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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 壓軸題目突破練 解析幾何教案 理 新人教A版 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． 已知兩條直線l1：y＝x，l2：ax－y＝0，其中a為實數(shù)，當(dāng)這兩條直線的夾角在內(nèi)變動時，a的取值范圍是 (　　) A．(0,1) B. C.∪(1，) D．(1，) 答案　C 解析　直線l1的傾斜角為，依題意l2的傾斜角的取值范圍為∪，即∪，從而l2的斜率a的取值范圍為∪(1，)． 2． 若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有兩個點到直線4x－3y－2＝0的距離等于1，則半徑r的取值范圍是

2、 (　　) A．(4,6) B．[4,6) C．(4,6] D．[4,6] 答案　A 解析　因為圓心(3，－5)到直線4x－3y－2＝0的距離為＝5， 所以當(dāng)半徑r＝4時，圓上有1個點到直線4x－3y－2＝0的距離等于1，當(dāng)半徑r＝6時，圓上有3個點到直線4x－3y－2＝0的距離等于1， 所以圓上有且只有兩個點到直線4x－3y－2＝0的距離等于1時，40，b>0)與拋物線y2＝8x有一個公共的焦點F，且兩曲線的一個交點為P，若|PF|＝5，則雙曲線的漸近線方程為 (　　) A．y＝±x

3、 B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案　A 解析　設(shè)點P(x0，y0)．依題意得，焦點F(2,0)， 于是有x0＝3，y＝24； 由此解得a2＝1，b2＝3， 因此該雙曲線的漸近線方程是y＝±x＝±x. 4． 已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，則點P到點(0,2)的距離與點P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為 (　　) A. B．3 C. D. 答案　A 解析　記拋物線y2＝2x的焦點為F，準(zhǔn)線是l，由拋物線的定義知點P到焦點F的距離等于它到準(zhǔn)線l的距離，因此要求點P到點(0,2)的距離

4、與點P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值，可以轉(zhuǎn)化為求點P到點(0,2)的距離與點P到焦點F的距離之和的最小值，結(jié)合圖形不難得知相應(yīng)的最小值就等于焦點F到點(0,2)的距離． 因此所求的最小值等于＝，選A. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． 如果＋＝－1表示焦點在y軸上的雙曲線，那么它的半焦距c的取值范圍是________． 答案　(1，＋∞) 解析　將原方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 由題意知k－1>0且k－2>0，解得k>2. 又a2＝k－1，b2＝k－2，所以c2＝a2＋b2＝2k－3>1， 所以c>1，故半焦距c的取值范圍是(1，＋∞)． 6． 若點(3,1)是拋物

5、線y2＝2px一條弦的中點，且這條弦所在直線的斜率為2，則p＝______. 答案　2 解析　設(shè)弦兩端點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 則，兩式相減得，＝＝2. 又∵y1＋y2＝2，∴p＝2. 7． 已知拋物線x2＝4y的焦點為F，經(jīng)過F的直線與拋物線相交于A，B兩點，則以AB為直徑的圓在x軸上所截得的弦長的最小值是________． 答案　2 解析　由拋物線定義得以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦長的解析式，再求弦長的最小值．設(shè)以AB為直徑的圓的半徑為r，則|AB|＝2r≥4，r≥2，且圓心到x軸的距離是r－1，所以在x軸上所截得的弦

6、長為2＝2≥2，即弦長的最小值是2. 三、解答題(共22分) 8． (10分)已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點O，一個長軸頂點為(0,2)，它的兩個短軸頂點和焦點所組成的四邊形為正方形，直線l與y軸交于點P(0，m)，與橢圓C交于異于橢圓頂點的兩點A，B，且＝2. (1)求橢圓的方程； (2)求m的取值范圍． 解　(1)由題意，知橢圓的焦點在y軸上， 設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)， 由題意，知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，則b＝， 所以橢圓方程為＋＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意，知直線l的斜率存在， 設(shè)其方程為y＝kx＋m，與橢圓方程聯(lián)立，

7、 即消去y，得 (2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0， Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0， 由根與系數(shù)的關(guān)系，知 又＝2，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)， 所以－x1＝2x2. 則 所以＝－22. 整理，得(9m2－4)k2＝8－2m2， 又9m2－4＝0時等式不成立， 所以k2＝>0，得0. 所以m的取值范圍為∪. 9． (12分)已知中心在原點的橢圓C：＋＝1的一個焦點為F1(0,3)，M(x,4)(x>0)為橢圓C上一點，△MOF1的面積為. (1)求橢圓C的方程； (2)是否存在平行于OM的直線l，使得

8、直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由． 解　(1)因為橢圓C的一個焦點為F1(0,3)， 所以c＝3，b2＝a2＋9，則橢圓C的方程為＋＝1， 因為x>0，所以S△OMF1＝×3×x＝，解得x＝1. 故點M的坐標(biāo)為(1,4)． 因為點M(1,4)在橢圓上，所以＋＝1， 得a4－8a2－9＝0， 解得a2＝9或a2＝－1(不合題意，舍去)， 則b2＝9＋9＝18，所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)假設(shè)存在符合題意的直線l與橢圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，其方程為y＝4x＋m(因為直線

9、OM的斜率k＝4)， 由消去y化簡，得18x2＋8mx＋m2－18＝0. 進而得到x1＋x2＝－，x1·x2＝. 因為直線l與橢圓C相交于A，B兩點， 所以Δ＝(8m)2－4×18×(m2－18)>0， 化簡得m2<162，解得－9

10、y＝4x＋或y＝4x－. B組　專項能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． 已知橢圓E的左、右焦點分別為F1、F2，過F1且斜率為2的直線交橢圓E于P、Q兩點，若△PF1F2為直角三角形，則橢圓E的離心率為 (　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由題意可知，∠F1PF2是直角，且tan∠PF1F2＝2，∴＝2，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＝，|PF2|＝. 根據(jù)勾股定理得2＋2＝(2c)2， 所以離心率e＝＝. 2． 由直線y＝x＋1上的一點向圓(x－3)2＋

11、y2＝1引切線，則切線長的最小值為 (　　) A．1 B．2 C. D．3 答案　C 解析　如圖所示， 設(shè)直線上一點P， 切點為Q，圓心為M，則|PQ|即為切線長， MQ為圓M的半徑，長度為1， |PQ|＝ ＝， 要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值， 此題轉(zhuǎn)化為求直線y＝x＋1上的點到圓心M的最小距離， 設(shè)圓心到直線y＝x＋1的距離為d， 則d＝＝2.所以|PM|的最小值為2. 所以|PQ|＝≥＝. 3． (xx·四川)在拋物線y＝x2＋ax－5(a≠0)上取橫坐標(biāo)為x1＝－4，x2＝2的兩點，過這兩點引一條割線，有平行于該割線的一條

12、直線同時與拋物線和圓5x2＋5y2＝36相切，則拋物線頂點的坐標(biāo)為 (　　) A．(－2，－9) B．(0，－5) C．(2，－9) D．(1，－6) 答案　A 解析　當(dāng)x1＝－4時，y1＝11－4a；當(dāng)x2＝2時，y2＝2a－1，所以割線的斜率k＝＝a－2.設(shè)直線與拋物線的切點橫坐標(biāo)為x0，由y′＝2x＋a得切線斜率為2x0＋a，∴2x0＋a＝a－2，∴x0＝－1. ∴直線與拋物線的切點坐標(biāo)為(－1，－a－4)，切線方程為y＋a＋4＝(a－2)(x＋1)，即(a－2)x－y－6＝0. 圓5x2＋5y2＝36的圓心到切線的距離

13、d＝.由題意得＝，即(a－2)2＋1＝5.又a≠0， ∴a＝4，此時，y＝x2＋4x－5＝(x＋2)2－9， 頂點坐標(biāo)為(－2，－9)． 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． 過橢圓＋＝1(a>b>0)的左頂點A且斜率為1的直線與橢圓的另一個交點為M，與y軸的交點為B，若|AM|＝|MB|，則該橢圓的離心率為________． 答案　 解析　由題意知A點的坐標(biāo)為(－a,0)， 設(shè)直線的方程為y＝x＋a， ∴B點的坐標(biāo)為(0，a)，故M點的坐標(biāo)為， 代入橢圓方程得a2＝3b2，∴2a2＝3c2，∴e＝. 5． 已知曲線－＝1與直線x＋y－1＝0相交于P、Q兩點，且·＝0(

14、O為原點)，則－的值為________． 答案　2 解析　將y＝1－x代入－＝1， 得(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.由題意，知a≠b. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝. ·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(1－x1)(1－x2) ＝2x1x2－(x1＋x2)＋1. 所以－＋1＝0， 即2a＋2ab－2a＋a－b＝0，即b－a＝2ab，所以－＝2. 6． 設(shè)拋物線y2＝2x的焦點為F，過F的直線交該拋物線于A，B兩點，則|AF|＋4|BF|的最小值為________． 答案　 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由拋物

15、線定義可得|AF|＋4|BF|＝x1＋＋4＝x1＋＋4＝x1＋4x2＋，設(shè)直線AB的方程為ky＝x－，聯(lián)立拋物線方程得方程組消元整理得y2－2ky－1＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得y1y2＝－1，又A，B在拋物線上，代入方程得yy＝2x1·2x2＝4x1x2＝1，即x1x2＝，因此根據(jù)基本不等式|AF|＋4|BF|＝x1＋4x2＋≥2＋＝2＋＝，當(dāng)且僅當(dāng)x1＝4x2時取得最小值. 三、解答題 7． (13分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1的左，右頂點分別為A，B，右焦點為F.設(shè)過點T(t，m)的直線TA，TB與此橢圓分別交于點M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，

16、y2<0. (1)設(shè)動點P滿足：|PF|2－|PB|2＝4，求點P的軌跡； (2)設(shè)x1＝2，x2＝，求點T的坐標(biāo)； (3)設(shè)t＝9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標(biāo)與m無關(guān))． (1)解　設(shè)P(x，y)，由題知F(2,0)，B(3,0)，A(－3,0)， 則|PF|2＝(x－2)2＋y2，|PB|2＝(x－3)2＋y2， 由|PF|2－|PB|2＝4，得(x－2)2＋y2－[(x－3)2＋y2]＝4， 化簡，得x＝.故點P的軌跡方程是x＝. (2)解　將x1＝2，x2＝分別代入橢圓方程， 并考慮到y(tǒng)1>0，y2<0，得M，N. 則直線MA的方程為＝，即x－3y＋3＝0 直線NB的方程為＝，即5x－6y－15＝0. 聯(lián)立方程解得x＝7，y＝， 所以點T的坐標(biāo)為. (3)證明　如圖所示， 點T的坐標(biāo)為(9，m)． 直線TA的方程為＝， 直線TB的方程為＝， 分別與橢圓＋＝1聯(lián)立方程， 解得M， N. 直線MN的方程為 ＝. 令y＝0，解得x＝1，所以直線MN必過x軸上的一定點(1,0)．