2022年高中數(shù)學 第三章《回歸分析》教案2 新人教A版選修2-3 一．問題情境 1．情境：下面是一組數(shù)據(jù)的散點圖，若求出相應的線性回歸方程，求出的線性回歸方程可以用作預測和估計嗎？ 2．問題：思考、討論：求得的線性回歸方程是否有實際意義． 二．學生活動 對任意給定的樣本數(shù)據(jù)，由計算公式都可以求出相應的線性回歸方程，但求得的線性回歸方程未必有實際意義．左圖中的散點明顯不在一條直線附近，不能進行線性擬合，求得的線性回歸方程是沒有實際意義的；右圖中的散點基本上在一條直線附近，我們可以粗略地估計兩個變量間有線性相關關系，但它們線性相關的程度如何，如何較為精確地刻畫線性相關關系呢？ 這就是上節(jié)課提到的問題①，即模型的合理性問題．為了回答這個問題，我們需要對變量與的線性相關性進行檢驗（簡稱相關性檢驗）． 三．建構數(shù)學 1．相關系數(shù)的計算公式： 對于，隨機取到的對數(shù)據(jù)，樣本相關系數(shù)的計算公式為 ． 2．相關系數(shù)的性質： （1）； （2）越接近與1，，的線性相關程度越強； （3）越接近與0，，的線性相關程度越弱． 可見，一條回歸直線有多大的預測功能，和變量間的相關系數(shù)密切相關． 3．對相關系數(shù)進行顯著性檢驗的步驟： 相關系數(shù)的絕對值與1接近到什么程度才表明利用線性回歸模型比較合理呢？這需要對相關系數(shù)進行顯著性檢驗．對此，在統(tǒng)計上有明確的檢驗方法，基本步驟是： （1）提出統(tǒng)計假設：變量，不具有線性相關關系； （2）如果以的把握作出推斷，那么可以根據(jù)與（是樣本容量）在附錄（教材P111）中查出一個的臨界值（其中稱為檢驗水平）； （3）計算樣本相關系數(shù)； （4）作出統(tǒng)計推斷：若，則否定，表明有的把握認為變量與之間具有線性相關關系；若，則沒有理由拒絕，即就目前數(shù)據(jù)而言，沒有充分理由認為變量與之間具有線性相關關系． 說明：1．對相關系數(shù)進行顯著性檢驗，一般取檢驗水平，即可靠程度為． 2．這里的指的是線性相關系數(shù)，的絕對值很小，只是說明線性相關程度低，不一定不相關，可能是非線性相關的某種關系． 3．這里的是對抽樣數(shù)據(jù)而言的．有時即使，兩者也不一定是線性相關的．故在統(tǒng)計分析時，不能就數(shù)據(jù)論數(shù)據(jù)，要結合實際情況進行合理解釋． 4．對于上節(jié)課的例1,可按下面的過程進行檢驗： （1）作統(tǒng)計假設：與不具有線性相關關系； （2）由檢驗水平與在附錄中查得； （3）根據(jù)公式得相關系數(shù)； （4）因為，即，所以有﹪的把握認為與之間具有線性相關關系,線性回歸方程為是有意義的． 四．數(shù)學運用 1．例題： 例1．下表是隨機抽取的對母女的身高數(shù)據(jù),試根據(jù)這些數(shù)據(jù)探討與之間的關系． 母親身高 女兒身高 解：所給數(shù)據(jù)的散點圖如圖所示：由圖可以看出，這些點在一條直線附近， 因為，， ， ， ， 所以， 由檢驗水平及，在附錄中查得，因為,所以可以認為與之間具有較強的線性相關關系．線性回歸模型中的估計值分別為 ， 故對的線性回歸方程為． 例2．要分析學生高中入學的數(shù)學成績對高一年級數(shù)學學習的影響，在高一年級學生中隨機抽取名學生，分析他們?nèi)雽W的數(shù)學成績和高一年級期末數(shù)學考試成績?nèi)缦卤恚? 學生編號 入學成績 高一期末成績 （1）計算入學成績與高一期末成績的相關系數(shù)； （2）如果與之間具有線性相關關系，求線性回歸方程； （3）若某學生入學數(shù)學成績?yōu)榉?，試估計他高一期末?shù)學考試成績． 解：(1)因為，， ，， ． 因此求得相關系數(shù)為． 結果說明這兩組數(shù)據(jù)的相關程度是比較高的； 小結解決這類問題的解題步驟： （1）作出散點圖，直觀判斷散點是否在一條直線附近； （2）求相關系數(shù)； （3）由檢驗水平和的值在附錄中查出臨界值，判斷與是否具有較強的線性相關關系； （4）計算，，寫出線性回歸方程．