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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第08講 空間幾何體教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件觀察大量空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)； 2．能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合）的三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)使用材料（如：紙板）制作模型，會(huì)用斜二側(cè)法畫(huà)出它們的直觀圖； 3．通過(guò)觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫(huà)出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式； 4．完成實(shí)習(xí)作業(yè)，如畫(huà)出某些建筑的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)

2、格要求）； 二．命題走向 近幾年來(lái)，立體幾何高考命題形式比較穩(wěn)定，題目難易適中，解答題常常立足于棱柱、棱錐和正方體位置關(guān)系的證明和夾角距離的求解，而選擇題、填空題又經(jīng)常研究空間幾何體的幾何特征和體積表面積。因此復(fù)習(xí)時(shí)我們要首先掌握好空間幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征。培養(yǎng)好空間想能力。 預(yù)測(cè)07年高考對(duì)該講的直接考察力度可能不大，但經(jīng)常出一些創(chuàng)新型題目，具體預(yù)測(cè)如下： （1）題目多出一些選擇、填空題，經(jīng)常出一些考察空間想象能力的試題；解答題的考察位置關(guān)系、夾角距離的載體使空間幾何體，我們要想像的出其中的點(diǎn)線面間的位置關(guān)系； （2）研究立體幾何問(wèn)題時(shí)要重視多面體的應(yīng)用，才能發(fā)現(xiàn)隱含條件，利用隱蔽

3、條件解題。 三．要點(diǎn)精講 1．柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征 （1）柱 棱柱：一般的，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱；棱柱中兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面，簡(jiǎn)稱為底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)。 底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱；旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫

4、做圓柱側(cè)面的母線。 棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體； （2）錐 棱錐：一般的有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐；這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱。 底面是三角錐、四邊錐、五邊錐……的棱柱分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐…… 圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐；旋轉(zhuǎn)軸為圓錐的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓錐的側(cè)面。 棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體。 （3）臺(tái)

5、 棱臺(tái)：用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)；原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上底面；棱臺(tái)也有側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)。 圓臺(tái)：用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)；原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺(tái)的下底面和上底面；圓臺(tái)也有側(cè)面、母線、軸。 圓臺(tái)和棱臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體。 （4）球 以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱為球；半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。 （5）組合體 由柱、錐、臺(tái)、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫組合體。 2．空間幾何體的三視圖 三視圖是觀測(cè)者從

6、不同位置觀察同一個(gè)幾何體，畫(huà)出的空間幾何體的圖形。 他具體包括： （1）正視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖； 它能反映物體的高度和長(zhǎng)度； （2）側(cè)視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖； 它能反映物體的高度和寬度； （3）俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖； 它能反映物體的長(zhǎng)度和寬度； 3．空間幾何體的直觀圖 （1）斜二測(cè)畫(huà)法 ①建立直角坐標(biāo)系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐標(biāo)系； ②畫(huà)出斜坐標(biāo)系，在畫(huà)直觀圖的紙上（平面上）畫(huà)出對(duì)應(yīng)的O’X’,O’Y’,使=450（或1350），它們確定的平面表示水平平面； ③畫(huà)對(duì)應(yīng)圖形，在已知圖形平

7、行于X軸的線段，在直觀圖中畫(huà)成平行于X‘軸，且長(zhǎng)度保持不變；在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫(huà)成平行于Y‘軸，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半； ④擦去輔助線，圖畫(huà)好后，要擦去X軸、Y軸及為畫(huà)圖添加的輔助線（虛線）。 （2）平行投影與中心投影 平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)。 四．典例解析 題型1：空間幾何體的構(gòu)造 例1．（1）（06北京理4）平面的斜線 AB 交于點(diǎn) B，過(guò)定點(diǎn) A 的動(dòng)直線與 AB 垂直，且交于點(diǎn) C，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是（ ） A．一條直線 B．一個(gè)圓 C．一個(gè)橢圓 D．雙曲線的一支 （2）（04天

8、津文 8）如圖，定點(diǎn)A和B都在平面內(nèi)，定點(diǎn) C是內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn)，且那么，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是（ ） A．一條線段，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) B．一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) C．一個(gè)橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) D．半圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) （3）正方體ABCD_A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足PM=2，P到直線A1D1的距離為，則點(diǎn)P的軌跡是[ ] A.圓 B.雙曲線 C.兩個(gè)點(diǎn) D.直線 解析：（1）設(shè)與￠是其中的兩條任意的直線，則這兩條直線確定一個(gè)平面，且斜線垂直這個(gè)平面，由過(guò)平面外一點(diǎn)有且

9、只有一個(gè)平面與已知直線垂直可知過(guò)定點(diǎn)與垂直所有直線都在這個(gè)平面內(nèi)，故動(dòng)點(diǎn)C都在這個(gè)平面與平面的交線上，故選A。 （2）答案為B。 （3）解析： 點(diǎn)P到A1D1的距離為，則點(diǎn)P到AD的距離為1，滿足此條件的P的軌跡是到直線AD的距離為1的兩條平行直線， 又，滿足此條件的P的軌跡是以M為圓心，半徑為2的圓，這兩種軌跡只有兩個(gè)交點(diǎn). 故點(diǎn)P的軌跡是兩個(gè)點(diǎn)。選項(xiàng)為C。 點(diǎn)評(píng)：該題考察空間內(nèi)平面軌跡的形成過(guò)程，考察了空間想象能力。 例2．（06江蘇9）兩相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，可放棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個(gè)平面平行，且各頂點(diǎn)均在正方體的面上，則

10、這樣的幾何體體積的可能值有（ ） A．1個(gè)　　　　　B．2個(gè) C．3個(gè)　　　　　D．無(wú)窮多個(gè) 解析：由于兩個(gè)正四棱錐相同，所以所求幾何體的中心在正四棱錐底面正方形ABCD中心，有對(duì)稱性知正四棱錐的高為正方體棱長(zhǎng)的一半，影響幾何體體積的只能是正四棱錐底面正方形ABCD的面積，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)為1的正方形的內(nèi)接正方形有多少種，所以選D。 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間想象能力，以及正四棱錐的體積。正方體是大家熟悉的幾何體，它的一些內(nèi)接或外接圖形需要一定的空間想象能力，要學(xué)會(huì)將空間問(wèn)題向平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化。 題型2：空間幾何體的定義 例3．（06江西文9）如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就

11、稱它為“等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下4個(gè)命題中，假命題是（　B　） Ａ．等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等 Ｂ．等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補(bǔ) Ｃ．等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓 Ｄ．等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面上 解析：因?yàn)椤暗妊睦忮F”的四條側(cè)棱都相等，所以它的頂點(diǎn)在底面的射影到底面的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故A，C正確，且在它的高上必能找到一點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故D正確，B不正確，如底面是一個(gè)等腰梯形時(shí)結(jié)論就不成立。故選B 點(diǎn)評(píng)：抓住本質(zhì)的東西來(lái)進(jìn)行判斷，對(duì)于信息要進(jìn)行加工再利用。 例4．（xx北京理，10）設(shè)命題甲：“直四棱柱ABCD－

12、A1B1C1D1中，平面ACB1與對(duì)角面BB1D1D垂直”；命題乙：“直四棱柱ABCD－A1B1C1D1是正方體”.那么，甲是乙的（ ） A.充分必要條件 B.充分非必要條件 C.必要非充分條件 D.既非充分又非必要條件C 解析：若命題甲成立，命題乙不一定成立，如底面為菱形時(shí)。若命題乙成立，命題甲一定成立。答案為C。 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于空間幾何體的定義要有深刻的認(rèn)識(shí)，掌握它們并能判斷它們的性質(zhì)。 題型3：空間幾何體中的想象能力 例5．（xx上海春，10）圖9—12表示一個(gè)正方體表面的一種展開(kāi)圖，圖中的四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有 對(duì)

13、. 解析：相互異面的線段有AB與CD，EF與GH，AB與GH3對(duì). 點(diǎn)評(píng)：解決此類題目的關(guān)鍵是將平面圖形恢復(fù)成空間圖形，較強(qiáng)的考察了空間想象能力。 圖9—1 例6．（xx京春文11，理8）如圖9—1，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點(diǎn).將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為（ ） A．90° B．60° C．45° D．0° 答案：B 解析：將三角形折成三棱錐如圖9—43所示.HG與IJ為一對(duì)異面直線.過(guò)點(diǎn)D分別作HG與IJ的平行線，即DF與AD.

14、所以∠ADF即為所求.因此，HG與IJ所成角為60°。 點(diǎn)評(píng)：在畫(huà)圖過(guò)程中正確理解已知圖形的關(guān)系是關(guān)鍵。通過(guò)識(shí)圖、想圖、畫(huà)圖的角度考查了空間想象能力。而對(duì)空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標(biāo)志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向。 題型4：斜二測(cè)畫(huà)法 例7．畫(huà)正五棱柱的直觀圖，使底面邊長(zhǎng)為3cm側(cè)棱長(zhǎng)為5cm。 解析：先作底面正五邊形的直觀圖，再沿平行于Z軸方向平移即可得。 作法： （1）畫(huà)軸：畫(huà)X′，Y′，Z′軸，使∠X′O′Y′=45°（或135°），∠X′O′Z′=90°。 （2）畫(huà)底面：按X′軸，Y′軸畫(huà)正五邊形的直觀圖ABCDE。 （3）畫(huà)側(cè)棱：過(guò)A、B、C、

15、D、E各點(diǎn)分別作Z′軸的平行線，并在這些平行線上分別截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE?！? （4）成圖：順次連結(jié)A′，B′，C′，D′，F(xiàn)′，加以整理，去掉輔助線，改被遮擋的部分為虛線。 點(diǎn)評(píng)：用此方法可以依次畫(huà)出棱錐、棱柱、棱臺(tái)等多面體的直觀圖。 例8．是正△ABC的斜二測(cè)畫(huà)法的水平放置圖形的直觀圖，若的面積為，那么△ABC的面積為_(kāi)______________。 解析：。 點(diǎn)評(píng)：該題屬于斜二測(cè)畫(huà)法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于建立實(shí)物圖元素與直觀圖元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。特別底和高的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 題型5：平行投影與中心投影 例9．（1）如圖，在正四面體A－BCD中，E、F、G分別是三

16、角形ADC、ABD、BCD的中心，則△EFG在該正四面體各個(gè)面上的射影所有可能的序號(hào)是（ ） ① ② ③ ④ A．①③ B．②③④ C．③④ D．②④ （2）（xx全國(guó)，16）如圖9—15（1），E、F分別為正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是圖9—15（2）的 （要求：把可能的圖的序號(hào)都填上）. 解析：（1）正四面體各面的中點(diǎn)在四個(gè)面上的射影不可能落到正四面體的邊上，所以①②不正確，根據(jù)射影的性質(zhì)

17、E、F、G、三點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的射影形狀如“④”所示，在其它平面上的射影如“③”所示。答案：C； （2）答案：②③；解析：∵面BFD1E⊥面ADD1A1，所以四邊形BFD1E在面ADD1A1上的射影是③，同理，在面BCC1B1上的射影也是③。過(guò)E、F分別作DD1和CC1的垂線，可得四邊形BFD1E在面DCC1D1上的射影是②，同理在面ABB1A1，面ABCD和面A1B1C1D1上的射影也是②。 點(diǎn)評(píng)：考查知識(shí)立足課本，對(duì)空間想象能力、分析問(wèn)題的能力、操作能力和思維的靈活性等方面要求較高，體現(xiàn)了加強(qiáng)能力考查的方向。 例10．（06 安徽理16）多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的，如

18、圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則P到平面的距離可能是： ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上結(jié)論正確的為_(kāi)_______________________（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)） A B C D A1 B1 C1 D1 A1 解析：如圖，B、D、A1到平面的距離分別為1、2、4，則D、A1的中點(diǎn)到平面的距離為3，所以D1到平面的距離為6；B、A1的中點(diǎn)到平面的距離為，所以B1到平面的距離為5；則D、B的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C

19、到平面的距離為3；C、A1的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C1到平面的距離為7；而P為C、C1、B1、D1中的一點(diǎn)，所以選①③④⑤。 點(diǎn)評(píng)：該題將計(jì)算蘊(yùn)涵于射影知識(shí)中，屬于難得的綜合題目。 題型6：三視圖 例11．（1）畫(huà)出下列幾何體的三視圖 （2） 解析：這二個(gè)幾何體的三視圖如下 （2）如圖，設(shè)所給的方向?yàn)槲矬w的正前方，試畫(huà)出它的三視圖（單位：cm） 點(diǎn)評(píng)：畫(huà)三視圖之前，應(yīng)把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，選擇一個(gè)合適的主視方向。一般先畫(huà)主視圖，其次畫(huà)俯視圖，最后畫(huà)左視圖。畫(huà)的時(shí)候把輪廓線要畫(huà)出來(lái)，被遮住的輪廓線

20、要畫(huà)成虛線。物體上每一組成部分的三視圖都應(yīng)符合三條投射規(guī)律。 例12．某物體的三視圖如下，試判斷該幾何體的形狀 解析：該幾何體為一個(gè)正四棱錐分析：三視圖是從三個(gè)不同的方向看同一物體得到的三個(gè)視圖。 點(diǎn)評(píng)：主視圖反映物體的主要形狀特征，主要體現(xiàn)物體的長(zhǎng)和高，不反映物體的寬。而俯視圖和主視圖共同反映物體的長(zhǎng)要相等。左視圖和 俯視圖共同反映物體的寬要相等。據(jù)此就不難得出該幾何體的形狀。 五．思維總結(jié) 1.幾種常凸多面體間的關(guān)系 2.一些特殊棱柱、棱錐、棱臺(tái)的概念和主要性質(zhì) 名稱 棱柱 直棱柱 正棱柱 圖 形

21、 定 義 有兩個(gè)面互相平行，而其余每相鄰兩個(gè)面的交線都互相平行的多面體 側(cè)棱垂直于底面的棱柱 底面是正多邊形的直棱柱 側(cè)棱 平行且相等 平行且相等 平行且相等 側(cè)面的形狀 平行四邊形 矩形 全等的矩形 對(duì)角面的形狀 平行四邊形 矩形 矩形 平行于底面的截面的形狀 與底面全等的多邊形 與底面全等的多邊形 與底面全等的正多邊形 名稱 棱錐 正棱錐 棱臺(tái) 正棱臺(tái) 圖形 定義 有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的多面體 底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的射影是底面和截面之間的部

22、分 用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分 由正棱錐截得的棱臺(tái) 側(cè)棱 相交于一點(diǎn)但不一定相等 相交于一點(diǎn)且相等 延長(zhǎng)線交于一點(diǎn) 相等且延長(zhǎng)線交于一點(diǎn) 側(cè)面的形狀 三角形 全等的等腰三角形 梯形 全等的等腰梯形 對(duì)角面的形狀 三角形 等腰三角形 梯形 等腰梯形 平行于底的截面形狀 與底面相似的多邊形 與底面相似的正多邊形 與底面相似的多邊形 與底面相似的正多邊形 其他性質(zhì) 高過(guò)底面中心；側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等 兩底中心連線即高；側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等 幾種特殊四棱柱的

23、特殊性質(zhì) 名稱 特殊性質(zhì) 平行六面體 底面和側(cè)面都是平行四邊行；四條對(duì)角線交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分 直平行六面體 側(cè)棱垂直于底面，各側(cè)面都是矩形；四條對(duì)角線交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分 長(zhǎng)方體 底面和側(cè)面都是矩形；四條對(duì)角線相等，交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分 正方體 棱長(zhǎng)都相等，各面都是正方形四條對(duì)角線相等，交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分 3． 三視圖畫(huà)法規(guī)則 高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊 長(zhǎng)對(duì)正：主視圖與俯視圖的長(zhǎng)應(yīng)對(duì)正 寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)相等 4．畫(huà)水平放置的多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，因?yàn)槎噙呅雾旤c(diǎn)的位置一旦確定，依次連結(jié)這些頂點(diǎn)就可畫(huà)出多邊形來(lái)，因此平面多邊形水平放置時(shí)，直觀圖的畫(huà)法可以歸結(jié)為確定點(diǎn)的位置的畫(huà)法。強(qiáng)調(diào)斜二測(cè)畫(huà)法的步驟。