《2019高考高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 第五講 概率與統(tǒng)計 微專題2 排列組合與二項式定理、概率學(xué)案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019高考高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 第五講 概率與統(tǒng)計 微專題2 排列組合與二項式定理、概率學(xué)案 理（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、微專題2　排列組合與二項式定理、概率 命 題 者 說 考 題 統(tǒng) 計 考 情 點 擊 2018·全國卷Ⅰ·T10·幾何概型 2018·全國卷Ⅰ·T15·排列與組合 2018·全國卷Ⅱ·T8·古典概型 2018·全國卷Ⅲ·T5·二項式定理 2018·天津高考·T10·二項式定理 1.排列、組合在高中數(shù)學(xué)中占有特殊的位置，是高考的必考內(nèi)容，很少單獨命題，主要考查利用排列、組合知識計算古典概型。 2.二項式定理仍以求二項展開式的特定項、特定項的系數(shù)及二項式系數(shù)為主，題目難度一般。 3.概率、隨機變量及其分布列是高考命題的熱點之一，命題形式為“一小一大”，即一道選擇或填空題和一道

2、解答題。 考向一 排列與組合 【例1】　(1)(2018·全國卷Ⅰ)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種。(用數(shù)字填寫答案) (2)(2018·浙江高考)從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個數(shù)字，一共可以組成________個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)。(用數(shù)字作答) 解析　(1)解法一：根據(jù)題意，沒有女生入選有C＝4(種)選法，從6名學(xué)生中任意選3人有C＝20(種)選法，故至少有1位女生入選，不同的選法共有20－4＝16(種)。 解法二：可分兩種情況：第一種情況，只有1位女生入選，不同的選法

3、有CC＝12(種)；第二種情況，有2位女生入選，不同的選法有CC＝4(種)。根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，至少有1位女生入選的不同的選法有16種。 (2)若取的4個數(shù)字不包括0，則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為CCA；若取的4個數(shù)字包括0，則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為CCCA。綜上，一共可以組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為CCA＋CCCA＝720＋540＝1 260。 答案　(1)16　(2)1 260 求解排列、組合問題的思路：排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘。具體地說，解排列、組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑： (1)以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元

4、素。 (2)以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置。 (3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)。 解答計數(shù)問題多利用分類整合思想。分類應(yīng)在同一標(biāo)準(zhǔn)下進行，確?！安宦薄安恢亍?。 變|式|訓(xùn)|練 1．(2018·沈陽教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測)若4個人按原來站的位置重新站成一排，恰有1個人站在自己原來的位置，則不同的站法共有(　　) A．4種 B．8種 C．12種 D．24種 解析　將4個人重排，恰有1個人站在自己原來的位置，有C種站法，剩下3人不站原來位置有2種站法，所以共有C×2＝8(種)站法。故選B。 答案　B 2．(201

5、8·開封高三定位考試)某地實行高考改革，考生除參加語文、數(shù)學(xué)、英語統(tǒng)一考試外，還需從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科。學(xué)生甲要想報考某高校的法學(xué)專業(yè)，就必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科，則學(xué)生甲的選考方法種數(shù)為(　　) A．6 B．12 C．18 D．19 解析　解法一：在物理、政治、歷史中選一科的選法有CC＝9(種)；在物理、政治、歷史中選兩科的選法有CC＝9(種)；物理、政治、歷史三科都選的選法有1種。所以學(xué)生甲的選考方法共有9＋9＋1＝19(種)。故選D。 解法二：從六科中選考三科的選法有C種，其中包括了沒選物理、政治、歷史中任意一科，這種選法有

6、1種，因此學(xué)生甲的選考方法共有C－1＝19(種)。故選D。 答案　D 考向二 二項式定理 【例2】　(1)(2018·全國卷Ⅲ)5的展開式中x4的系數(shù)為(　　) A．10 B．20 C．40 D．80 (2)5的展開式中整理后的常數(shù)項為________。 解析　(1)由題可得Tr＋1＝C(x2)5－rr＝C·2r·x10－3r。令10－3r＝4，則r＝2，所以C·2r＝C×22＝40。故選C。 (2)不妨設(shè)x>0，5＝10的通項公式：Tr＋1＝C()10－rr＝Cx5－r，令5－r＝0，解得r＝5。所以常數(shù)項＝C＝252。 答案　(1)C　(2)252 與二項

7、式定理有關(guān)的題型及解法 題型 解法 求特定項或其系數(shù) 常采用二項展開式的通項分析求解 系數(shù)的和或差 常用賦值法 近似值問題 利用展開式截取部分項求解 整除(或余數(shù))問題 利用展開式求解 變|式|訓(xùn)|練 1．已知(x2＋2x＋3y)5的展開式中x5y2的系數(shù)為(　　) A．60 B．180 C．520 D．540 解析　(x2＋2x＋3y)5可看作5個(x2＋2x＋3y)相乘，從中選2個y，有C種選法；再從剩余的三個括號里邊選出2個x2，最后一個括號選出x，有C·C種選法；所以x5y2的系數(shù)為32C·C·2·C＝540。故選D。 答案　D 2．(ax＋)

8、5的展開式中x3項的系數(shù)為20，則實數(shù)a＝________。 解析　展開式的通項為Tr＋1＝C(ax)5－r()r＝a5－rCx，令5－＝3得r＝4，所以a·C＝20，解得a＝4。 答案　4 考向三 古典概型與幾何概型 【例3】　(1)(2018·全國卷Ⅱ)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果。哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30＝7＋23。在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． (2)正六邊形ABCDEF的邊長為1，在正六邊形內(nèi)隨機取點M，則使△MAB的

9、面積大于的概率為________。 解析　(1)不超過30的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10個，從中隨機選取兩個不同的數(shù)，共有C＝45(種)取法，因為7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的有3種取法，故概率為＝。故選C。 (2)如圖所示，作出正六邊形ABCDEF，其中心為O，過點O作OG⊥AB，垂足為G，則OG的長為中心O到AB邊的距離。易知∠AOB＝＝60°，且OA＝OB，所以△AOB是等邊三角形，所以O(shè)A＝OB＝AB＝1，OG＝OA·sin60°＝1×＝，即對角線CF上的點到AB的距離都為。設(shè)△MAB中AB邊

10、上的高為h，則由S△MAB＝×1×h>，解得h>。所以要使△MAB的面積大于，只需滿足h>，即需使M位于CF的上方。故由幾何概型得，△MAB的面積大于的概率P＝＝。 答案　(1)C　(2) (1)解答有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常用到計數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識。 (2)當(dāng)構(gòu)成試驗的結(jié)果的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應(yīng)考慮使用幾何概型求解。 變|式|訓(xùn)|練 1．(2018·四川綿陽二診)將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，將第一次向上的點數(shù)記為m，第二次向上的點數(shù)記為n，曲線C：＋＝1，則曲線C的焦點在x軸上

11、且離心率e≤的概率等于(　　) A． B． C． D． 解析　因為離心率e≤，所以 ≤，解得≥，由列舉法，得當(dāng)m＝6時，n＝5,4,3；當(dāng)m＝5時，n＝4,3；當(dāng)m＝4時，n＝3,2；當(dāng)m＝3時，n＝2；當(dāng)m＝2時，n＝1，共9種情況，故其概率為＝。故選D。 答案　D 2．(2018·衡水金卷模擬)我國數(shù)學(xué)家鄒元治利用如圖證明了勾股定理，該圖中用勾(a)和股(b)分別表示直角三角形的兩條直角邊，用弦(c)來表示斜邊，現(xiàn)已知該圖中勾為3，股為4，若從圖中隨機取一點，則此點不落在中間小正方形中的概率是(　　) A． B． C． D． 解析　a＝3，b＝4，由題意

12、得c＝5，因為大正方形的邊長為a＋b＝3＋4＝7，小正方形的邊長為c＝5，則大正方形的面積為49，小正方形的面積為25，所以滿足題意的概率值為1－＝。故選B。 答案　B 考向四 條件概率與相互獨立事件的概率 【例4】　(1)如圖，ABCD是以O(shè)為圓心、半徑為2的圓的內(nèi)接正方形，EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接正方形，且E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點。將一枚針隨機擲到圓O內(nèi)，用M表示事件“針落在正方形ABCD內(nèi)”，N表示事件“針落在正方形EFGH內(nèi)”，則P(N|M)等于(　　) A． B． C． D． (2)如圖所示，某快遞公司送貨員從公司A處準(zhǔn)備開車送

13、貨到某單位B處，有A→C→D→B，A→E→F→B兩條路線。若該地各路段發(fā)生堵車與否是相互獨立的，且各路段發(fā)生堵車事件的概率如圖所示(例如A→C→D算作兩個路段，路段AC發(fā)生堵車事件的概率為，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為)。若使途中發(fā)生堵車事件的概率較小，則由A到B應(yīng)選擇的路線是________。 解析　(1)由題意得，圓O的半徑為2，所以內(nèi)接正方形ABCD的邊長為AB＝2，則正方形ABCD的面積為S1＝(2)2＝8，因為E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，所以EF＝×2R＝2，所以正方形EFGH的面積為S2＝22＝4，所以P(N|M)＝＝。故選C。 (2)路線A→C→D→

14、B途中發(fā)生堵車事件的概率P1＝1－××＝，路線A→E→F→B途中發(fā)生堵車事件的概率P2＝1－××＝。因為<，所以應(yīng)選擇路線A→E→F→B。 答案　(1)C　(2)A→E→F→B 求相互獨立事件和獨立重復(fù)試驗的概率的注意點 (1)求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，分析復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解。 (2)注意辨別獨立重復(fù)試驗的基本特征：①在每次試驗中，試驗結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；②在每次試驗中，事件發(fā)生的概率相同。 變|式|訓(xùn)|練 1．(2018·汕頭模擬)甲、乙兩人參加“社會主義核心價

15、值觀”知識競賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎的概率分別為和，甲、乙兩人是否獲得一等獎相互獨立，則這兩個人中恰有一人獲得一等獎的概率為(　　) A． B． C． D． 解析　根據(jù)題意，恰有一人獲得一等獎就是甲獲得乙沒有獲得或甲沒有獲得乙獲得，則所求概率是×＋×＝。故選D。 答案　D 2．(2018·廈門二模)袋中裝有2個紅球，3個黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，則3次中恰有2次抽到黃球的概率是(　　) A． B． C． D． 解析　袋中裝有2個紅球，3個黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黃球的概率P1＝，所以3次中恰有2次抽到黃球的概率是P＝C2＝。故

16、選D。 答案　D 3．(2018·南昌模擬)口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個，白球3個，黃球1個，甲從中不放回地逐一取球，已知第一次取得紅球，則第二次取得白球的概率為________。 解析　口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個，白球3個，黃球1個，甲從中不放回地逐一取球，設(shè)事件A表示“第一次取得紅球”，事件B表示“第二次取得白球”，則P(A)＝＝，P(AB)＝×＝，所以第一次取得紅球后，第二次取得白球的概率為P(B|A)＝＝＝。 答案　 1．(考向一)(2018·南昌調(diào)研)某校畢業(yè)典禮上有6個節(jié)目，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一

17、起。則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有(　　) A．120種 B．156種 C．188種 D．240種 解析　解法一：記演出順序為1～6號，對丙、丁的排序進行分類，丙、丁占1和2號，2和3號，3和4號，4和5號，5和6號，其排法分別為AA，AA，CAA，CAA，CAA，故總編排方案有AA＋AA＋CAA＋CAA＋CAA＝120(種)。故選A。 解法二：記演出順序為1～6號，按甲的編排進行分類，①當(dāng)甲在1號位置時，丙、丁相鄰的情況有4種，則有CAA＝48(種)；②當(dāng)甲在2號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA＝36(種)；③當(dāng)甲在3號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，共有

18、CAA＝36(種)。所以編排方案共有48＋36＋36＝120(種)。故選A。 答案　A 2．(考向二)(2018·湖南湘東聯(lián)考)若(x＋a)(1＋2x)5的展開式中x3的系數(shù)為20，則a＝________。 解析　(x＋a)(1＋2x)5的展開式中x3的系數(shù)為C·22＋a·C·23＝20，所以40＋80a＝20，解得a＝－。 答案?。? 3．(考向三)(2018·漳州二模)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加“《論語》知識大賽”，決出第1名到第5名的名次。甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說“雖然你的成績比乙好，但是你倆都沒得到第一名”；對乙說“你當(dāng)然不會是最差的”。從上述回答分析，丙是

19、第一名的概率是(　　) A． B． C． D． 解析　因為甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考慮到所有的限制條件對丙、丁、戊都沒有影響，所以這三個人獲得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率是。故選B。 答案　B 4．(考向三)已知定義在區(qū)間[－3,3]上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足：對任意的x∈[－3,3]，都有f(f(x)－2x)＝6，則在[－3,3]上隨機取一個實數(shù)x，使得f(x)的值不小于4的概率為(　　) A．　　　 　 B． C．　　　 　 D． 解析　由題意設(shè)對任意的x∈[－3,3]，都有f(x)－2x＝a，其中a為常數(shù)，且a∈[－3

20、,3]，則f(a)＝6，f(a)－2a＝a，所以6－2a＝a，得a＝2，故f(x)＝2x＋2，由f(x)≥4得x≥1，因此所求概率為＝。故選C。 答案　C 5．(考向四)(2018·珠海一模)夏秋兩季，生活在長江口外淺海域的中華魚洄游到長江，歷經(jīng)三千多公里的溯流搏擊，回到金沙江一帶產(chǎn)卵繁殖，產(chǎn)后待幼魚長大到15厘米左右，又?jǐn)y帶它們旅居外海。一個環(huán)保組織曾在金沙江中放生一批中華魚魚苗，該批魚苗中的雌性個體能長成熟的概率為0.15，雌性個體長成熟又能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為0.05，若該批魚苗中的一個雌性個體在長江口外淺海域已長成熟，則其能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為(　　) A．0.05

21、B．0.007 5 C． D． 解析　設(shè)事件A為魚苗中的一個雌性個體在長江口外淺海域長成熟，事件B為該雌性個體成功溯流產(chǎn)卵繁殖，由題意可知P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，所以P(B|A)＝＝＝。故選C。 答案　C 6．(考向四)(2018·全國卷Ⅲ)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立。設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，D(X)＝2.4，P(X＝4)0.5。所以p＝0.6，故選B。 答案　B 10