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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第四章《圓的一般方程》教案 新人教A版必修2
三維目標(biāo):
? 知識(shí)與技能 : (1)在掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上,理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征,由圓的一般方程確定圓的圓心半徑.掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件
(2)能通過(guò)配方等手段,把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.能用待定系數(shù)法求圓的方程。
(3):培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問(wèn)題的實(shí)際能力。
過(guò)程與方法:通過(guò)對(duì)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件的探究,培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問(wèn)題的實(shí)際能力。
情感態(tài)度價(jià)值觀:滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方
2、法,提高學(xué)生的整體素質(zhì),激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新,勇于探索。
教學(xué)重點(diǎn):圓的一般方程的代數(shù)特征,一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化,根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù),D、E、F.
教學(xué)難點(diǎn):對(duì)圓的一般方程的認(rèn)識(shí)、掌握和運(yùn)用
教 具:多媒體、實(shí)物投影儀
教學(xué)過(guò)程:
課題引入:
問(wèn)題:求過(guò)三點(diǎn)A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圓的方程。
利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問(wèn)題顯然有些麻煩,得用直線的知識(shí)解決又有其簡(jiǎn)單的局限性,那么這個(gè)問(wèn)題有沒(méi)有其它的解決方法呢?帶著這個(gè)問(wèn)題我們來(lái)共同研究圓的方程的另一種形式——圓的一般方程。
探索研究:
請(qǐng)同學(xué)們寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(x-a)2+(y-b)2=r2
3、,圓心(a,b),半徑r.
把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開(kāi),并整理:
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
取得
①
這個(gè)方程是圓的方程.
反過(guò)來(lái)給出一個(gè)形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程,它表示的曲線一定是圓嗎?
把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得
② (配方過(guò)程由學(xué)生去完成)這個(gè)方程是不是表示圓?
(1)當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí),方程②表示(1)當(dāng)時(shí),表示以(-,-)為圓心,為半徑的圓;
(2)當(dāng)時(shí),方程只有實(shí)數(shù)解,,即只表示一個(gè)點(diǎn)(-,-);
(3)當(dāng)時(shí),方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解,因而它不表示任何圖形
綜上所述,方程表示的曲線不一定是圓
4、
只有當(dāng)時(shí),它表示的曲線才是圓,我們把形如的表示圓的方程稱為圓的一般方程
我們來(lái)看圓的一般方程的特點(diǎn):(啟發(fā)學(xué)生歸納)
(1)①x2和y2的系數(shù)相同,不等于0.
?、跊](méi)有xy這樣的二次項(xiàng).
(2)圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù)D、E、F,因之只要求出這三個(gè)系數(shù),圓的方程就確定了.
(3)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較,它是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特征明顯,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小,幾何特征較明顯。
知識(shí)應(yīng)用與解題研究:
例1:判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程?如果是,請(qǐng)求出圓的圓心及半徑。
學(xué)生自己分析探求解決途徑:①、用配方法將其變形化成圓的標(biāo)準(zhǔn)形式。②
5、、運(yùn)用圓的一般方程的判斷方法求解。但是,要注意對(duì)于來(lái)說(shuō),這里的
.
例2:求過(guò)三點(diǎn)A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圓的方程,并求這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo)。
分析:據(jù)已知條件,很難直接寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,而圓的一般方程則需確定三個(gè)系數(shù),而條件恰給出三點(diǎn)坐標(biāo),不妨試著先寫(xiě)出圓的一般方程
解:設(shè)所求的圓的方程為:
∵在圓上,所以它們的坐標(biāo)是方程的解.把它們的坐標(biāo)代入上面的方程,可以得到關(guān)于的三元一次方程組,
即
解此方程組,可得:
∴所求圓的方程為:
;
得圓心坐標(biāo)為(4,-3).
或?qū)⒆筮吪浞交癁閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程,,從而求出圓的半徑,圓心坐標(biāo)為(4,-3)
學(xué)
6、生討論交流,歸納得出使用待定系數(shù)法的一般步驟:
①、 根據(jù)提議,選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程;
②、 根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程組;
③、 解出a、b、r或D、E、F,代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程。
例3、已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng),求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。
分析:如圖點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng),而點(diǎn)A在已知圓上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程。建立點(diǎn)M與點(diǎn)A坐標(biāo)之間的關(guān)系,就可以建立點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的條件,求出點(diǎn)M的軌跡方程。
解:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,y),點(diǎn)A的坐標(biāo)是 ①
上運(yùn)動(dòng),所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程,即
②
把①代入②,得
課堂練習(xí):課堂練習(xí)第1、2、3題
小結(jié) :
1.對(duì)方程的討論(什么時(shí)候可以表示圓)
2.與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化
3.用待定系數(shù)法求圓的方程
4.求與圓有關(guān)的點(diǎn)的軌跡。
課后作業(yè):習(xí)題4.1第2、3、6題