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1、2022年高中數(shù)學 橢圓的幾何性質(zhì)知識精講 文 蘇教版選修1-1
【本講教育信息】
一. 教學內(nèi)容:
橢圓的幾何性質(zhì)
二. 教學目標:
通過橢圓標準方程的討論,使學生掌握橢圓的幾何性質(zhì),能正確地畫出橢圓的圖形,并了解橢圓的一些實際應用.
通過對橢圓的幾何性質(zhì)的教學,培養(yǎng)學生分析問題和解決實際問題的能力.
使學生掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法,加深對直角坐標系中曲線與方程的關系概念的理解,這樣才能解決隨之而來的一些問題,如弦、最值問題等.
三. 重點、難點:
重點:橢圓的幾何性質(zhì)及初步運用.
難點:橢圓離心率的概念的理解.
四. 知識梳理
1、幾何性質(zhì)
2、
(1)范圍,即|x|≤a,|y|≤b,這說明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里.注意結合圖形講解,并指出描點畫圖時,就不能取范圍以外的點.
(2)對稱性
把x換成-x,或把y換成-y,或把x、y同時換成-x、-y時,方程都不變,所以圖形關于y軸、x軸或原點對稱
(3)頂點
在中,須令x=0,得y=±b,點B1(0,-b)、B2(0,b)是橢圓和y軸的兩個交點;令y=0,得x=±a,點A1(-a,0)、A2(a,0)是橢圓和x軸的兩個交點.橢圓有四個頂點A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b).
①線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸
3、,它們的長分別等于2a和2b;
②a、b的幾何意義:a是長半軸的長,b是短半軸的長;
(4)離心率
教師直接給出橢圓的離心率的定義:
橢圓的焦距與長軸的比
橢圓的離心率e的取值范圍:∵a>c>0,∴ 0<e<1.
當e接近1時,c越接近a,從而b越接近0,因此橢圓越扁;
當e接近0時,c越接近0,從而b越接近a,因此橢圓接近圓;
當e=0時,c=0,a=b兩焦點重合,橢圓的標準方程成為x2+y2=a2,圖形就是圓了.
2、性質(zhì)歸納為如下表:
標準方程
圖像
范圍
,
,
對稱性
關于x軸、y軸均對稱,關于原點中心對稱
頂點坐標
長軸端點A1(
4、-a,0),A2(a,0);短軸端點B1(0,-b),B2(0,b)
長軸端點A1(0,-a),A2(0,a);短軸端點B1(-b,0),B2(b,0)
焦點坐標
F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)
F1(0,-c),F(xiàn)2(0,c)
半軸長
長半軸長:a,短半軸長:b
焦距
2c
a,b,c關系
離心率
【典型例題】
例1. 求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標,并用描點法畫出它的圖形.
解:(1)列表。將,根據(jù)在第一象限的范圍內(nèi)算出幾個點的坐標(x,y)
(2)描點作圖.先描點畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形,再利用
5、橢圓的對稱性就可以畫出整個橢圓.
例2. 若橢圓的離心率為e=,求實數(shù)k的值。
解:當焦點在x軸上時,有得k=8.
當焦點在y軸上時,有得k=.
所求的k=8或。
例3. 若橢圓的對稱軸在坐標軸上,短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形,焦點到橢圓上點的距離的最小值為,求橢圓的方程。
解:
∴所求的橢圓方程為
例4. 橢圓(a>b>0)上一點M與兩焦點F1,F(xiàn)2所成的角∠F1MF2=α,求證△F1MF2的面積為b2tan.
解:設M F1=m,M F2=n,
則m+n=2a,且4c2=m2+n2-2mncosα=(m+n)2-2mn(1+cosα)
4b
6、2=2mn(1+cosα)
例5. 如圖,橢圓的長短軸端點為A,B,過中心O作AB的平行線,交橢圓上半部分于點P,過P作x軸的垂線恰過左焦點F1,過F1再作AB的平行線交橢圓于C,D兩點,求橢圓的方程。
解:設所求的橢圓方程為(a>b>0)
則P(-c,),
又AB∥OP∴
直線CD的方程為y=(x-c),將其代入橢圓方程化簡得,2x2-2cx-c2=0
∵
∴
所求的橢圓方程為
【模擬試題】(答題時間:60分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(5分×8=40分)
1、已知橢圓上一點P到橢圓一個焦點的距離是3,則P點到另一個焦點的距離為: ( )
7、
A、2 B、3 C、5 D、7
2、橢圓的一個焦點與兩個頂點為等邊三角形的三個頂點,則橢圓的長軸長是短軸長的( )
A、倍 B、2倍 C、倍 D、倍
3、橢圓的一個焦點為F1,點P在橢圓上,如果線段PF1的中點M在y軸上,那么點M的縱坐標是:( )
A、 B、 C、 D、
4、以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過此橢圓的焦點,則橢圓的離心率為 ( )
A、 B、 C、 D、
5、橢圓(a>b>0)的半
8、焦距為c,若直線y=2x與橢圓的一個交點的橫坐標恰好為c,則橢圓的離心率為( )
A、 B、 C、 D、
6、若以橢圓上的一點和兩個焦點為頂點的三角形面積的最大值為1,則此橢圓長軸的長的最小值為( ?。?
A、1 B、 C、2 D、2
7、橢圓的兩個焦點分別為F1、F2,以F2為圓心且過橢圓中心的圓與橢圓的一個交點為M,已知直線F1M與圓F2相切,則離心率為 ( ?。?
A、 B、 C、 D、
8、設橢圓(a>b>0)的兩個焦點分別為
9、F1、F2,P是橢圓上一點,若PF1⊥PF2,則|PF1-PF2|等于( ?。?
A、 B、2
C、 D、2
二、填空題(5分×4=20分)
9、平面上點P到兩個定點A、B的距離之和等于|AB|,則P點軌跡是 。
10、已知對稱軸為坐標軸,長軸長為6,離心率為的橢圓方程為 。
11、橢圓的離心率為,則實數(shù)m的值為 。
12、若M為橢圓上一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點,且∠MF1F2=2∠MF2F1=2α(α≠0),則橢圓的離心率是 。
10、
三、解答題(共40分)
13、(滿分8分)已知橢圓的焦點在軸上,焦距是4,且經(jīng)過,求此橢圓的方程。
14、(滿分10分)若點在橢圓上,分別是橢圓的兩個焦點,且,求的面積。
15、(滿分10分)已知中心在原點,焦點在x軸上的橢圓左頂點A,上頂點B,左焦點F1到直線AB的距離為|OB|,求橢圓的離心率。
16、(滿分12分)已知F1(-3,0),F(xiàn)2(3,0)分別是橢圓的左、右焦點,P是該橢圓上的點,滿足PF2⊥F1F2,∠F1PF2的平分線交F1F2于M(1,0),求橢圓方程。【試題答案】
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
11、
B
D
D
C
B
二、填空題
9、線段AB
10、
11、m=3或m=
12、
三、解答題
13、解:因為焦距為4,所以 即 ①…………3′
設橢圓方程為 因為在橢圓上
所以 ②…………6′
由①②得 所以橢圓方程為…………8′
14、解:設
由橢圓得…………2′
即 ①…………4′
是直角三角形 4 ②…………6′
由①②得…………8′
所以…………10′
15、解:直線AB的方程為bx-ay+ab=0,…………4′
則左焦點F1(-c,0)到其距離為
16、解:PF2⊥F1F2,PF2=,…………2′
∵,………………4'
…………………………6'
………………8'
又………………10'
………………11'
所求的橢圓方程為……………………12'