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2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 13.3直接證明與間接證明教案 理 新人教A版

上傳人:xt****7 文檔編號(hào):105131953 上傳時(shí)間:2022-06-11 格式:DOC 頁(yè)數(shù):14 大小:239.52KB
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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 13.3直接證明與間接證明教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考 1.考查對(duì)直接證明和間接證明原理的理解和用法;2.以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與方程、數(shù)列知識(shí)為載體,考查分析法、綜合法、反證法. 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.抓住三種證明方法的特點(diǎn),把握它們解題的一般步驟,熟悉三種方法適用于解決問(wèn)題的類型;2.加強(qiáng)訓(xùn)練,總結(jié)、體會(huì)解題中的一些技巧,靈活應(yīng)用三種方法證明一些實(shí)際問(wèn)題. 1. 直接證明 (1)綜合法 ①定義:利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過(guò)一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法. ②框

2、圖表示:→→→…→(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示要證明的結(jié)論). (2)分析法 ①定義:從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止,這種證明方法叫做分析法. ②框圖表示:→→→…→. 2. 間接證明 反證法:假設(shè)原命題不成立,經(jīng)過(guò)正確的推理,最后得出矛盾,因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法. [難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源] 1. 綜合法證明問(wèn)題是由因?qū)Ч?,分析法證明問(wèn)題是執(zhí)果索因. 2. 分析法與綜合法相輔相成,對(duì)較復(fù)雜的問(wèn)題,常常先從結(jié)論

3、進(jìn)行分析,尋求結(jié)論與條件、基礎(chǔ)知識(shí)之間的關(guān)系,找到解決問(wèn)題的思路,再運(yùn)用綜合法證明,或者在證明時(shí)將兩種方法交叉使用. 1. 要證明“+<2”可選擇的方法有以下幾種,其中最合理的是________.(填序號(hào)) ①反證法,②分析法,③綜合法. 答案?、? 2. 下列條件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使+≥2成立的條件的個(gè)數(shù)是________. 答案 3 解析 要使+≥2,只要>0且>0,即a,b不為0且同號(hào)即可,故有3個(gè). 3. 已知函數(shù)f(x)=lg ,若f(a)=b,則f(-a)=______(用b表示). 答案?。璪 解析 ∵f(-x

4、)=lg =-lg =-f(x), ∴f(x)為奇函數(shù),∴f(-a)=-f(a)=-b. 4. 下列表述:①綜合法是由因?qū)Чǎ虎诰C合法是順推法;③分析法是執(zhí)果索因法;④分析法是逆推法;⑤反證法是間接證法.其中正確的有 (  ) A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè) 答案 D 解析 由分析法、綜合法、反證法的定義知①②③④⑤正確. 5. 用反證法證明命題“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”時(shí),應(yīng)假設(shè) (  ) A.三個(gè)內(nèi)角都不大于60° B.三個(gè)內(nèi)角都大于60° C.三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60° D.三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60° 答

5、案 B 解析 因?yàn)椤爸辽儆幸粋€(gè)”的反面是“一個(gè)也沒(méi)有”,所以“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”的否定是“三角形三個(gè)內(nèi)角一個(gè)也沒(méi)有不大于60°”,即“三個(gè)內(nèi)角都大于60°”,故選B. 題型一 綜合法的應(yīng)用 例1 已知a,b,c均為正數(shù),證明:a2+b2+c2+2≥6,并確定a,b,c為何值時(shí),等號(hào)成立. 思維啟迪:利用a2+b2≥2ab,+≥,再利用ab+≥2,根據(jù)這個(gè)解題思路去解答本題即可. 證明 因?yàn)閍,b,c均為正數(shù),由基本不等式得a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac, 所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac,① 同理++≥++,② 故a2+

6、b2+c2+2≥ab+bc+ac+3+3+3≥6.③ 所以原不等式成立. 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),①式和②式等號(hào)成立,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3時(shí),③式等號(hào)成立. 即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3時(shí),原式等號(hào)成立. 探究提高 綜合法往往以分析法為基礎(chǔ),是分析法的逆過(guò)程,但更要注意從有關(guān)不等式的定理、結(jié)論或題設(shè)條件出發(fā),根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)證明.  已知a、b、c為正實(shí)數(shù),a+b+c=1. 求證:(1)a2+b2+c2≥; (2)++≤6. 證明 (1)方法一 a2+b2+c2- =(3a2+3b2+3c2-1) =[3a2+3b2+3c2-(a+b+c

7、)2] =(3a2+3b2+3c2-a2-b2-c2-2ab-2ac-2bc) =[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0, ∴a2+b2+c2≥. 方法二 ∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2, ∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1,∴a2+b2+c2≥. 方法三 設(shè)a=+α,b=+β,c=+γ. ∵a+b+c=1,∴α+β+γ=0. ∴a2+b2+c2=2+2+2 =+(α+β+γ)+α2+β2+γ2 =+α2+β2+γ2≥, ∴a2+b2+c2≥. (2)∵=≤=,

8、同理≤,≤, ∴++≤=6, ∴原不等式成立. 題型二 分析法的應(yīng)用 例2 已知m>0,a,b∈R,求證:2≤. 思維啟迪:本題若使用綜合法,不易尋求證題思路.可考慮使用分析法. 證明 ∵m>0,∴1+m>0. 所以要證原不等式成立, 只需證(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2), 即證m(a2-2ab+b2)≥0, 即證(a-b)2≥0, 而(a-b)2≥0顯然成立, 故原不等式得證. 探究提高 分析法的特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”,即從“未知”看“需知”,逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等,運(yùn)用分析法必須考慮條件的必要性是否成立.通常

9、采用“欲證—只需證—已知”的格式,在表達(dá)中要注意敘述形式的規(guī)范性.  已知a>0,求證: -≥a+-2. 證明 要證 -≥a+-2, 只要證 +2≥a++. ∵a>0,故只要證2≥2, 即a2++4+4≥a2+2++2+2, 從而只要證2≥, 只要證4≥2,即a2+≥2, 而上述不等式顯然成立,故原不等式成立. 題型三 反證法的應(yīng)用 例3 已知a≥-1,求證三個(gè)方程: x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根. 思維啟迪:“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒(méi)有”,即“三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根”. 證明 假設(shè)三

10、個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則 ?, ∴-

11、d=2, 故an=2n-1+,Sn=n(n+). (2)證明 由(1)得bn==n+. 假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp,bq,br(p、q、r∈N*,且互不相等)成等比數(shù)列,則b=bpbr. 即(q+)2=(p+)(r+). ∴(q2-pr)+(2q-p-r)=0. ∵p,q,r∈N*,∴, ∴2=pr,(p-r)2=0,∴p=r. 與p≠r矛盾. 所以數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列. 分析法與綜合法的整合 典例:(12分)已知函數(shù)f(x)=log2(x+2),a,b,c是兩兩不相等的正數(shù),且a,b,c成等比數(shù)列,試判斷f(a)+f(c)與2f

12、(b)的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論. 審題視角 (1)先判斷它們的大小,可用特例法.(2)用分析法探尋證題思路.(3)用綜合法完成證明.事實(shí)上,取a=1,b=2,c=4,則f(a)+f(c)=f(1)+f(4)=log23+log26=log218,2f(b)=2f(2)=2log24=log216,于是由log218>log216,猜測(cè)f(a)+f(c)>2f(b). 要證f(a)+f(c)>2f(b),則只需證log2(a+2)+log2(c+2)>2log2(b+2), 即證log2(a+2)(c+2)>log2(b+2)2,也即證(a+2)(c+2)>(b+2)2. 展開(kāi)整理得a

13、c+2(a+c)>b2+4b. 因?yàn)閎2=ac,所以只要證a+c>2,顯然是成立的. 規(guī)范解答 解 f(a)+f(c)>2f(b).[2分] 證明如下:因?yàn)閍,b,c是兩兩不相等的正數(shù), 所以a+c>2.[4分] 因?yàn)閎2=ac,所以ac+2(a+c)>b2+4b, 即ac+2(a+c)+4>b2+4b+4, 從而(a+2)(c+2)>(b+2)2.[8分] 因?yàn)閒(x)=log2x是增函數(shù), 所以log2(a+2)(c+2)>log2(b+2)2,[10分] 即log2(a+2)+log2(c+2)>2log2(b+2). 故f(a)+f(c)>2f(b).[12分]

14、 溫馨提醒 (1)綜合法和分析法各有其優(yōu)缺點(diǎn),分析法利于思考,綜合法宜于表達(dá),因此,在實(shí)際解題時(shí),常常把分析法和綜合法結(jié)合起來(lái)運(yùn)用,先以分析法為主尋求解題思路,再用綜合法表述解答或證明過(guò)程.有時(shí)要把分析和綜合結(jié)合起來(lái)交替使用,才能成功. (2)本題錯(cuò)誤原因一是不會(huì)用分析法分析,找不到解決問(wèn)題的切入口;二是不會(huì)用綜合法表述,從而導(dǎo)致解題格式不規(guī)范.將分析法和綜合法整合,是證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的思想方法. 方法與技巧 1. 分析法的特點(diǎn):從未知看需知,逐步靠攏已知. 2. 綜合法的特點(diǎn):從已知看可知,逐步推出未知. 3. 分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn).分析法思考起來(lái)比較自然,容易尋找

15、到解題的思路和方法,缺點(diǎn)是思路逆行,敘述較繁;綜合法從條件推出結(jié)論,較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題,但不便于思考.實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用,先用分析法探索證明途徑,然后再用綜合法敘述出來(lái). 4. 用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),要注意書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性,常常用“要證(欲證)…”“即要證…”“就要證…”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論P(yáng),再說(shuō)明所要證明的數(shù)學(xué)問(wèn)題成立. 失誤與防范 利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤,并用假設(shè)命題進(jìn)行推理,沒(méi)有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果,其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的. A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間:35分鐘,滿分:57分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1. 若a,b,c為實(shí)

16、數(shù),且aab>b2 C.< D.> 答案 B 解析 a2-ab=a(a-b), ∵a0,∴a2>ab.① 又ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2,② 由①②得a2>ab>b2. 2. 設(shè)a=lg 2+lg 5,b=ex(x<0),則a與b大小關(guān)系為 (  ) A.a(chǎn)>b B.a(chǎn)b.

17、3. 分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證0 B.a(chǎn)-c>0 C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0 答案 C 解析 由題意知0 ?a2-ab+a2-b2>0?a(a-b)+(a+b)(a-b)>0 ?a(a-b)-c(a-b)>0?(a-b)(a-c)>0,故選C. 4. 用反證法證明某命題時(shí),對(duì)

18、結(jié)論:“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為 (  ) A.a(chǎn),b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù) B.a(chǎn),b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) C.a(chǎn),b,c都是奇數(shù) D.a(chǎn),b,c都是偶數(shù) 答案 B 解析 自然數(shù)a,b,c中為偶數(shù)的情況為a,b,c全為偶數(shù);a,b,c中有兩個(gè)數(shù)為偶數(shù);a,b,c全為奇數(shù);a,b,c中恰有一個(gè)數(shù)為偶數(shù),所以反設(shè)為a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù). 二、填空題(每小題5分,共15分) 5. 設(shè)a>b>0,m=-,n=,則m,n的大小關(guān)系是__________. 答案 m

19、?a0,顯然成立. 6. 用反證法證明命題“若實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a+b=c+d=1,ac+bd>1,則a,b,c,d中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)”時(shí),第一步要假設(shè)結(jié)論的否定成立,那么結(jié)論的否定是_____. 答案 a,b,c,d全是負(fù)數(shù) 解析 “至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒(méi)有”,故結(jié)論的否定是“a,b,c,d中沒(méi)有一個(gè)非負(fù)數(shù),即a,b,c,d全是負(fù)數(shù)”. 7. 設(shè)x,y,z是空間的不同直線或不同平面,且直線不在平面內(nèi),下列條件中能保證“若x⊥z,且y⊥z,則x∥y”為真命題的是________(填寫(xiě)所有正確條件的代號(hào)). ①x為直線,y,z為平面;②x,y,z

20、為平面;③x,y為直線,z為平面;④x,y為平面,z為直線;⑤x,y,z為直線. 答案?、佗邰? 解析 根據(jù)線面關(guān)系定理判定. 三、解答題(共22分) 8. (10分)已知函數(shù)f(x)=tan x,x∈,若x1,x2∈,且x1≠x2,求證:[f(x1)+f(x2)]>f. 證明 要證明[f(x1)+f(x2)]>f, 即證明(tan x1+tan x2)>tan, 只需證明>tan , 只需證明>. 由于x1、x2∈,故x1+x2∈(0,π). ∴cos x1cos x2>0,sin(x1+x2)>0, 1+cos(x1+x2)>0, 故只需證明1+cos(x1+x2)>

21、2cos x1cos x2, 即證1+cos x1cos x2-sin x1sin x2>2cos x1cos x2, 即證cos(x1-x2)<1. 由x1、x2∈,x1≠x2知上式是顯然成立的. 因此,[f(x1)+f(x2)]>f. 9. (12分)已知四棱錐S-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,又SB=SD=,SA=1. (1)求證:SA⊥平面ABCD; (2)在棱SC上是否存在異于S,C的點(diǎn)F,使得BF∥平面SAD?若存在,確定F點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. (1)證明  由已知得SA2+AD2=SD2, ∴SA⊥AD.同理SA⊥AB. 又AB∩AD=

22、A,∴SA⊥平面ABCD. (2)解 假設(shè)在棱SC上存在異于S,C的點(diǎn)F,使得BF∥平面SAD. ∵BC∥AD,BC?平面SAD. ∴BC∥平面SAD.而B(niǎo)C∩BF=B, ∴平面SBC∥平面SAD. 這與平面SBC和平面SAD有公共點(diǎn)S矛盾, ∴假設(shè)不成立.故不存在這樣的點(diǎn)F,使得BF∥平面SAD. B組 專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間:25分鐘,滿分:43分) 一、選擇題(每小題5分,共15分) 1. 若a,b∈R,則下面四個(gè)式子中恒成立的是 (  ) A.lg(1+a2)>0 B.a(chǎn)2+b2≥2(a-b-1) C.a(chǎn)2+3ab>2b2

23、 D.< 答案 B 解析 在B中,∵a2+b2-2(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b+1)2≥0, ∴a2+b2≥2(a-b-1)恒成立. 2. 設(shè)a,b,c∈(-∞,0),則a+,b+,c+ (  ) A.都不大于-2 B.都不小于-2 C.至少有一個(gè)不大于-2 D.至少有一個(gè)不小于-2 答案 C 解析 因?yàn)閍++b++c+≤-6,所以三者不能都大于-2. 3. 已知f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且對(duì)任意m,n∈N*都有:①f(m,n+1)=f(m,n)+2;②f(m+1,1)=2f(m,1).

24、給出以下三個(gè)結(jié)論: (1)f(1,5)=9;(2)f(5,1)=16;(3)f(5,6)=26. 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為 (  ) A.3 B.2 C.1 D.0 答案 A 解析 (1)由f(1,1)=1和f(m,n+1)=f(m,n)+2 得f(1,2)=f(1,1+1)=f(1,1)+2=1+2=3, f(1,3)=f(1,2)+2=5,f(1,4)=f(1,3)+2=7, f(1,5)=f(1,4)+2=9; (2)由f(1,1)=1和f(m+1,1)=2f(m,1) 得f(2,1)=f(1+1,1)=2f(1,1)=2,f

25、(3,1)=2f(2,1)=4, f(4,1)=2f(3,1)=8,f(5,1)=2f(4,1)=16; (3)由f(m,n+1)=f(m,n)+2得f(5,6)=f(5,5)+2, 而f(5,5)=f(5,4)+2,f(5,4)=f(5,3)+2, f(5,3)=f(5,2)+2,f(5,2)=f(5,1)+2=16+2=18, 則f(5,6)=26. 二、填空題(每小題5分,共15分) 4. 關(guān)于x的方程ax+a-1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________. 答案  解析 (1)當(dāng)a=0時(shí),方程無(wú)解. (2)當(dāng)a≠0時(shí),令f(x)=ax+a

26、-1,則f(x)在區(qū)間(0,1)上是單調(diào)函數(shù).依題意,得f(0)f(1)<0, ∴(a-1)(2a-1)<0,∴2,n∈N*時(shí),an+bn與cn的大小關(guān)系為_(kāi)___________. 答案 an+bn2時(shí),an+bn=2,cn=()n=2·()n-2>2,由題意,an+bn與cn的大小關(guān)系應(yīng)該是確定的,故猜想an+bn2,所以有an+bn=a2an-2+b2bn-2

27、n+bn

28、調(diào)遞增函數(shù),求a的取值范圍; (2)設(shè)m,n∈R+,且m>n,求證:<. (1)解 f′(x)=-==. 因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù), 所以f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立. 即x2+(2-2a)x+1≥0在(0,+∞)上恒成立. 當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),由x2+(2-2a)x+1≥0, 得2a-2≤x+. 設(shè)g(x)=x+,x∈(0,+∞). g(x)=x+≥2=2, 所以當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=1時(shí)取等號(hào), 即g(x)的最小值為2. 則2a-2≤2,即a≤2. 故a的取值范圍是(-∞,2]. (2)證明 要證<,只需證<, 即證ln >,則只需證ln ->0. 設(shè)h(x)=ln x-. 由(1),知h(x)在(1,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),又>1, 所以h>h(1)=0.即ln ->0成立. 所以<.

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