《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第2章 等式與不等式 2.2.2 不等式的解集 2.2.3 一元二次不等式的解法學(xué)案 新人教B版必修第一冊》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第2章 等式與不等式 2.2.2 不等式的解集 2.2.3 一元二次不等式的解法學(xué)案 新人教B版必修第一冊（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.2.3　一元二次不等式的解法 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1.掌握不等式的解集及不等式組的解集． 2．解絕對值不等式．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) 3．掌握一元二次不等式的解法．(重點(diǎn)) 4．能根據(jù)“三個二次”之間的關(guān)系解決簡單問題．(難點(diǎn)) 1.通過數(shù)學(xué)抽象理解絕對值不等式． 2．通過一元二次不等式的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 1．不等式的解集與不等式組的解集 一般地，不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集．對于由若干個不等式聯(lián)立得到的不等式組來說，這些不等式的解集的交集稱為不等式組的解集． 2．絕對值不等式 一般地，含有絕對值的不等式稱為絕對值不等式． 思考1：

2、你能總結(jié)出若a＞0，|x|＞a與|x|＜a的解集嗎？ 提示： 不等式 |x|＜a |x|＞a 解集 {x|－a＜x＜a} {x|x＞a或x＜－a} 3.數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式 一般地，如果實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，即A(a)，B(b)，則線段AB的長為AB＝|a－b|，這就是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式．?dāng)?shù)軸上線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)公式為x＝. 4.一元二次不等式的概念 一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式稱為一元二次不等式，其中a，b，c是常數(shù)，而且a≠0. 5．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax

3、2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 思考2：不等式x2－y2>0是一元二次不等式嗎？ 提示：此不等式含有兩個變量，根據(jù)一元二次不等式的定義，可知不是一元二次不等式． 6．一元二次不等式的解與解集 使一元二次不等式成立的未知數(shù)的值，叫做這個一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個一元二次不等式的解集． 思考3：類比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一個元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含義是什么？ 提示：不等式x2>1的解集為{x|x<－1或x>1}，該集合中每一個元素都是不等式的解

4、，即不等式的每一個解均使不等式成立． 7．三個“二次”的關(guān)系 設(shè)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac 判別式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y(tǒng)＞0或y＜0的步驟 求方程y＝0的解 有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1＜x2) 有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－ 沒有 實數(shù)根 畫函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的圖像 　　 思考4：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集為R，則實數(shù)a應(yīng)滿足什么條件？ 提示：結(jié)合二次函數(shù)圖像可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集為R，則解得a∈?，所以不存在

5、a使不等式ax2＋x－1>0的解集為R. 1．不等式組的解集為(　　) A.　　 B. C. D. D　[因為2x＋1＞0，∴x＞－，3x－2≤0，∴x≤，不等式組的解集為.] 2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集為(　　) A.　　　 B. C．? D．R D　[因為Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集為R.] 3．不等式|x|－3＜0的解集為________． {x|－3＜x＜3}　[不等式變形為|x|＜3，解集為{x|－3＜x＜3}．] 4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集為________． ?　[

6、原不等式變形為3x2－5x＋4<0.因為Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0無解． 由函數(shù)y＝3x2－5x＋4的圖像可知，3x2－5x＋4<0的解集為?.] 求不等式組的解集 【例1】　不等式組的解集是(　　) A．x＞－3　　　　　 B．－3≤x＜2 C．－3＜x≤2 D．x≤2 C　[ 解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞－3， ∴不等式組的解集為－3＜x≤2，故選C.] 一元一次不等式組解集的求解策略 (1)一元一次不等式組的解集就是每個不等式解集的交集； (2)求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找

7、，大大小小找不到(無解)． 1．解不等式組并在數(shù)軸上表示該不等式組的解集． [解]　 由①得，x＜3， 由②得，x≥－1， 故此不等式組的解集為－1≤x＜3， 在數(shù)軸上表示為： 解絕對值不等式 【例2】　不等式|5－4x|＞9的解集為________． 　[∵|5－4x|＞9，∴5－4x＞9或5－4x＜－9. ∴4x＜－4或4x＞14， ∴x＜－1或x＞. ∴原不等式的解集為.] 1．(變設(shè)問)不等式|5－4x|≤9的解集為________． 　[∵|5－4x|≤9，∴－9≤4x－5≤9. ∴－1≤x≤，∴原不等式的解集為 .] 2．(

8、變設(shè)問)若不等式|kx－5|≤9的解集為，則實數(shù)k＝________. 4　[由|kx－5|≤9?－4≤kx≤14. ∵不等式的解集為， ∴k＝4.] 1．|x|＜a與|x|＞a型不等式的解法 不等式 a＞0 a＝0 a＜0 |x|＜a {x|－a＜x＜a} ? ? |x|＞a {x|x＞a或x＜－a} {x|x∈R且x≠0} R 2.|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c； (2)|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 2．不等式2＜|2x＋3|≤4的解集為

9、(　　) A. B. C. D. C　[∵2＜|2x＋3|≤4，∴2＜2x＋3≤4，或－4≤2x＋3＜－2，∴－＜x≤，或－≤x＜－，∴不等式的解集為，故選C.] 一元二次不等式的解法 【例3】　解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3>0； (2)－4x2＋18x－≥0； (3)－2x2＋3x－2<0. [解]　(1)因為Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有兩個不等實根x1＝－3，x2＝－.又二次函數(shù)y＝2x2＋7x＋3的圖像開口向上，所以原不等式的解集為. (2)原不等式可化為2≤0，所以原不等式的解集為. (3)原不等式可化為2x

10、2－3x＋2>0，因為Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0無實根，又二次函數(shù)y＝2x2－3x＋2的圖像開口向上，所以原不等式的解集為R. 解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟 (1)化標(biāo)準(zhǔn).通過對不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項系數(shù)為正. (2)判別式.對不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計算對應(yīng)方程的判別式. (3)求實根.求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根. (4)畫草圖.根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖. (5)寫解集.根據(jù)圖像寫出不等式的解集. 3．解下列不等式． (1)2x2－3x－2>0；

11、(2)x2－4x＋4>0； (3)－x2＋2x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0. [解]　(1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2，∴不等式2x2－3x－2>0的解集為 . (2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2， ∴不等式x2－4x＋4>0的解集為. (3)原不等式可化為x2－2x＋3>0， 由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0無解， ∴不等式－x2＋2x－3<0的解集為R. (4)原不等式可化為3x2－5x＋2<0， 由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的兩根為x1＝，x2＝1， ∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集為.

12、 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 【例4】　解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. [思路點(diǎn)撥]?、賹τ诙雾椀南禂?shù)a是否分a＝0，a<0，a>0三類進(jìn)行討論？②當(dāng)a≠0時，是否還要比較兩根的大??？ [解]　當(dāng)a＝0時，原不等式可化為x>1. 當(dāng)a≠0時，原不等式可化為(ax－1)(x－1)<0. 當(dāng)a<0時，不等式可化為(x－1)>0， ∵<1，∴x<或x>1. 當(dāng)a>0時，原不等式可化為(x－1)<0. 若<1，即a>1，則1，即01；當(dāng)

13、a＝0時，原不等式的解集為{x|x>1}；當(dāng)01時，原不等式的解集為. 解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟 提醒：對參數(shù)分類討論的每一種情況是相互獨(dú)立的一元二次不等式的解集，不能合并． 4．解關(guān)于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)． [解]　原不等式移項得ax2＋(a－2)x－2≥0， 化簡為(x＋1)(ax－2)≥0. ∵a<0，∴(x＋1)≤0. 當(dāng)－2

14、a＝－2時，解集為{x|x＝－1}； 當(dāng)a<－2時，解集為. 　三個“二次”的關(guān)系 [探究問題] 1．利用函數(shù)y＝x2－2x－3的圖像說明當(dāng)y>0、y<0、y＝0時x的取值集合分別是什么？這說明二次函數(shù)與二次方程、二次不等式有何關(guān)系？ 提示：y＝x2－2x－3的圖像如圖所示． 函數(shù)y＝x2－2x－3的值滿足y>0時自變量x組成的集合，亦即二次函數(shù)y＝x2－2x－3的圖像在x軸上方時點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，滿足y<0時x的取值集合為{x|－1

15、說明： 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一種特殊情況，它們之間是一種包含關(guān)系，也就是當(dāng)y＝0時，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就轉(zhuǎn)化為方程，當(dāng)y>0或y<0時，就轉(zhuǎn)化為一元二次不等式． 2．方程x2－2x－3＝0與不等式x2－2x－3>0的解集分別是什么？觀察結(jié)果你發(fā)現(xiàn)什么問題？這又說明什么？ 提示：方程x2－2x－3＝0的解集為{－1,3}． 不等式x2－2x－3>0的解集為{x|x<－1或x>3}，觀察發(fā)現(xiàn)不等式x2－2x－3>0解集的端點(diǎn)值恰好是方程x2－2x－3＝0

16、的根． 3．設(shè)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分別為{x|xx2}，{x|x10(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分別為{x|xx2}，{x|x10的解集為{x|20的

17、解集為{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集為. 法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2

18、x的不等式cx2－bx＋a>0的解集． [解]　由根與系數(shù)的關(guān)系知＝－5，＝6且a<0. ∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0， 即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0. 解得. 2．(變條件)若將本例中的條件“關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2

19、＋5ax－3a＞0. 又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0， 所求不等式的解集為. 已知以a，b，c為參數(shù)的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集時，一般遵循： (1)根據(jù)解集來判斷二次項系數(shù)的符號； (2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式； (3)約去 a， 將不等式化為具體的一元二次不等式求解. 1．不等式(組)的解集要寫成集合形式，不等式組的解集是每個不等式解集的交集． 2．解絕對值不等式的關(guān)鍵就是去掉絕對值，利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想． 3．解一元二次不等式的常見方法 (1)圖像法：

20、由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關(guān)系，可以得到解一元二次不等式的一般步驟： ①化不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并畫出對應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖像的簡圖； ③由圖像得出不等式的解集． (2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解． 當(dāng)m

21、等式時，往往要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，為了做到分類“不重不漏”，討論需從如下三個方面進(jìn)行考慮： (1)關(guān)于不等式類型的討論：二次項系數(shù)a＞0，a＜0，a＝0. (2)關(guān)于不等式對應(yīng)的方程根的討論：兩根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，無根(Δ<0)． (3)關(guān)于不等式對應(yīng)的方程根的大小的討論：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2. 5．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函數(shù)的開口及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo). 1．思考辨析 (1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　) (2)若a>0，則一元二次不等式ax2＋1>0無解．(　　) (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為x1，x2(x

22、10，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集為R. (3)錯誤．當(dāng)a>0時，ax2＋bx＋c<0的解集為{x|x1

23、AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(－1)．] 3．如果＜2和|x|＞同時成立，那么x的取值范圍是________． 　[由＜2可得x＜0，或x＞.① 再由|x|＞可得x＞，或x＜－.② 把①②取交集可得x的取值范圍是.] 4．解下列不等式： (1)x(7－x)≥12； (2)x2>2(x－1)． [解]　(1)原不等式可化為x2－7x＋12≤0，因為方程x2－7x＋12＝0的兩根為x1＝3，x2＝4， 所以原不等式的解集為{x|3≤x≤4}． (2)原不等式可以化為x2－2x＋2>0， 因為判別式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0無實根，而拋物線y＝x2－2x＋2的圖像開口向上， 所以原不等式的解集為R. - 11 -