標準方程的常用方法 (1)求橢圓的標準方程多采用定義法和待定系數(shù)法． (

9、2)利用定義法求橢圓方程，要注意條件2a>|F1F2|；利用待定系數(shù)法要先定形(焦點位置)，再定量，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式． 橢圓的幾何性質(zhì) ?考法1　求離心率的值或取值范圍 【例1】　(1)(2017·浙江高考)橢圓＋＝1的離心率是(　　) A. B. C． D． (2)若橢圓上存在點P，使得點P到兩個焦點的距離之比為2∶1，則此橢圓離心率的取值范圍是(　　) A. B. C． D． (1)B　(2)D　[(1)∵橢圓方程為＋＝1， ∴a＝3，c＝＝＝. ∴e＝＝. 故選B. (2)設(shè)P到兩個焦點的

10、距離分別為2k，k，根據(jù)橢圓定義可知：3k＝2a，又結(jié)合橢圓的性質(zhì)可知，橢圓上的點到兩個焦點距離之差的最大值為2c，即k≤2c，∴2a≤6c，即e≥.又∵0

11、， ∴c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8. (2)由題意知a＝2，因為e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故橢圓方程為＋＝1.設(shè)P點坐標為(x0，y0)．所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.因為F(－1,0)，A(2,0)，＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2. 當x0＝－2時，·取得最大值4.] [規(guī)律方法]　1.求橢圓離心率的方法 (1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解． (2)列出含有a，b，c的齊次方程或不等式，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程或不等式求解． 2．利用橢圓幾何

12、性質(zhì)求參數(shù)的值或范圍的思路 求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問題時，要結(jié)合圖形進行分析，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系．建立關(guān)于a、b、c的方程或不等式． (1) 已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，若橢圓C上存在點P，使得線段PF1的中垂線恰好經(jīng)過焦點F2，則橢圓C離心率的取值范圍是(　　) A. B. C． D． (2)已知焦點在x軸上的橢圓C：＋y2＝1(a>0)，過右焦點作垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點，且|AB|＝1，則該橢圓的離心率為________． (1)C　(2)　[(1)如圖所示，∵線段PF1的

13、中垂線經(jīng)過F2，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c， 即橢圓上存在一點P，使得|PF2|＝2c，∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝∈. (2)因為橢圓＋y2＝1(a>0)的焦點在x軸上，所以c＝，又過右焦點且垂直于x軸的直線為x＝c，將其代入橢圓方程中，得＋y2＝1，則y＝± ，又|AB|＝1，所以2＝1，得＝，所以該橢圓的離心率e＝＝(負值舍去)．] 直線與橢圓的位置關(guān)系 【例3】　已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：＋＝1.試問當m取何值時，直線l與橢圓C： (1)有兩個不重合的公共點； (2)有且只有一個公共點； (3)沒有公共點． [解]　將直線l的方程與橢圓C

14、的方程聯(lián)立，得方程組將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)當Δ>0，即－33時，方程③沒有實數(shù)根，可知原方程組沒有實數(shù)解．這時直線l與橢圓C沒有公共點． [規(guī)律方法]　 直線與橢圓

15、的位置關(guān)系的類型及解題方法 (1)類型：一是判斷位置關(guān)系；二是根據(jù)位置關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍． (2)解題方法：一是聯(lián)立方程，借助一元二次方程的判別式Δ來判斷，二是借助幾何性質(zhì)來判斷，如下面的跟蹤訓練． 直線y＝kx－1與橢圓＋＝1相切，則k，a的取值范圍分別是(　　) A．a(chǎn)∈(0,1)，k∈ B．a(chǎn)∈(0,1]，k∈ C．a(chǎn)∈(0,1)，k∈∪ D．a(chǎn)∈(0,1]，k∈ B　[∵直線y＝kx－1是橢圓的切線，且過點(0，－1)， ∴點(0，－1)必在橢圓上或其外部，∴a∈(0,1]． 由方程組消去x，得 (a＋4k2)y2＋2ay＋a－4

16、ak2＝0. ∵直線和橢圓相切， ∴Δ＝(2a)2－4(a＋4k2)(a－4ak2) ＝16ak2(a－1＋4k2)＝0， ∴k＝0或a＝1－4k2. ∵0＜a≤1，∴0＜1－4k2≤1， ∴k2＜，∴k∈] 1．(2018·全國卷Ⅰ)已知橢圓C：＋＝1的一個焦點為(2,0)，則C的離心率為(　　) A.　　　　B.　　　　C．　　　　D． C　[不妨設(shè)a>0，因為橢圓C的一個焦點為(2,0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以橢圓C的離心率e＝＝.] 2．(2018·全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點．若PF1⊥PF2，且∠

17、PF2F1＝60°，則C的離心率為(　　) A．1－ B．2－ C． D．－1 D　[由題設(shè)知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c.由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故橢圓C的離心率e＝＝＝－1.故選D．] 3．(2016·全國卷Ⅰ)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為(　　) A. B. C． D． B　[不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點B(0，b)和一個焦點F(c,0)，則直線l的方程為＋＝1，即bx＋cy－b

18、c＝0.由題意知＝×2b，解得＝，即e＝.故選B.] 4．(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)A，B是橢圓C：＋＝1長軸的兩個端點．若C上存在點M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是(　　) A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞) A　[法一：設(shè)焦點在x軸上，點M(x，y)． 過點M作x軸的垂線，交x軸于點N， 則N(x,0)． 故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN) ＝＝. 又tan∠AMB＝tan 120°＝－， 且由＋＝1可得x2＝3－， 則＝＝－. 解得|y|＝. 又0<|y|≤，即0＜≤，結(jié)合0＜m＜3解得0＜m≤1. 對于焦點在y軸上的情況，同理亦可得m≥9. 則m的取值范圍是(0,1]∪[9，＋∞)． 故選A. 法二：當03時，焦點在y軸上， 要使C上存在點M滿足∠AMB＝120°， 則≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9. 故m的取值范圍為(0,1]∪[9，＋∞)． 故選A.] - 10 -