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1、2022年高三數(shù)學大一輪復習 4.2同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導公式教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　1.考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導公式；2.利用公式進行三角函數(shù)的化簡與求值． 復習備考要這樣做　1.理解記憶同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導公式，特別要對誘導公式的口訣理解透徹；2.通過訓練加強公式運用能力的培養(yǎng)，尋找化簡求值中的規(guī)律． 1． 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 (1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商數(shù)關(guān)系：＝tan α. 2． 下列各角的終邊與角α的終邊的關(guān)系 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α 圖示 與角α終邊的關(guān)

2、系 相同 關(guān)于原點對稱 關(guān)于x軸對稱 角 π－α －α ＋α 圖示 與角α終邊的關(guān)系 關(guān)于y軸 對稱 關(guān)于直線y＝x 對稱 3. 六組誘導公式 組數(shù) 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α 口訣 函數(shù)名不

3、變 符號看象限 函數(shù)名改變 符號看象限 [難點正本　疑點清源] 1． 同角三角函數(shù)關(guān)系式 (1)利用平方關(guān)系解決問題時，要注意開方運算結(jié)果的符號，需要根據(jù)角α的范圍進行確定． (2)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系反映了同一個角的不同三角函數(shù)之間的必然聯(lián)系，它為三角函數(shù)的化簡、求值、證明等又提供了一種重要的方法． 2． 誘導公式 誘導公式可概括為k·±α(k∈Z)的各三角函數(shù)值的化簡公式．記憶規(guī)律是“奇變偶不變，符號看象限”．其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)名稱的變化． 1． (xx·大綱全國)已知α∈，tan α＝2，則cos α＝________. 答案　

4、－ 解析　∵tan α＝2，∴＝2，∴sin α＝2cos α. 又sin2α＋cos2α＝1，∴(2cos α)2＋cos2α＝1，∴cos2α＝. 又∵α∈，∴cos α＝－. 2． 若tan α＝2，則的值為________． 答案　 解析　原式＝＝. 3． 已知α是第二象限的角，tan α＝－，則cos α＝________. 答案?。? 解析　∵α是第二象限的角，∴cos α<0. 又sin2α＋cos2α＝1，tan α＝＝－， ∴cos α＝－. 4． sin π·cos π·tan的值是________． 答案?。? 解析　原式＝sin·cos·tan

5、 ＝·· ＝××(－)＝－. 5． 已知cos＝，則sin＝________. 答案?。? 解析　sin＝sin ＝－sin＝－cos＝－. 題型一　同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應用 例1　已知在△ABC中，sin A＋cos A＝. (1)求sin Acos A的值； (2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形； (3)求tan A的值． 思維啟迪：由sin A＋cos A＝及sin2A＋cos2A＝1，可求sin A，cos A的值． 解　(1)∵sin A＋cos A＝① ∴兩邊平方得1＋2sin Acos A＝， ∴sin Acos A＝－. (2)由si

6、n Acos A＝－<0，且00，cos A<0，∴sin A－cos A>0， ∴sin A－cos A＝.② ∴由①，②可得sin A＝，cos A＝－， ∴tan A＝＝＝－. 探究提高　(1)對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，已知其中一個式子的值，其余二式的值可求．轉(zhuǎn)化的公式為(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(2)關(guān)于sin α，cos

7、 α的齊次式，往往化為關(guān)于tan α的式子． (1)已知tan α＝2，求sin2α＋sin αcos α－2cos2α； (2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α. 解　(1)sin2α＋sin αcos α－2cos2α ＝ ＝＝. (2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin2α＝4sin2β，① tan2α＝9tan2β，② 由①÷②得：9cos2α＝4cos2β，③ ①＋③得：sin2α＋9cos2α＝4， ∵cos2α＋sin2α＝1，∴cos2α＝，即cos α＝±. 題型二　三角函數(shù)的誘導公式

8、的應用 例2　(1)已知cos＝，求cos的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值． 思維啟迪：(1)將＋α看作一個整體，觀察＋α與－α的關(guān)系． (2)先化簡已知，求出cos α的值，然后化簡結(jié)論并代入求值． 解　(1)∵＋＝π， ∴－α＝π－. ∴cos＝cos ＝－cos＝－， 即cos＝－. (2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－， ∴cos α＝. ∴sin(3π＋α)·tan ＝sin(π＋α)· ＝sin α·tan ＝sin α· ＝sin α·＝cos

9、 α＝. 探究提高　熟練運用誘導公式和基本關(guān)系式，并確定相應三角函數(shù)值的符號是解題的關(guān)鍵．另外，切化弦是常用的規(guī)律技巧． (1)化簡：； (2)已知f(x)＝，求f的值． 解　(1)原式＝ ＝＝ ＝－＝－·＝－1. (2)∵f(x)＝ ＝－cos x·tan x＝－sin x， ∴f＝－sin＝sin ＝sin＝sin ＝. 題型三　三角函數(shù)式的化簡與求值 例3　(1)已知tan α＝，求的值； (2)化簡：. 思維啟迪：三角函數(shù)式的化簡與求值，都是按照從繁到簡的形式進行轉(zhuǎn)化，要認真觀察式子的規(guī)律，使用恰當?shù)墓剑? 解　(1)因為tan α＝， 所以＝ ＝

10、＝. (2)原式＝ ＝＝＝－1. 探究提高　在三角變換中，要注意尋找式子中的角，函數(shù)式子的特點和聯(lián)系，可以切化弦，約分或抵消，減少函數(shù)種類，對式子進行化簡． 已知sin＝－，α∈(0，π)， 求的值． 解　∵sin＝－， ∴cos α＝－，又α∈(0，π)，∴sin α＝. ＝ ＝＝＝－. 分類討論思想在三角函數(shù)化簡中的應用 典例：(12分)化簡：sin＋cos (n∈Z)． 審題視角　(1)角中含有變量n，因而需對n的奇偶分類討論． (2)利用誘導公式，需將角寫成符合公式的某種形式，這就需要將角中的某一部分作為一個整體來看． 規(guī)范解答 解　當n

11、為偶數(shù)時，設(shè)n＝2k (k∈Z)，則[1分] 原式＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝－sin＋cos ＝－sin＋sin＝0.[5分] 當n為奇數(shù)時，設(shè)n＝2k＋1 (k∈Z)，則[6分] 原式＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝sin－cos ＝sin－cos ＝sin－sin＝0.[10分] 故sin＋cos＝0.[12分] 溫馨提醒　(1)本題的化簡過程，突出體現(xiàn)了分類討論的思想，當然除了運用分類討論的思想將n分兩類情況來討論外，在解答過程中還處處體現(xiàn)了化歸思想和整體思想． (2)在轉(zhuǎn)化過程中，缺

12、乏整體意識，是出錯的主要原因. 方法與技巧 同角三角恒等變形是三角恒等變形的基礎(chǔ)，主要是變名、變式． 1． 同角關(guān)系及誘導公式要注意象限角對三角函數(shù)符號的影響，尤其是利用平方關(guān)系在求三角函數(shù)值時，進行開方時要根據(jù)角的象限或范圍，判斷符號后，正確取舍． 2． 三角求值、化簡是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，在求值與化簡時，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x＝化成正弦、余弦函數(shù)；(2)和積轉(zhuǎn)換法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的關(guān)系進行變形、轉(zhuǎn)化；(3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＝tan＝….

13、 失誤與防范 1． 利用誘導公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負—脫周—化銳． 特別注意函數(shù)名稱和符號的確定． 2． 在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號． 3． 注意求值與化簡后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化． A組　專項基礎(chǔ)訓練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．已知α和β的終邊關(guān)于直線y＝x對稱，且β＝－，則sin α等于 (　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　因為α和β的終邊關(guān)于直線y＝x對稱，所以α＋β

14、＝2kπ＋(k∈Z)．又β＝－，所以α＝2kπ＋(k∈Z)，即得sin α＝. 2． cos(－2 013π)的值為 (　　) A. B．－1 C．－ D．0 答案　B 解析　cos(－2 013π)＝cos(－2 014π＋π)＝cos π＝－1. 3． 已知f(α)＝，則f的值為 (　　) A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　∵f(α)＝＝cos α， ∴f＝cos ＝cos＝cos ＝. 4． 當0

15、 C．2 D．4 答案　D 解析　當0

16、－＝－＝－1. 三、解答題(共22分) 8． (10分)已知sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，求tan θ的值． 解　將已知等式兩邊平方，得sin θcos θ＝－， ∴<θ<π， ∴sin θ－cos θ＝＝＝. 解方程組得 ∴tan θ＝＝. 9． (12分)已知sin(3π＋θ)＝，求＋的值． 解　∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝，∴sin θ＝－， ∴原式＝ ＋ ＝＋＝＋ ＝＝＝＝18. B組　專項能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． 若sin＝，則cos等于 (　　

17、) A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　∵＋＝， ∴sin＝sin ＝cos＝. 則cos＝2cos2－1＝－. 2． 已知＝－，則的值是 (　　) A. B．－ C．2 D．－2 答案　A 解析　由同角三角函數(shù)關(guān)系式1－sin2α＝cos2α及題意可得cos α≠0且1－sin α≠0， ∴＝，∴＝－， 即＝. 3． 若cos α＋2sin α＝－，則tan α等于 (　　) A. B．2 C．－ D．－2 答案　B 解析　由cos α＋2

18、sin α＝－可知，cos α≠0，兩邊同時除以cos α得1＋2tan α＝， 平方得(1＋2tan α)2＝＝5(1＋tan2α)， ∴tan2α－4tan α＋4＝0，解得tan α＝2. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． 若sin(π＋α)＝－，α∈，則cos α＝________. 答案　－ 解析　∵sin(π＋α)＝－sin α，∴sin α＝. 又α∈，∴cos α＝－＝－. 5． 已知tan θ＝2，則sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝________. 答案　 解析　sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ ＝ ＝ ＝

19、＝＝. 6． 已知cos＝a (|a|≤1)，則cos＋sin的值是________． 答案　0 解析　cos＝cos ＝－cos＝－a. sin＝sin＝cos＝a， ∴cos＋sin＝0. 三、解答題 7． (13分)已知A、B、C是三角形的內(nèi)角，sin A，－cos A是方程x2－x＋2a＝0的兩根． (1)求角A. (2)若＝－3，求tan B. 解　(1)由已知可得，sin A－cos A＝1① 又sin2A＋cos2A＝1， ∴sin2A＋(sin A－1)2＝1， 即4sin2A－2sin A＝0， 得sin A＝0(舍去)或sin A＝，∴A＝或， 將A＝或代入①知A＝π時不成立，∴A＝. (2)由＝－3， 得sin2B－sin Bcos B－2cos2B＝0， ∵cos B≠0，∴tan2B－tan B－2＝0， ∴tan B＝2或tan B＝－1. ∵tan B＝－1使cos2B－sin2B＝0，舍去， 故tan B＝2.