第21講 圓的基本性質(zhì) 考點(diǎn)1 圓的有關(guān)概念 圓的定義 定義1：在一個(gè)平面內(nèi)，一條線段繞著它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓. 定義2：圓是到定點(diǎn)的距離① 定長的所有點(diǎn)組成的圖形. 弦 連接圓上任意兩點(diǎn)的② 叫做弦. 直徑 直徑是經(jīng)過圓心的③ ，是圓內(nèi)最④ 的弦. 弧 圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，弧有⑤ 之分，能夠完全重合的弧叫做⑥ . 等圓 能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓. 同心圓 圓心相同的圓叫做同心圓. 考點(diǎn)2 圓的對稱性 圓的對稱性 圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條經(jīng)過⑦ 的直線. 圓是中心對稱圖形，對稱中心為⑧ . 垂徑定理 定理 垂直于弦的直徑⑨ 弦，并且平分弦所對的兩條⑩ . 推論 平分弦(不是直徑)的直徑? 弦，并且? 弦所對的兩條弧. 圓心角、弧、弦之間的關(guān)系 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角﹑兩條弧或兩條弦中有一組量? ，那么它們所對應(yīng)的其余各組量也分別相等. 考點(diǎn)3 圓周角 圓周角的定義 頂點(diǎn)在圓上，并且? 都和圓相交的角叫做圓周角. 圓周角定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的? . 推論1 同弧或等弧所對的圓周角? . 推論2 半圓(或直徑)所對的圓周角是 ；90°的圓周角所對的弦是 . 推論3 圓內(nèi)接四邊形的對角 . 【易錯(cuò)提示】由于圓中一條弦對兩條弧以及圓內(nèi)的兩條平行弦可以在圓心的同側(cè)和異側(cè)兩種情況，所以利用垂徑定理計(jì)算時(shí)，有時(shí)要分情況討論，不要漏解. 1.注意在同圓或等圓中，弦、弧、圓心角和圓周角等量關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化；利用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算或證明，通常利用半徑、弦心距和弦的一半組成直角三角形求解. 2.圓的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，要善于挖掘題中的隱含條件. 命題點(diǎn)1 圓的有關(guān)概念 例1 下列說法中，正確的是( ) A.直徑是弦 B.弧是半圓 C.長度相等的弧是等弧 D.弦是圓上兩點(diǎn)間的部分 方法歸納：解答這類試題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形理解圓的有關(guān)概念的內(nèi)涵. 1.如圖，MN為⊙O的弦，∠M=30°，則∠MON等于( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 2.(2014·長寧一模)下列說法中，結(jié)論錯(cuò)誤的是( ) A.直徑相等的兩個(gè)圓是等圓 B.長度相等的兩條弧是等弧 C.圓中最長的弦是直徑 D.一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧可能是等弧 3.到定點(diǎn)O的距離為3 cm的點(diǎn)的集合是以點(diǎn) 為圓心， 為半徑的圓. 命題點(diǎn)2 垂徑定理 例2 (2014·常德改編)如圖，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB，若AB=10，CD=8，求圓心O到弦CD的距離. 【思路點(diǎn)撥】連接OC，由AB=10得出OC的長，再根據(jù)垂徑定理求出CE的長，根據(jù)勾股定理求出OE即可. 【解答】 方法歸納：利用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算或證明時(shí)，通常利用半徑、弦心距和弦的一半組成直角三角形求解. 1.(2014·舟山)如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E，且CE=2，DE=8，則AB的長為( ) A.2 B.4 C.6 D.8 2.(2014·廣東)如圖，在⊙O中，已知半徑為5，弦AB的長為8，那么圓心O到AB的距離為 . 3.(2013·株洲)如圖AB是⊙O的直徑，∠BAC=42°，點(diǎn)D是弦AC的中點(diǎn)，則∠DOC的度數(shù)是 . 4.(2014·金山一模)如圖，已知AB是⊙O的弦，點(diǎn)C在線段AB上，OC=AC=4，CB=8.求⊙O的半徑. 命題點(diǎn)3 圓心角、弧、弦之間的關(guān)系 例3 (2013·廈門)如圖，在⊙O中， = ，∠A＝30°，則∠B＝( ) A.150° B.75° C.60° D.15° 方法歸納：在求圓中角的度數(shù)時(shí)，通常要利用圓周角、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系進(jìn)行求解. 1.如圖，已知AB是⊙O的直徑，C、D是上的三等分點(diǎn)，∠AOE=60°，則∠COE是( ) A.40° B.60° C.80° D.120° 2.(2014·江北模擬)如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若BC=CD=DA=4 cm，則⊙O的周長為( ) A.5π cm B.6π cm C.9π cm D.8π cm 3.如圖，在⊙O中，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，∠A=50°，則∠BOC等于 度. 4.(2013·松北一模)如圖，在⊙O中，CD為⊙O的直徑，=，點(diǎn)E為OD上任意一點(diǎn)(不與O、D重合).求證：AE=BE. 命題點(diǎn)4 圓周角定理 例4 (2013·湛江)如圖，AB是⊙O的直徑，∠AOC=110°，則∠D=( ) A.25° B.35° C.55° D.70° 【思路點(diǎn)撥】因?yàn)锳B是直徑，所以∠BDA=90°，再根據(jù)同弧所對的圓心角與圓周角之間的關(guān)系可求得∠ADC的度數(shù). 方法歸納：在圓中，出現(xiàn)直徑時(shí)，一般都聯(lián)想到直徑所對的圓周角是直角.圓周角與圓心角之間的轉(zhuǎn)化也是解決問題的關(guān)鍵點(diǎn). 1.(2014·山西)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接OA、OB，∠OBA=50°，則∠C的度數(shù)為( ) A.30° B.40° C.50° D.80° 2.(2014·臺(tái)州)從下列直角三角板與圓弧的位置關(guān)系中，可判斷圓弧為半圓的是( ) 3.(2014·衡陽)如圖，AB為⊙O直徑，CD為⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度數(shù)為 . 4.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，∠ABC=∠BDC=60°，AC=3 cm，求△ABC的周長. 1.(2013·柳州)下列四個(gè)圖中，∠x是圓周角的是( ) 2.(2014·湖州)如圖，已知AB是△ABC外接圓的直徑，∠A=35°，則∠B的度數(shù)是( ) A.35° B.45° C.55° D.65° 3.下列四個(gè)命題：①等邊三角形是中心對稱圖形；②在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角相等；③三角形有且只有一個(gè)外接圓；④垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧.其中真命題的個(gè)數(shù)有( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 4.(2014·珠海)如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CAB=20°，則∠AOD等于( ) A.160° B.150° C.140° D.120° 5.(2013·紹興)紹興是著名的橋鄉(xiāng)，如圖，圓拱橋的拱頂?shù)剿娴木嚯xCD為8 m，橋拱半徑OC為5 m，則水面寬AB為( ) A.4 m B.5 m C.6 m D.8 m 6.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，則弦BC的長為( ) A. B.3 C.2 D.4 7.(2014·重慶A卷)如圖，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，則∠AOC的大小是( ) A.30° B.45° C.60° D.70° 8.(2014·蘭州)如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，連接BC、BD，下列結(jié)論中不一定正確的是( ) A.AE=BE B.= C.OE=DE D.∠DBC=90° 9.(2013·黃石)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則AD的長為( ) A. B. C. D. 10.(2014·郴州)如圖，已知三點(diǎn)A、B、C都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB= . 11.(2013·上海)在⊙O中，已知半徑長為3，弦AB長為4，那么圓心O到AB的距離為 . 12.如圖，AB為⊙O直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，已知∠BOC=70°，AD∥OC，則∠AOD= . 13.(2013·襄陽)如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面直徑是1 m，其中水面的寬AB為0.8 m，則排水管內(nèi)水的深度為 . 14.如圖，A、B、C是⊙O上的三點(diǎn)，∠CAO=25°，∠BCO=35°，則∠AOB= . 15.如圖，AB、CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直徑.若AC=3，則DE= . 16.如圖，□ABCD的頂點(diǎn)A、B、D在⊙O上，頂點(diǎn)C在⊙O的直徑BE上，∠ADC=54°，連接AE，求∠AEB的度數(shù). 17.(2014·天津改編)已知⊙O的直徑為10，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點(diǎn)D.如圖，若BC為⊙O的直徑，AB＝6，求AC，BD,CD的長. 18.(2014·無錫)如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點(diǎn)，且OD∥BC，OD與AC交于點(diǎn)E. (1)若∠B=70°，求∠CAD的度數(shù)； (2)若AB=4，AC=3，求DE的長. 19.(2014·溫州)如圖，已知點(diǎn)A，B，C在⊙O上, 為優(yōu)弧，下列選項(xiàng)中與∠AOB相等的是( ) A.2∠C B.4∠B C.4∠A D.∠B+∠C 20.(2013·安徽)如圖，點(diǎn)P是等邊三角形ABC外接圓⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，在以下判斷中，不正確的是( ) A.當(dāng)弦PB最長時(shí)，△APC是等腰三角形 B.當(dāng)△APC是等腰三角形時(shí)，PO⊥AC C.當(dāng)PO⊥AC時(shí)，∠ACP=30° D.當(dāng)∠ACP=30°時(shí)，△BCP是直角三角形 21.(2014·寧波)如圖，半徑為6 cm的⊙O中，C、D為直徑AB的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AB兩側(cè)的半圓上，∠BCE=∠BDF=60°，連接AE、BF，則圖中兩個(gè)陰影部分的面積為 cm2. 22.在⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點(diǎn)D，連接CD. (1)如圖1，若點(diǎn)D與圓心O重合，AC＝2，求⊙O半徑r； (2)如圖2，若點(diǎn)D與圓心O不重合，∠BAC＝25°，請直接寫出∠DCA的度數(shù). 參考答案 考點(diǎn)解讀 ①等于 ②線段 ③弦 ④長 ⑤優(yōu)弧、半圓、劣弧 ⑥等弧 ⑦圓心 ⑧圓心 ⑨平分 ⑩弧 ?垂直于 ?平分 ?相等 ?兩邊 ?一半 ?相等 直角 直徑 互補(bǔ) 各個(gè)擊破 例1 A 題組訓(xùn)練 1.D 2.B 3.O 3 cm 例2 連接OC. ∵AB為⊙O的直徑，AB=10，∴OC=5. ∵CD⊥AB，CD=8，∴CE=4. ∴OE===3. 題組訓(xùn)練 1.D 2.3 3.48° 4.連接OA，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D. ∵AC=4，CB=8，∴AB=12. ∵OD⊥AB，∴AD=DB=6，∴CD=2. 在Rt△CDO中，∠CDO=90°， ∴OD==2. 在Rt△ADO中，∠ADO=90°， 由勾股定理,得OA==4， 即⊙O的半徑是4. 例3 B 題組訓(xùn)練 1.C 2.D 3.40 4.證明：∵＝， ∴∠AOC=∠BOC， ∴∠AOE=∠BOE. ∵OA、OB是⊙O的半徑， ∴OA=OB. 又OE=OE， ∴△AOE≌△BOE(SAS)， ∴AE=BE. 例4 B 題組訓(xùn)練 1.B 2.B 3.65° 4.∵=，∴∠BDC=∠BAC. ∵∠ABC=∠BDC=60°， ∠BDC=∠BAC， ∴∠ABC=∠BAC=60°， ∴△ABC為等邊三角形. 又∵AC=3 cm， ∴△ABC的周長為3×3=9(cm). 整合集訓(xùn) 1.C 2.C 3.B 4.C 5.D 6.C 7.C 8.C 9.C 10.30° 11. 12.40° 13.0.2m 14.120° 15.3 16.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ADC=54°， ∴∠B=∠ADC=54°. ∵BE為⊙O的直徑，∴∠BAE=90°. ∴∠AEB=90°-∠B=90°-54°=36°. 17.∵BC是⊙O的直徑， ∴∠CAB=∠BDC=90°. 在Rt△CAB中，BC＝10，AB＝6, ∴AC===8. ∵AD平分∠OAB，∴=,∴CD=BD. 在Rt△BDC中，BC=10,CD2+BD2=BC2, ∴BD=CD=5. 18.(1)∵OD∥BC，∴∠DOA=∠B=70°. 又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO=55°. ∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=20°. ∴∠CAD=35°. (2)在Rt△ACB中，BC==. ∵圓心O是直徑AB的中點(diǎn)，OD∥BC， ∴OE=BC=. 又OD=AB=2, ∴DE=OD-OE=2-. 19.A 20.C 21. 提示：如圖作△DBF的軸對稱圖形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE， ∴△ACG≌△BDF. ∵∠ECB=∠BDF=∠ACG=60°， ∴G、C、E三點(diǎn)共線. 易求OC=2，ON=，AM=2. ∵ON⊥GE，∴NE=GN=GE. 連接OE， 在Rt△ONE中， NE===， ∴GE=2NE=2， ∴S△AGE=GE·AM=×2×2 =6， ∴圖中兩個(gè)陰影部分的面積為6 cm2. 22.(1)如圖1，過點(diǎn)O作OE⊥AC于E， 則AE=AC=×2=1. ∵翻折后點(diǎn)D與圓心O重合，∴OE=r. 在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2， 即r2=12+(r)2，解得r=. (2)如圖2，連接BC， ∵AB是直徑，∴∠ACB=90°. ∵∠BAC=25°，∴∠B=65°. 根據(jù)翻折的性質(zhì)，所對的圓周角為∠B，所對的圓周角為∠ADC， ∴∠ADC+∠B=180°， ∴∠B=∠CDB=65°， ∴∠DCA=∠CDB-∠A=65°-25°=40°. 13