2022年高三數(shù)學大一輪復習 2.3函數(shù)的奇偶性與周期性教案 理 新人教A版
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1、2022年高三數(shù)學大一輪復習 2.3函數(shù)的奇偶性與周期性教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 1.判斷函數(shù)的奇偶性;2.利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)或參數(shù)范圍;3.函數(shù)的奇偶性、周期性和單調性的綜合應用. 復習備考要這樣做 1.結合函數(shù)的圖象理解函數(shù)的奇偶性、周期性;2.注意函數(shù)奇偶性和周期性的小綜合問題;3.利用函數(shù)的性質解決有關問題. 1. 奇、偶函數(shù)的概念 一般地,如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫 做偶函數(shù). 一般地,如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).
2、 奇函數(shù)的圖象關于原點對稱;偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱. 2. 奇、偶函數(shù)的性質 (1)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相同,偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相反. (2)在公共定義域內, ①兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù),兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù); ②兩個偶函數(shù)的和、積都是偶函數(shù); ③一個奇函數(shù),一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù). 3. 周期性 (1)周期函數(shù):對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內的任何 值時,都有f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱T為這個函數(shù)的周期. (2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最
3、小的正數(shù),那么這個最小 正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期. [難點正本 疑點清源] 1. 函數(shù)奇偶性的判斷 (1)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件; (2)判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關系.在判斷奇偶性的運算中,可以轉化為判斷奇偶性的等價關系式(f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù)))是否成立. 2. 函數(shù)奇偶性的性質 (1)若奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義,則f(0)=0. (2)設f(x),g(x)的定義域分別是D1,D2,那么在它們的公共定義域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. (
4、3)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性,則其單調性完全相同;偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性,則其單調性恰恰相反. 1. (課本改編題)已知f(x)=ax2+bx是定義在[a-1,2a]上的偶函數(shù),那么a+b的值是 ________. 答案 解析 由f(x)是偶函數(shù)知,f(x)=f(-x), 即ax2+bx=a(-x)2-bx,∴2bx=0,∴b=0. 又f(x)的定義域應關于原點對稱, 即(a-1)+2a=0,∴a=,故a+b=. 2. (xx·廣東)設函數(shù)f(x)=x3cos x+1.若f(a)=11,則f(-a)=________. 答案?。? 解析
5、令g(x)=f(x)-1=x3cos x, ∵g(-x)=(-x)3cos(-x)=-x3cos x=-g(x), ∴g(x)為定義在R上的奇函數(shù).又∵f(a)=11, ∴g(a)=f(a)-1=10,g(-a)=-g(a)=-10. 又g(-a)=f(-a)-1,∴f(-a)=g(-a)+1=-9. 3. 設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若當x∈(0,+∞)時,f(x)=lg x,則滿足f(x)>0的x的取值范圍是________. 答案 (-1,0)∪(1,+∞) 解析 畫草圖,由f(x)為奇函數(shù)知:f(x)>0的x的取值范圍為(- 1,0)∪(1,+∞).
6、 4. 函數(shù)f(x)的定義域為R,若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù),則 ( ) A.f(x)是偶函數(shù) B.f(x)是奇函數(shù) C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函數(shù) 答案 D 解析 因為f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù), 所以f(-x+1)=-f(x+1), 即f(-x)=-f(2+x),f(-x-1)=-f(x-1), 即f(-x)=-f(-2+x),于是f(x+2)=f(x-2), 即f(x)
7、=f(x+4), 所以函數(shù)f(x)是周期T=4的周期函數(shù). 所以f(-x-1+4)=-f(x-1+4), f(-x+3)=-f(x+3), 即f(x+3)是奇函數(shù). 5. (xx·大綱全國)設f(x)是周期為2的奇函數(shù),當0≤x≤1時,f(x)=2x(1-x),則f等 于 ( ) A.- B.- C. D. 答案 A 解析 ∵f(x)是周期為2的奇函數(shù), ∴f=
8、f
=f=-f=-2××=-.
題型一 判斷函數(shù)的奇偶性
例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性:
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=(x+1) ;
(3)f(x)=.
思維啟迪:確定函數(shù)的奇偶性時,必須先判定函數(shù)定義域是否關于原點對稱.若對稱,
再驗證f(-x)=±f(x)或其等價形式f(-x)±f(x)=0是否成立.
解 (1)由,得x=±3.
∴f(x)的定義域為{-3,3}.
又f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)=0.
即f(x)=±f(-x).
∴f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù).
(2)由,得-1 9、點對稱.
∴f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).
(3)由,得-2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定義域為[-2,0)∪(0,2],關于原點對稱.
∴f(x)==.
∴f(x)=-f(-x),∴f(x)是奇函數(shù).
探究提高 判斷函數(shù)的奇偶性,其中包括兩個必備條件:
(1)定義域關于原點對稱,這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件,所以首先考慮定義域對解決問題是有利的;
(2)判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關系.在判斷奇偶性的運算中,可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù)))是否成立.
下列函數(shù):
①f( 10、x)=+;②f(x)=x3-x;③f(x)=ln(x+);④f(x)=;⑤f(x)
=lg .
其中奇函數(shù)的個數(shù)是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 D
解析 ①f(x)=+的定義域為{-1,1},又f(-x)=±f(x)=0,則f(x)=
+既是奇函數(shù),也是偶函數(shù);
②f(x)=x3-x的定義域為R,
又f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x),
則f(x)=x3-x是奇函數(shù);
③由x+>x+|x|≥0知f(x)=ln(x 11、+)的定義域為R,
又f(-x)=ln(-x+)=ln
=-ln(x+)=-f(x),
則f(x)為奇函數(shù);
④f(x)=的定義域為R,
又f(-x)==-=-f(x),
則f(x)為奇函數(shù);
⑤由>0得-1 12、4]時,求f(x)的解析式;
(3)計算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013).
思維啟迪:(1)只需證明f(x+T)=f(x),即可說明f(x)是周期函數(shù);
(2)由f(x)在[0,2]上的解析式求得f(x)在[-2,0]上的解析式,進而求f(x)在[2,4]上的解析式;
(3)由周期性求和.
(1)證明 ∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
∴f(x)是周期為4的周期函數(shù).
(2)解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],
∴4-x∈[0,2],
∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8,
又f( 13、4-x)=f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-x2+6x-8,
即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].
(3)解 ∵f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.
又f(x)是周期為4的周期函數(shù),
∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)
=…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.
∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)=f(0)+f(1)=1.
探究提高 判斷函數(shù)的周期只需證明f(x+T)=f(x) (T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù),且
周期為T,函數(shù)的周期 14、性常與函數(shù)的其他性質綜合命題,是高考考查的重點問題.
已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),并且f(x+2)=-,當2≤x≤3時,f(x)
=x,則f(105.5)=________.
答案 2.5
解析 由已知,可得f(x+4)=f[(x+2)+2]
=-=-=f(x).
故函數(shù)的周期為4.
∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5).
∵2≤2.5≤3,由題意,得f(2.5)=2.5.
∴f(105.5)=2.5.
題型三 函數(shù)性質的綜合應用
例3 設f(x)是(-∞,+∞)上的奇函數(shù),f(x+2)=-f(x),當0≤x≤1時,f(x)=x.
(1)求 15、f(π)的值;
(2)當-4≤x≤4時,求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積;
(3)寫出(-∞,+∞)內函數(shù)f(x)的單調區(qū)間.
思維啟迪:可以先確定函數(shù)的周期性,求f(π);然后根據函數(shù)圖象的對稱性、周期性畫
出函數(shù)圖象,求圖形面積、寫單調區(qū)間.
解 (1)由f(x+2)=-f(x)得,
f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù),
∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)
=-(4-π)=π-4.
(2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x+2)=-f(x),
得:f[(x-1)+2]=-f(x-1 16、)=f[-(x-1)],
即f(1+x)=f(1-x).
故知函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱.
又當0≤x≤1時,f(x)=x,且f(x)的圖象關于原點成中心對稱,則f(x)的圖象如圖所示.
當-4≤x≤4時,f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S,
則S=4S△OAB=4×=4.
(3)函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為[4k-1,4k+1] (k∈Z),
單調遞減區(qū)間為[4k+1,4k+3] (k∈Z).
探究提高 函數(shù)性質的綜合問題,可以利用函數(shù)的周期性、對稱性確定函數(shù)圖象,充分
利用已知區(qū)間上函數(shù)的性質,體現(xiàn)了轉化思想.
(1)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x 17、)滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間[0,2]上是增
函數(shù),則 ( )
A.f(-25) 18、)=f(-1),f(11)
=f(3)=-f(3-4)=f(1),
f(80)=f(0),故f(-25) 19、等式的解集是
{x| 20、(-1)+f(x).(3)
就是要出現(xiàn)f(M) 21、x+1)+f(2x-6)≤3,
變形為f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64).(*)
∵f(x)為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x)=f(|x|).
∴不等式(*)等價于f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64).[9分]
又∵f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
∴|(3x+1)(2x-6)|≤64,且(3x+1)(2x-6)≠0.
解得-≤x<-或- 22、,那么這個解題過程就一定是
規(guī)范的.等價轉化要做到規(guī)范,應注意以下幾點:
(1)要有明確的語言表示.如“M”等價于“N”,“M”變形為“N”.
(2)要寫明轉化的條件.如本例中:∵f(x)為偶函數(shù),∴不等式(*)等價于f[|(3x+1)(2x-
6)|]≤f(64).
(3)轉化的結果要等價.如本例:由于f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64)?|(3x+1)(2x-6)|≤64,且(3x+1)(2x-6)≠0.若漏掉(3x+1)(2x-6)≠0,則這個轉化就不等價了.
方法與技巧
1. 正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義,必須把握好兩個問題:
(1)定義域在數(shù)軸上關于原點 23、對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件;
(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.
2. 奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據.為了便于判斷函數(shù)的奇偶性,有時需要
先將函數(shù)進行化簡,或應用定義的等價形式:f(-x)=±f(x)?f(-x)±f(x)=0?=
±1(f(x)≠0).
3. 奇函數(shù)的圖象關于原點對稱,偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱,反之也成立.利用這一性質
可簡化一些函數(shù)圖象的畫法,也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性.
失誤與防范
1. 判斷函數(shù)的奇偶性,首先應該判斷函數(shù)定義域是否關于原點對稱.定義域關于原點對稱
是函數(shù)具有奇偶 24、性的一個必要條件.
2. 判斷函數(shù)f(x)是奇函數(shù),必須對定義域內的每一個x,均有f(-x)=-f(x),而不能說存在x0使f(-x0)=-f(x0).對于偶函數(shù)的判斷以此類推.
3. 分段函數(shù)奇偶性判定時,要以整體的觀點進行判斷,不可以利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間
上不是奇偶函數(shù)而否定函數(shù)在整個定義域上的奇偶性.
(時間:60分鐘)
A組 專項基礎訓練
一、選擇題(每小題5分,共20分)
1. (xx·廣東)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是 ( )
A.y=sin x 25、 B.y=x3
C.y=ex D.y=ln
答案 D
解析 由函數(shù)奇偶性的定義知A、B項為奇函數(shù),C項為非奇非偶函數(shù),D項為偶函數(shù).
2. (xx·天津)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在區(qū)間(1,2)內是增函數(shù)的為 ( )
A.y=cos 2x,x∈R B.y=log2|x|,x∈R且x≠0
C.y=,x∈R D.y=x3+1,x∈R
答案 B
解析 選項A中函數(shù)y=cos 2x在區(qū)間上單調遞減,不滿足題意;
選項C中的函數(shù)為奇 26、函數(shù);
選項D中的函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故選B.
3.(xx·遼寧)若函數(shù)f(x)=為奇函數(shù),則a等于( )
A. B. C. D.1
答案 A
解析 ∵f(-x)=-f(x),
∴=-,
∴(2a-1)x=0,∴a=.
4. (xx·福州質檢)已知f(x)在R上是奇函數(shù),且滿足f(x+4)=f(x),當x∈(0,2)時,f(x)=2x2,則f(7)等于 ( )
A.-2 B.2 C.-98 27、 D.98
答案 A
解析 ∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是周期為4的函數(shù),
∴f(7)=f(2×4-1)=f(-1),又∵f(x)在R上是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),∴f(-1)=-f(1),
而當x∈(0,2)時,f(x)=2x2,∴f(1)=2×12=2,∴f(7)=f(-1)=-f(1)=-2,故選A.
二、填空題(每小題5分,共15分)
5. 設函數(shù)f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函數(shù),則實數(shù)a的值為________.
答案?。?
解析 因為f(x)是偶函數(shù),所以恒有f(-x)=f(x),即-x(e-x+aex)=x(ex+ae-x),化簡 28、得
x(e-x+ex)(a+1)=0.因為上式對任意實數(shù)x都成立,所以a=-1.
6. 設f(x)為定義在R上的奇函數(shù),當x≥0時,f(x)=2x+2x+b(b為常數(shù)),則f(-1)=______.
答案?。?
解析 因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),因此f(-x)+f(x)=0.當x=0時,可得f(0)=0,
可得b=-1,此時f(x)=2x+2x-1,因此f(1)=3.又f(-1)=-f(1),所以f(-1)=-3.
7. (xx·江南十校聯(lián)考)已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足條件f=-f(x),且函數(shù)y
=f為奇函數(shù),給出以下四個命題:
①函數(shù)f(x)是周期函數(shù);
29、
②函數(shù)f(x)的圖象關于點對稱;
③函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù);
④函數(shù)f(x)為R上的單調函數(shù).
其中真命題的序號為________.
答案?、佗冖?
解析 由f(x)=f(x+3)?f(x)為周期函數(shù),且T=3,①為真命題;又y=f關于(0,0)
對稱,
y=f向左平移個單位得y=f(x)的圖象,
則y=f(x)的圖象關于點對稱,②為真命題;
又y=f為奇函數(shù),∴f=-f,f=-f=-f(-x),
∴f=-f(-x),f(x)=f(x-3)=-f=f(-x),∴f(x)為偶函數(shù),不可能為R上
的單調函數(shù).所以③為真命題,④為假命題.
三、解答題(共25分)
8. 30、(12分)已知函數(shù)f(x)=x2+ (x≠0).
(1)判斷f(x)的奇偶性,并說明理由;
(2)若f(1)=2,試判斷f(x)在[2,+∞)上的單調性.
解 (1)當a=0時,f(x)=x2,f(-x)=f(x) ,函數(shù)是偶函數(shù).
當a≠0時,f(x)=x2+ (x≠0),
取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0;
f(-1)-f(1)=-2a≠0,
∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1).
∴函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
(2)若f(1)=2,即1+a=2,解得a=1,
這時f(x)=x2+.
任取x1,x2∈[2,+∞),且x1 31、(x1)-f(x2)=(x+)-
=(x1+x2)(x1-x2)+
=(x1-x2).
由于x1≥2,x2≥2,且x1 32、x)是定義在R上的奇函數(shù),
故有f(-x)=-f(x).故f(x+2)=-f(x).
從而f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
即f(x)是周期為4的周期函數(shù).
(2)解 由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),有f(0)=0.
x∈[-1,0)時,-x∈(0,1],f(x)=-f(-x)=-.
故x∈[-1,0]時,f(x)=-.
x∈[-5,-4]時,x+4∈[-1,0],
f(x)=f(x+4)=-.
從而,x∈[-5,-4]時,函數(shù)f(x)=-.
B組 專項能力提升
一、選擇題(每小題5分,共15分)
1. (xx·安徽)設f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x≤0 33、時,f(x)=2x2-x,則f(1)等于( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
答案 A
解析 ∵f(x)是奇函數(shù),當x≤0時,f(x)=2x2-x,
∴f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3.
2. 已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),g(x)是定義在R上的奇函數(shù),且g(x)=f(x-1),則f(2
013)+f(2 015)的值為 ( )
A.-1 34、 B.1 C.0 D.無法計算
答案 C
解析 由題意,得g(-x)=f(-x-1),
又∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù),g(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x),
∴f(x-1)=-f(x+1),
∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4),
∴f(x)的周期為4,
∴f(2 013)=f(1),f(2 015)=f(3)=f(-1),
又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0,
∴f(2 013)+f(2 015)=0.
3. (xx·淄博一模)設奇函數(shù)f
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