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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第十二課時(shí) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象教案 蘇教版必修4
教學(xué)目標(biāo):
會(huì)用單位圓中的線段畫出正弦函數(shù)的圖象,用誘導(dǎo)公式畫出余弦函數(shù)的圖象,會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正、余弦函數(shù)的圖象;培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想,滲透由抽象到具體思想,使學(xué)生理解動(dòng)與靜的辯證關(guān)系.
教學(xué)重點(diǎn):
用“五點(diǎn)法”畫正弦曲線、余弦曲線.
教學(xué)難點(diǎn):
利用單位圓畫正弦曲線.
教學(xué)過程:
Ⅰ.課題導(dǎo)入
以前,我們已經(jīng)學(xué)過一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等等,對(duì)于各種函數(shù)我們都討論過它的圖象及性質(zhì).那么,現(xiàn)在我們正在學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的圖象是什么樣子呢?今天,我們就來探討一下.
Ⅱ.講授新課
三角函
2、數(shù)線是三角函數(shù)的一種幾何表示法,確切地說,就是用有向線段的長度來表示三角函數(shù)值的大小,方向表示三角函數(shù)的符號(hào)的一種方法.
作函數(shù)的圖象,最基本的方法是列表描點(diǎn)法.作三角函數(shù)的圖象,為了精確,我們借助單位圓中的三角函數(shù)線來作.
下面,我們利用單位圓中的正弦線來畫一下正弦函數(shù)的圖象.
首先,在平面內(nèi)建立一平面直角坐標(biāo)系,然后在直角坐標(biāo)系的x軸上任意取一點(diǎn)O1,以O1為圓心作單位圓,從⊙O1與x軸的交點(diǎn)A起把⊙O1分成12等份(份數(shù)宜取6的倍數(shù),份數(shù)越多,畫出的圖象越精確).過⊙O1上的各分點(diǎn)作x軸的垂線,可以得到對(duì)應(yīng)于0、、、、…2π等角的正弦線(例如有向線段O1B對(duì)應(yīng)于 角的正弦線),相應(yīng)
3、地,再把x軸上從0到2π這一段(2π≈6.28)分成12等份(例如,從原點(diǎn)起向右的第四個(gè)點(diǎn),就是對(duì)應(yīng)于 角的點(diǎn)),把角x的正弦線向右平移,使它的起點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)x重合(例如,把正弦線O1B向右平移,使點(diǎn)O1與x軸上的點(diǎn) 重合).再把這些正弦線的終點(diǎn)用平滑曲線連結(jié)起來.
這時(shí),我們看到的這段光滑曲線就是函數(shù)y=sinx在x∈[0,2π]上的函數(shù).
因?yàn)榻K邊相同的角有相同的三角函數(shù)值,所以函數(shù)y=sinx在x∈[2kπ,2(k+1)π], k∈Z且k≠0上的圖象與函數(shù)y=sinx在x∈[0,2π)上的圖象的形狀完全一樣,只是位置不同,于是我們只要將函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π)的圖
4、象向左、右平行移動(dòng)(每次2個(gè)單位長度),就可以得到正弦函數(shù)y=sinx在x∈R上的圖象.
這時(shí),我們看到的這支曲線就是正弦函數(shù)y=sinx在整個(gè)定義域上的圖象,我們也可把它稱為正弦曲線.
用這種方法來作圖象,雖然比較精確,但不太實(shí)用,我們?cè)撊绾慰旖莸禺嫵稣液瘮?shù)的圖象呢?
在函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖象上,起著關(guān)鍵作用的點(diǎn)只有以下五個(gè):
(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0)
事實(shí)上,描出這五個(gè)點(diǎn)后,函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖象的形狀就基本上確定了.因此,在精確度要求不太高時(shí),我們常常先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),然后用光滑曲線將它們連結(jié)起來,就可得
5、到函數(shù)的簡(jiǎn)圖.今后,我們將經(jīng)常使用這種近似的“五點(diǎn)(畫圖)法”.
下面我們看余弦函數(shù)圖象的一種畫法.
由誘導(dǎo)公式可知:y=cosx=sin(+x)=sin(x+)
看來,余弦函數(shù)y=cosx,x∈R與函數(shù)y=sin(x+),x∈R是同一個(gè)函數(shù).
而y=sin(x+),x∈R的圖象可通過將正弦曲線向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度而得到.
現(xiàn)在看到的曲線也就是余弦函數(shù)y=cosx在x∈R上的圖象,即余弦曲線.
同樣,可發(fā)現(xiàn)在函數(shù)y=cosx,x∈[0,2π]的圖象上,起著關(guān)鍵作用的點(diǎn)是以下五個(gè):
(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1)與畫函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的簡(jiǎn)圖類似,通過這五個(gè)點(diǎn),可以畫出函數(shù)y=cosx,x∈[0,2π]的簡(jiǎn)圖.
下面,請(qǐng)同學(xué)們練習(xí)一下“五點(diǎn)(作圖)法”
Ⅲ.課堂練習(xí)
用“五點(diǎn)法”分別作出y=sinx與y=cosx在x∈[0,2π]上的簡(jiǎn)圖,并體會(huì)它們之間的關(guān)系.
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
通過本節(jié)學(xué)習(xí),要了解如何利用正弦曲線畫出正弦函數(shù)的圖象,并在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫出余弦函數(shù)的圖象,并會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖,會(huì)用這一方法畫出與正弦、余弦函數(shù)有關(guān)的某些簡(jiǎn)單函數(shù)在長度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖.
Ⅴ.課后作業(yè)
預(yù)習(xí):正弦函數(shù)、余弦函數(shù)分別具有哪些性質(zhì)?