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2021中考數(shù)學(xué) 滾動(dòng)小專題五 三角形的有關(guān)計(jì)算與證明

上傳人:沈*** 文檔編號(hào):105056024 上傳時(shí)間:2022-06-11 格式:DOC 頁數(shù):6 大?。?92.50KB
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1、 三角形的有關(guān)計(jì)算與證明 三角形的有關(guān)計(jì)算和證明是中考的必考內(nèi)容之一,這類試題解法比較靈活,通常以全等三角形、等腰三角形、等邊三角形和直角三角形的性質(zhì)和判定為考查重點(diǎn),以計(jì)算題、證明題的形式出現(xiàn),解答這類問題時(shí),不僅要熟練掌握有關(guān)的公式定理,更要注意它們之間的相互聯(lián)系. 例 (2014·重慶B卷)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E為AC邊的中點(diǎn),過點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長線于點(diǎn)D.CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G,F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn),連接CF,且∠ACF=∠CBG. 求證:(1)AF=CG;(2)CF=2DE. 【思路點(diǎn)撥】(1)要證明AF=CG,可

2、以利用“ASA”證明△ACF≌△CBG來得到; (2)要證明CF=2DE,由(1)得CF=BG,則只要證明BG=2DE,又利用△AED≌△CEG可得DG=2DE,故證明DG=BG即可. 【解答】證明:(1)∵∠ACB=90°,CG平分∠ACB,AC=BC. ∴∠BCG=∠CAB=45°. 又∵∠ACF=∠CBG,AC=BC, ∴△ACF≌△CBG(ASA), ∴CF=BG,AF=CG. (2)延長CG交AB于點(diǎn)H. ∵AC=BC,CG平分∠ACB, ∴CH⊥AB,H為AB中點(diǎn). 又∵AD⊥AB,∴CH∥AD, ∴G為BD中點(diǎn),∠D=∠EGC. ∵E為AC中點(diǎn),∴AE=E

3、C. 又∵∠AED=∠CEG, ∴△AED≌△CEG(AAS), ∴DE=EG,∴DG=2DE,∴BG=DG=2DE. 由(1)得CF=BG,∴CF=2DE. 方法歸納:解答與線段或角相等的有關(guān)問題時(shí),通常將它轉(zhuǎn)化為全等三角形問題來求解. 1.(2014·長沙)如圖,四邊形ABCD是矩形,把矩形沿對(duì)角線AC折疊,點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,CE與AD相交于點(diǎn)O. (1)求證:△AOE≌△COD; (2)若∠OCD=30°,AB=,求△AOC的面積. 2.(2014·濱州)如圖,已知正方形ABCD,把邊DC繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到DC′處,連接AC′,B

4、C′,CC′.寫出圖中所有的等腰三角形,并寫出推理過程. 3.如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為D、E,F(xiàn)為BC中點(diǎn),BE與DF、DC分別交于點(diǎn)G、H,∠ABE=∠CBE. (1)線段BH與AC相等嗎?若相等給予證明,若不相等請(qǐng)說明理由; (2)求證:BG2-GE2=EA2. 4.在等邊△ABC中,點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合,點(diǎn)D在CB的延長線上,且EC=ED. (1)當(dāng)BE=AE時(shí),求證:BD=AE; (2)當(dāng)BE≠AE時(shí),“BD=AE”還成立嗎?若你認(rèn)為不

5、成立,請(qǐng)直接寫出BD與AE數(shù)量關(guān)系式,若你認(rèn)為成立,請(qǐng)給予證明. 5.(2014·重慶A卷)如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于點(diǎn)E.在△ABC外有一點(diǎn)F,使FA⊥AE,F(xiàn)C⊥BC. (1)求證:BE=CF; (2)在AB上取一點(diǎn)M,使BM=2DE,連接MC,交AD于點(diǎn)N,連接ME. 求證:①M(fèi)E⊥BC;②DE=DN. 參考答案 1.(1)證明:由折疊的性質(zhì)可得:AE=AB,∠E=∠B=90°. ∵四邊形ABCD是矩形,∴CD=AB,∠D=90°. ∴AE=

6、CD,∠E=∠D=90°. 在△AOE和△COD中, ∴△AOE≌△COD(AAS). (2)在Rt△OCD中,∠OCD=30°,∴OC=2OD. ∵AB=CD=,OD2+CD2=OC2, ∴OD2+()2=4OD2,解得OD=1. ∴OC=2. 由折疊知:∠BCA=∠ACO. ∵AD∥BC,∴∠OAC=∠BCA, ∴∠OAC=∠ACO,∴OA=OC=2, ∴S△AOC=·OA·CD=×2×=. 2.圖中的所有的等腰三角形有:△DCC′,△DAC′,△ABC′,△BCC′,理由如下: ∵正方形ABCD, ∴CD=AD=AB=BC, ∠ADC=∠DAB=∠ABC=

7、∠BCD=90°. ∵邊DC繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到DC′處, ∴DC′=DC=AD=AB, ∠DCC′=∠DC′C= (180°-30°)=75°, 即△DCC′是等腰三角形. ∵∠ADC=90°,∠CDC′=30°,∴∠ADC′=60°. ∵DC′=AD,∴△DAC′為等邊三角形. ∴AC′=AD=AB,∠DAC′=∠DC′A=60°, ∴△ABC′為等腰三角形,∠BAC′=90°-60°=30°, ∴∠ABC′=∠AC′B=(180°-30°)=75°, ∴∠C′BC=90°-75°=15°, ∠C′CB=90°-75°=15°, ∴∠C′BC=∠C′CB, ∴

8、△BCC′是等腰三角形. 3.(1)BH=AC. 證明:∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°, ∠ABC=45°, ∴∠BCD=45°=∠ABC,∴DB=DC. 又∵∠BHD=∠CHE,∴∠DBH=∠DCA. ∴△DBH≌△DCA,∴BH=AC. (2)證明:連接GC.則GC2-GE2=EC2. ∵F為BC中點(diǎn),DB=DC,∴DF垂直平分BC, ∴BG=GC. ∴BG2-GE2=EC2. ∵∠ABE=∠CBE,∠CEB=∠AEB,BE=BE, ∴△BCE≌△BAE. ∴EC=EA, ∴BG2-GE2=EA2. 4.(1)證明:如圖1,在等邊△ABC中,∠AB

9、C=∠ACB=60°. ∵BE=AE,∴∠ACE=∠ECB=30°. 又∵CE=DE,∴∠D=∠ECD=30°. ∴∠DEB=30°,∴BE=BD,∴BD=AE. (2)BD=AE還成立. 證明:如圖2,過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于F, 易證△EFB為等邊三角形, ∴EF=FB=BE.∴∠EFB=∠EBF. ∴∠CFE=∠EBD. ∵CE=DE,∴∠ECD=∠D. ∴△ECF≌△EDB,∴CF=BD. ∵AB=BC,AB-BE=BC-BF,即AE=CF. ∴AE=BD. 5.證明:(1)∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠B=∠ACB=45°. ∵FC⊥BC,

10、∴∠BCF=90°. ∴∠ACF=90°-45°=45°,∴∠B=∠ACF. ∵∠BAC=90°,F(xiàn)A⊥AE, ∴∠BAE+∠CAE=90°,∠CAF+∠CAE=90°, ∴∠BAE=∠CAF. 在△ABE和△ACF中, ∴△ABE≌△ACF(ASA). ∴BE=CF. (2)①如圖,過點(diǎn)E作EH⊥AB于H,則△BEH是等腰直角三角形. ∴HE=BH,∠BEH=45°. ∵AE平分∠BAD,AD⊥BC, ∴DE=HE,∴DE=BH=HE. ∵BM=2DE,∴HE=HM, ∴△HEM是等腰直角三角形,∴∠MEH=45°, ∴∠BEM=45°+45°=90°,∴ME⊥BC. ②由題意,得∠CAE=45°+×45°=67.5°, ∴∠CEA=180°-45°-67.5°=67.5°, ∴∠CAE=∠CEA=67.5°,∴AC=CE. 在Rt△ACM和Rt△ECM中, ∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL), ∴∠ACM=∠ECM=×45°=22.5°. 又∵∠DAE=×45°=22.5°, ∴∠DAE=∠ECM. ∵∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC, ∴AD=CD=BC. 在△ADE和△CDN中, ∴△ADE≌△CDN(ASA), ∴DE=DN. 6

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