2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 5.4平面向量的應(yīng)用教案 理 新人教A版
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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 5.4平面向量的應(yīng)用教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 1.考查向量與平面幾何知識、三角函數(shù)的綜合應(yīng)用;2.考查向量的物理應(yīng)用,利用向量解決一些實際問題. 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.掌握向量平行、垂直的條件和數(shù)量積的意義,會求一些角、距離;2.體會數(shù)形結(jié)合思想,重視向量的工具性作用. 1. 向量在平面幾何中的應(yīng)用 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題. (1)證明線段平行或點共線問題,包括相似問題,常用共線向量定理:a∥b?a=λb(b≠0)?x1y2-x2y1=
2、0. (2)證明垂直問題,常用數(shù)量積的運算性質(zhì) a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0. (3)求夾角問題,利用夾角公式 cos θ== (θ為a與b的夾角). 2. 平面向量在物理中的應(yīng)用 (1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量,它們的分解與合成與向量的加法和減法相似,可以用向量的知識來解決. (2)物理學(xué)中的功是一個標(biāo)量,這是力F與位移s的數(shù)量積.即W=F·s=|F||s|cos θ (θ為F與s的夾角). 3. 平面向量與其他數(shù)學(xué)知識的交匯 平面向量作為一個運算工具,經(jīng)常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識結(jié)合,當(dāng)平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時,由向
3、量平行或垂直的充要條件可以得到關(guān)于該未知數(shù)的關(guān)系式.在此基礎(chǔ)上,可以求解有關(guān)函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問題. 此類問題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算,其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種:一是利用平面向量平行或垂直的充要條件;二是利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì). [難點正本 疑點清源] 1. 向量兼具代數(shù)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀,向量本身是一個數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物.在利用向量解決問題時,要注意數(shù)與形的結(jié)合、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與邏輯思維的結(jié)合. 2. 要注意變換思維方式,能從不同角度看問題,要善于應(yīng)用向量的有關(guān)性質(zhì)解題. 1. 一質(zhì)點受到平面上的三個力F1,F(xiàn)2,F(xiàn)3(單位:牛頓)的作用而處于平
4、衡狀態(tài).已知F1,F(xiàn)2成120°角,且F1,F(xiàn)2的大小分別為1和2,則F1與F3所成的角為________. 答案 90° 解析 如圖,F(xiàn)3=-(F1+F2). 在?OACB中,|OA|=1,|AC|=2, ∠OAC=60°, ∴|OC|= =, ∴∠AOC=90°,即⊥,∴F1⊥F3. 2. 平面上有三個點A(-2,y),B,C(x,y),若⊥,則動點C的軌跡方程為_____. 答案 y2=8x (x≠0) 解析 由題意得=,=, 又⊥,∴·=0, 即·=0,化簡得y2=8x (x≠0). 3. 河水的流速為2 m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度駛
5、向?qū)Π叮瑒t小船的靜水速度大小為________. 答案 2 m/s 解析 如圖所示小船在靜水中的速度為 =2 m/s. 4. 已知A、B是以C為圓心,半徑為的圓上的兩點,且||=,則·等于( ) A.- B. C.0 D. 答案 A 解析 ∵||==r,∴∠ACB=60°, ·=-·=-||·||·cos∠ACB =-·cos 60°=-. 5. a,b為非零向量,“a⊥b”是“函數(shù)f(x)=(xa+b)·(xb-a)為一次函數(shù)”的( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案
6、 B 解析 因為f(x)=(xa+b)·(xb-a)=(a·b)x2+(|b|2-|a|2)x-a·b.當(dāng)f(x)為一次函數(shù)時,必須滿足即故f(x)為一次函數(shù)時一定有a⊥b.當(dāng)a⊥b且|a|=|b|時,f(x)為常函數(shù),所以“a⊥b”不是“f(x)為一次函數(shù)”的充分條件,故選B. 題型一 應(yīng)用平面向量的幾何意義解題 例1 平面上的兩個向量,滿足||=a,||=b,且⊥,a2+b2=4.向量=x+y (x,y∈R),且a22+b22=1. (1)如果點M為線段AB的中點,求證:=+; (2)求||的最大值,并求此時四邊形OAPB面積的最大值. 思維啟迪:對第(1)問,可先求,再由
7、條件即可得到結(jié)論;對第(2)問,先設(shè)點M為線段AB的中點,進而利用第(1)問的結(jié)論,并由條件確定P,O,A,B四點共圓,結(jié)論即可得到. (1)證明 因為點M為線段AB的中點, 所以=+. 所以=-=(x+y)- =+. (2)解 設(shè)點M為線段AB的中點, 則由⊥,知||=||=||=||=1. 又由(1)及a22+b22=1,得 ||2=|-|2=22+22 =2a2+2b2=1. 所以||=||=||=||=1. 故P,O,A,B四點都在以M為圓心、1為半徑的圓上,所以當(dāng)且僅當(dāng)OP為圓M的直徑時,||max=2. 這時四邊形OAPB為矩形,則S四邊形OAPB=||·
8、||=ab≤=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時,四邊形OAPB的面積最大,最大值為2. 探究提高 本題是一道典型的考查向量幾何意義的應(yīng)用問題.求解第(2)問的難點就是如何利用第(1)問的結(jié)論來解決新的問題,突破這一難點的關(guān)鍵主要是從設(shè)點M為線段AB的中點入手,借助條件及第(1)問的結(jié)論,去探究||的最大值問題. 在△ABC所在平面上有一點P,滿足++=,則△PAB與△ABC的面積之比是 ( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 由已知可得=2,∴P是線段AC的三等分點(靠近點A),易知S△PAB=S△ABC,即S△PAB∶S△ABC=1
9、∶3. 題型二 平面向量在物理計算題中的應(yīng)用 例2 質(zhì)點受到平面上的三個力F1,F(xiàn)2,F(xiàn)3(單位:牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài),已知F1,F(xiàn)2成60°角,且F1,F(xiàn)2的大小分別為2和4,則F3的大小為________. 答案 2 解析 方法一 由已知條件F1+F2+F3=0, 則F3=-F1-F2,F(xiàn)=F+F+2|F1||F2|cos 60°=28. 因此,|F3|=2. 方法二 如圖,||2=|F1|2+ |F2|2-2|F1||F2|cos 60°=12, 則||2+||2=||2, 即∠OF1F2為直角, |F3|=2=2. 如圖所示,已知力F與水平方向的夾角為
10、30°(斜向 上),F(xiàn)的大小為50 N,F(xiàn)拉著一個重80 N的木塊在摩擦因數(shù)μ =0.02的水平平面上運動了20 m,問F、摩擦力f所做的功分別 為多少? 解 設(shè)木塊的位移為s, 則F·s=|F|·|s|cos 30°=50×20×=500 (J), F在豎直方向上的分力大小為 |F|sin 30°=50×=25(N), 所以摩擦力f的大小為|f|=(80-25)×0.02=1.1(N), 所以f·s=|f|·|s|cos 180°=1.1×20×(-1)=-22(J). ∴F,f所做的功分別為500 J,-22 J. 題型三 平面向量與三角函數(shù)的交匯 例3 已知在銳角
11、△ABC中,兩向量p=(2-2sin A,cos A+sin A),q=(sin A-cos A,1+sin A),且p與q是共線向量. (1)求A的大?。? (2)求函數(shù)y=2sin2B+cos取最大值時,B的大小. 解 (1)∵p∥q, ∴(2-2sin A)(1+sin A)-(cos A+sin A)(sin A-cos A)=0, ∴sin2A=,sin A=, ∵△ABC為銳角三角形,∴A=60°. (2)y=2sin2B+cos =2sin2B+cos =2sin2B+cos(2B-60°) =1-cos 2B+cos(2B-60°) =1-cos 2B+co
12、s 2Bcos 60°+sin 2Bsin 60° =1-cos 2B+sin 2B=1+sin(2B-30°), 當(dāng)2B-30°=90°,即B=60°時,函數(shù)取最大值2. 探究提高 向量與三角函數(shù)的結(jié)合往往是簡單的組合.如本題中的條件通過向量給出,根據(jù)向量的平行得到一個等式.向量與其他知識的結(jié)合往往也是這種簡單組合,因此這種題目較為簡單. △ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別是a,b,c,設(shè)向量m=(a+b,sin C),n=(a+c,sin B-sin A),若m∥n,則角B的大小為________. 答案 解析 ∵m∥n,∴(a+b)(sin B-sin A)-si
13、n C(a+c)=0,又∵==, 則化簡得a2+c2-b2=-ac, ∴cos B==-,∵0
14、) =(-)2-2=2-1, P是橢圓+=1上的任意一點,設(shè)P(x0,y0), 則有+=1,即x=16-, 又N(0,1),所以2=x+(y0-1)2 =-y-2y0+17=-(y0+3)2+20. 因y0∈[-2,2], 所以當(dāng)y0=2時,2取得最小值(2-1)2=13-4,(此時x0=0),故·的最小值為12-4. 探究提高 本題是平面向量與解析幾何的綜合性問題,涉及向量數(shù)量積的基本運算,數(shù)量積的求解以及軌跡、直線和曲線等問題,該題的難點是向量條件的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用,破解此問題應(yīng)從向量的坐標(biāo)運算入手,這也是解決解析幾何問題的基本方法——坐標(biāo)法.在解題過程中應(yīng)該注意結(jié)合向量的有關(guān)運
15、算技巧,先化簡后運算. 已知圓C:(x-3)2+(y-3)2=4及點A(1,1),M是圓C上的任意一點,點N在線段MA的延長線上,且=2,求點N的軌跡方程. 解 設(shè)M(x0,y0)、N(x,y).由=2得 (1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1), ∴ ∵點M(x0,y0)在圓C上, ∴(x0-3)2+(y0-3)2=4, 即(3-2x-3)2+(3-2y-3)2=4. ∴x2+y2=1. ∴所求點N的軌跡方程是x2+y2=1. 利用平面向量解三角形 典例:(12分)已知角A,B,C是△ABC的內(nèi)角,a,b,c分別是其對邊長,向量m=,n=,m⊥n. (1)
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