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1、2022年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第05講 函數(shù)圖象及數(shù)字特征教案 新人教版 一．課標要求： 1．掌握基本初等函數(shù)的圖象的畫法及性質。如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一元一次函數(shù)、一元二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等； 2．掌握各種圖象變換規(guī)則，如：平移變換、對稱變換、翻折變換、伸縮變換等； 3．識圖與作圖：對于給定的函數(shù)圖象，能從圖象的左右、上下分布范圍，變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性。甚至是處理涉及函數(shù)圖象與性質一些綜合性問題； 4．通過實例，了解冪函數(shù)的概念；結合函數(shù)的圖像，了解它們的變化情況。 二．命題走向 函數(shù)不僅是高中數(shù)學的核

2、心內容，還是學習高等數(shù)學的基礎，所以在高考中，函數(shù)知識占有極其重要的地位。其試題不但形式多樣，而且突出考查學生聯(lián)系與轉化、分類與討論、數(shù)與形結合等重要的數(shù)學思想、能力。知識覆蓋面廣、綜合性強、思維力度大、能力要求高，是高考考數(shù)學思想、數(shù)學方法、考能力、考素質的主陣地。 從歷年高考形勢來看： （1）與函數(shù)圖象有關的試題，要從圖中（或列表中）讀取各種信息，注意利用平移變換、伸縮變換、對稱變換，注意函數(shù)的對稱性、函數(shù)值的變化趨勢，培養(yǎng)運用數(shù)形結合思想來解題的能力，會利用函數(shù)圖象，進一步研究函數(shù)的性質，解決方程、不等式中的問題； （2）函數(shù)綜合問題多以知識交匯題為主，甚至以抽象函數(shù)為原型來考察；

3、 （3）與冪函數(shù)有關的問題主要以為主，利用它們的圖象及性質解決實際問題； 預測07年高考函數(shù)圖象：（1）題型為1到2個填空選擇題；（2）題目多從由解析式得函數(shù)圖象、數(shù)形結合解決問題等方面出題； 函數(shù)綜合問題：（1）題型為1個大題；（2）題目多以知識交匯題目為主，重在考察函數(shù)的工具作用； 冪函數(shù)：單獨出題的可能性很小，但一些具體問題甚至是一些大題的小過程要應用其性質來解決； 三．要點精講 1．函數(shù)圖象 （1）作圖方法：以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點法和圖象變換法，掌握這兩種方法是本講座的重點。 作函數(shù)圖象的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)的解析式；③討論函數(shù)

4、的性質即單調性、奇偶性、周期性、最值（甚至變化趨勢）；④描點連線，畫出函數(shù)的圖象。 運用描點法作圖象應避免描點前的盲目性，也應避免盲目地連點成線要把表列在關鍵處，要把線連在恰當處這就要求對所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢等作一個大概的研究。而這個研究要借助于函數(shù)性質、方程、不等式等理論和手段，是一個難點用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎進行變換，以及確定怎樣的變換，這也是個難點。 （2）三種圖象變換：平移變換、對稱變換和伸縮變換等等； ①平移變換： Ⅰ、水平平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向左或向右平移個單位即可得到； 1）y=f(x)y=f(x+h

5、)；2）y=f(x) y=f(x-h)； Ⅱ、豎直平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向上或向下平移個單位即可得到； 1）y=f(x) y=f(x)+h；2）y=f(x) y=f(x)-h。 ②對稱變換： Ⅰ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關于軸對稱即可得到； y=f(x) y=f(-x) Ⅱ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關于軸對稱即可得到； y=f(x) y= -f(x) Ⅲ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關于原點對稱即可得到； y=f(x) y= -f(-x) Ⅳ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關于直線對稱得到。 y=f(x) x=f(y) Ⅴ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關于

6、直線對稱即可得到； y=f(x) y=f(2a-x)。 ③翻折變換： Ⅰ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像的軸下方部分沿軸翻折到軸上方，去掉原軸下方部分，并保留的軸上方部分即可得到； Ⅱ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像右邊沿軸翻折到軸左邊替代原軸左邊部分并保留在軸右邊部分即可得到 ④伸縮變換： Ⅰ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點橫坐標不變縱坐標伸長或壓縮（）為原來的倍得到； y=f(x)y=af(x) Ⅱ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點縱坐標不變橫坐標伸長或壓縮（）為原來的倍得到。 f(x)y=f(x)y=f() （3）識圖：分布范圍、變化趨勢、

7、對稱性、周期性等等方面。 2．冪函數(shù) 在第一象限的圖象，可分為如圖中的三類： 圖 在考查學生對冪函數(shù)性的掌握和運用函數(shù)的性質解決問題時，所涉及的冪函數(shù)中限于在集合中取值。 冪函數(shù)有如下性質： ⑴它的圖象都過（1，1）點，都不過第四象限，且除原點外與坐標軸都不相交； ⑵定義域為R或的冪函數(shù)都具有奇偶性，定義域為的冪函數(shù)都不具有奇偶性； ⑶冪函數(shù)都是無界函數(shù)；在第一象限中，當時為減函數(shù)，當時為增函數(shù)； ⑷任意兩個冪函數(shù)的圖象至少有一個公共點（1，1），至多有三個公共點； 四．典例解析 題型1：作圖 A

8、 B C D 例1．（06重慶 理）如圖所示，單位圓中弧AB的長為x,f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的２倍，則函數(shù)y=f(x)的圖象是（ ） 解析：顯然當時，陰影部分的面積等于圓的面積減去以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積，，即點在直線的下方，故應在C、D中選擇。而當當時，陰影部分的面積等于圓的面積加上以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積，，即點在直線的上方，故應選擇D。 點評：該題屬于實際應

9、用的題目，結合函數(shù)值變化的趨勢和一些特殊點函數(shù)值解決問題即可。要明確函數(shù)圖像與函數(shù)自變量、變量值的對應關系，特別是函數(shù)單調性與函數(shù)圖象個關系； 例2．（1996上海，文、理8）在下列圖象中，二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=（）x的圖象只可能是（ ） 解析一：由指數(shù)函數(shù)圖象可以看出0<<1。拋物線方程是y=a（x+）2－，其頂點坐標為（－，－），又由0<<1，可得－<－<0.觀察選擇支，可選A。 解析二：求y=ax2+bx與x軸的交點，令ax2+bx=0，解得x=0或x=－，而－1<－<0。故選A。 點評：本題主要考查二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質，源于課本，考查基本知識

10、，難度不大。本題雖小，但一定要細致觀察圖象，注意細微之處，獲得解題靈感。 題型2：識圖 例3．（06江西 12）某地一年內的氣溫(單位：℃)與時間(月份)之間的關系如圖所示，已知該年的平均氣溫為10℃，令表示時間段的平均氣溫，與之間的函數(shù)關系用下圖表示，則正確的應該是（ ） 解析：平均氣溫10℃與函數(shù)圖像有兩個交點，觀察圖像可知兩交點的兩側都低于平均氣溫， 而中間高于平均氣溫。時間段內的平均氣溫，應該從開始持續(xù)到平均氣溫左交點向右一段距離才開始達到平均氣溫，持續(xù)上升一段時間，最后回落到平均氣溫。答案A。 點評：聯(lián)系生活，體會變量間的相互關系，重視觀察圖像的變化趨勢，結合

11、導數(shù)的知識處理實際問題。 例4．（xx上海文，理16）一般地，家庭用電量（千瓦時）與氣溫（℃）有一定的關系，如圖2—1所示，圖（1）表示某年12個月中每月的平均氣溫.圖（2）表示某家庭在這年12個月中每個月的用電量.根據(jù)這些信息，以下關于該家庭用電量與其氣溫間關系的敘述中，正確的是（ ） 圖 A．氣溫最高時，用電量最多 B．氣溫最低時，用電量最少 C．當氣溫大于某一值時，用電量隨氣溫增高而增加 D．當氣溫小于某一值時，用電量隨氣溫漸低而增加 解析：經比較可發(fā)現(xiàn)，2月份用電量最多，而2月份氣溫明顯不是最高。因此A項錯誤。同理可判斷出B項錯誤。由5、6、7三個月的氣溫和用電

12、量可得出C項正確。 點評：該題考查對圖表表達的函數(shù)的識別和理解能力，要從題目解說入手，結合圖像和實際解決問題。 題型3：函數(shù)的圖象變換 例5．（xx全國理，10）函數(shù)y=1－的圖象是（ ） 解析一：該題考查對f（x）=圖象以及對坐標平移公式的理解，將函數(shù)y=的圖形變形到y(tǒng)=，即向右平移一個單位，再變形到y(tǒng)=－即將前面圖形沿x軸翻轉，再變形到y(tǒng)=－+1，從而得到答案B。 解析二：可利用特殊值法，取x=0，此時y=1，取x=2，此時y=0。因此選B。 點評：借助函數(shù)圖像的變換規(guī)則解決實際問題。 例6．（05廣東理 9）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)和的圖象關于直線對稱?，F(xiàn)將

13、的圖象沿軸向左平移2個單位，再沿軸向上平移1個單位，所得的圖象是由兩條線段組成的折線（如圖2所示），則函數(shù)的表達式為（ ） A． B． C． D． 解析：原函數(shù)的圖像仍然是由兩條折線段組成，折線段的端點（－2，0）、（0，1）、（1，3）向下平移1個單位是端點（－2，－1）、（0，0）、（1，2），再向右平移2個單位端點為（0，－1）、（2，0）、（3，2），關于直線對稱后折線段端點為（－1，0）、（0，2）、（2，3）。答案A。 點評：該題是應用函數(shù)圖象變換求函數(shù)解析式。由函數(shù)圖像的變換的函數(shù)的性質逆向變換既可，注意函數(shù)圖像的變換中平移、對稱都不會改變原來函數(shù)的形狀。 題

14、型4：函數(shù)圖象應用 例7．函數(shù)與的圖像如下圖：則函數(shù)的圖像可能是（ ） 解析：∵函數(shù)的定義域是函數(shù)與的定義域的交集，圖像不經過坐標原點，故可以排除C、D。 由于當x為很小的正數(shù)時且，故?！噙xA。 點評：明確函數(shù)圖像在x軸上下方與函數(shù)值符號改變的關系，數(shù)值相乘“同號為正、異號為負”。 例8．（xx春季北京、安徽，14）已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖，求b的范圍。 解法一：觀察f(x)的圖象，可知函數(shù)f(x)的圖象過原點，即f(0)=0,得d=0， 又f(x)的圖象過(

15、1，0)， ∴f(x)=a+b+c　　　① 又有f(－1)＜0，即－a+b－c＜0　　　　 ② ①+②得b＜0，故b的范圍是(－∞，0) 解法二：如圖f(0)=0有三根0，1，2， ∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x－1)(x－2)=ax3－3ax2+2ax， ∴b=－3a， ∵當x>2時，f(x)>0，從而有a>0， ∴b＜0。 點評：通過觀察函數(shù)圖像，變形函數(shù)解析式，得參數(shù)的取值范圍。 題型5：函數(shù)圖像變換的應用 例9．已知，方程的實根個數(shù)為（ ） A．2 B．3 C．4 D．2

16、或3或4 根據(jù)函數(shù)與方程的關系，知方程的根的個數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)的圖像交點的個數(shù)。 該題通過作圖很可能選錯答案為A，這是我們作圖的易錯點。若作圖標準的話，在同一個直角坐標系下畫出這兩個函數(shù)的圖像，由圖知當時，圖像的交點個數(shù)為3個；當時，圖像的交點個數(shù)為4個；當時，圖像的交點個數(shù)為2個。選項為D。 點評：該題屬于“數(shù)形結合”的題目。解題思路是將“函數(shù)的零點”問題轉化為“函數(shù)的交點問題”，借助函數(shù)的圖象以及函數(shù)的圖象變換規(guī)則求得結果即可。 例10．設，若，且，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 解析：保留函數(shù)在x軸上方的圖像，將其在x軸下方的圖像翻折到x軸上方區(qū)即可得到

17、函數(shù)的圖像。 通過觀察圖像，可知在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，由，且可知，所以，，從而，即，又，所以。選項為A。 點評：考察函數(shù)圖像的翻折變換。體現(xiàn)了數(shù)學由簡到繁的原則，通過研究函數(shù)的圖像和性質，進而得到的圖像和性質。 題型6：冪函數(shù)概念及性質 O x y 例11．函數(shù)互質）圖像如圖所示，則（ ） A．均為奇數(shù) B．一奇一偶 C．均為奇數(shù) D．一奇一偶 解析：該題考察了冪函數(shù)的性質，由于冪函數(shù)在第一象限的圖像趨勢表明函數(shù)在上單調遞減，此時只需保證，即，有；同時函數(shù)只在第一象限有圖像，則函數(shù)的定義域為，此時定為偶數(shù)，即為偶數(shù)，由于兩個數(shù)互質，則定為奇數(shù)。 答案

18、：選項為B。 點評：該題突破了傳統(tǒng)借形言數(shù)思路，屬于“由圖形得解析式”的題目。為此需要分清冪函數(shù)在幾種不同情況下函數(shù)的圖像的特點，更甚至在同一種情形下取不同數(shù)值對函數(shù)圖像的影響也要了解。 例12．畫出函數(shù)的圖象，試分析其性質。 解析：先要找出它是哪一種函數(shù)平移而來的，它應是由反比例函數(shù)平移而來，（這種變換是解決這類問題的關鍵），由此說明，是由圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位得到的，如圖所示：具體畫圖時對于圖象與坐標軸的交點位置要大致準確，即。故圖象一定過（0，－1）和兩個關鍵點。 再觀察其圖象可以得到如下性質：定義域，單調區(qū)間上單調遞增；既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，但是圖象是

19、中心對稱圖形，對稱中心是（3，－2）。 點評：冪函數(shù)的圖象與性質是解決該類問題基礎。注意此題兩個增區(qū)間之間不能用并集號。 題型7：抽象函數(shù)問題 例13．函數(shù)的定義域為D：且滿足對于任意，有 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）判斷的奇偶性并證明； （Ⅲ）如果上是增函數(shù)，求x的取值范圍。 （Ⅰ）解：令 （Ⅱ）證明：令 令 ∴為偶函數(shù)。 （Ⅲ） ∴ （1） ∵上是增函數(shù)， ∴（1）等價于不等式組： ∴ ∴x的取值范 圍為 點評：以抽象函數(shù)為模型，考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識，還考查運算能力和邏輯思維能力。認真分析處理好各知識的相互聯(lián)系，

20、抓住條件f(x1+x2)＝f(x1)·f(x2)找到問題的突破口，由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)變形為是解決問題的關鍵。 例14．（xx廣東19）設函數(shù) 上滿足，且在閉區(qū)間[0，7]上，只有 （Ⅰ）試判斷函數(shù)的奇偶性； （Ⅱ）試求方程在閉區(qū)間[－xx，xx]上的根的個數(shù)，并證明你的結論。 解析：（Ⅰ）由 ， 從而知函數(shù)的周期為 又， ，所以 故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)； (II) 又 故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有有兩個解， 從而可知函數(shù)在[0,xx]上有402個解， 在[－xx.0]上有400個解,所以函數(shù)在[－xx,xx]上有802個解。

21、點評：充分利用函數(shù)的數(shù)字特征，并將其轉化為函數(shù)的性質，再來解題。 題型8：函數(shù)圖象綜合問題 例15．如圖，點A、B、C都在函數(shù)y=的圖象上，它們的橫坐標分別是a、a+1、a+2。又A、B、C在x軸上的射影分別是A′、B′、C′,記△AB′C的面積為f(a)，△A′BC′的面積為g(a)。 （1）求函數(shù)f(a)和g(a)的表達式； （2）比較f(a)與g(a)的大小，并證明你的結論。 解： (1)連結AA′、BB′、CC′, 則f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C－S△AA′B′－S△CC′B =(A′A+C′C)=(), g(a)=S△A′BC′=A′C′·B′B=B′

22、B=。 ∴f(a)

23、稱點在曲線上。 因此，曲線與關于點對稱。 （3）證明：因為曲線與有且僅有一個公共點， ∴方程組有且僅有一組解， 消去，整理得，這個關于的一元二次方程有且僅有一個根， ∴，即得， 因為，所以。 點評：充分利用函數(shù)圖像變換的原則，解決復合問題。 五．思維總結 函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質的數(shù)量特征緊密結合，有效地揭示了各類函數(shù)和定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現(xiàn)了數(shù)形結合的特征與方法，為此，既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地觀察圖形、繪制圖形，又要熟練地掌握函數(shù)圖象的平移變換、對稱變換。 常見的函數(shù)數(shù)字特征有： （1）函數(shù)奇偶性： 奇函數(shù)； 偶函數(shù)。 （2）函數(shù)單調性： 單調遞增或； 單調遞增或。 （3）函數(shù)周期性 周期為：或； （4）對稱性 關于y軸對稱：； 關于原點對稱：； 關于直線對稱：或； 關于點對稱：或。