2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教案 理 新人教A版
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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考 1.考查直線與圓的相交、相切問(wèn)題,判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系;2.計(jì)算弦長(zhǎng)、面積,考查與圓有關(guān)的最值;根據(jù)條件求圓的方程. 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.會(huì)用代數(shù)法或幾何法判定點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系;2.掌握?qǐng)A的幾何性質(zhì),通過(guò)數(shù)形結(jié)合法解決圓的切線、直線被圓截得的弦長(zhǎng)等直線與圓的綜合問(wèn)題,體會(huì)用代數(shù)法處理幾何問(wèn)題的思想. 1. 直線與圓的位置關(guān)系 設(shè)直線l:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0), 圓:(x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0), d為圓心(a,b)到直線l
2、的距離,聯(lián)立直線和圓的方程,消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ.
幾何法
代數(shù)法
相交
d 3、r1-r2|(r1≠r2)
一組實(shí)數(shù)解
內(nèi)含
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
無(wú)解
[難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源]
1. 直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合,“代數(shù)法”與“幾何法”是從不同的方面和思路來(lái)判斷的.
2. 計(jì)算直線被圓截得的弦長(zhǎng)的常用方法
(1)幾何方法
運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長(zhǎng)的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算.
(2)代數(shù)方法
運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系及弦長(zhǎng)公式
|AB|=|xA-xB|
=.
1. (xx·重慶)過(guò)原點(diǎn)的直線與圓x2+y2-2x-4y+4=0相交所得弦的長(zhǎng)為2,則該直線的方程為_(kāi)_______.
答案 2x- 4、y=0
解析 圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x-1)2+(y-2)2=1,又相交所得弦長(zhǎng)為2,故相交弦為圓的直徑,由此得直線過(guò)圓心(1,2),故所求直線方程為2x-y=0.
2. 若圓x2+y2=1與直線y=kx+2沒(méi)有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_________.
答案 (-,)
解析 由圓與直線沒(méi)有公共點(diǎn),可知圓的圓心到直線的距離大于半徑,也就是>1,解得- 5、點(diǎn)到直線的距離為1,則需圓心(0,0)到直線的距離d滿足0≤d<1.
∵d==,∴0≤|c|<13,即c∈(-13,13).
4. 從圓x2-2x+y2-2y+1=0外一點(diǎn)P(3,2)向這個(gè)圓作兩條切線,則兩切線夾角的余弦
值為 ( )
A. B. C. D.0
答案 B
解析 圓的方程整理為(x-1)2+(y-1)2=1,C(1,1),
∴sin∠APC=,
則cos∠APB=cos 2∠APC
=1-2×2=.
5. 圓C1:x2+y2+2x+2y-2=0與圓C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切線有 6、且僅有( )
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
答案 B
解析 ⊙C1:(x+1)2+(y+1)2=4,
圓心C1(-1,-1),半徑r1=2.
⊙C2:(x-2)2+(y-1)2=4,圓心C2(2,1),半徑r2=2.
∴|C1C2|=,∴|r1-r2|=0<|C1C2| 7、數(shù)即為直線方程與圓方程聯(lián)立而成的方程組解的個(gè)數(shù);最短弦長(zhǎng)可用代數(shù)法或幾何法判定.
方法一 (1)證明 由
消去y得(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0,
因?yàn)棣ぃ?2-4k)2+28(k2+1)>0,
所以不論k為何實(shí)數(shù),直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn).
(2)解 設(shè)直線與圓交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn),
則直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)
|AB|=|x1-x2|
=2=2 ,
令t=,則tk2-4k+(t-3)=0,
當(dāng)t=0時(shí),k=-,當(dāng)t≠0時(shí),因?yàn)閗∈R,
所以Δ=16-4t(t-3)≥0,解得-1≤t≤4,且t≠0,
故t=的最大值為4,此時(shí)|AB|最小為 8、2.
方法二 (1)證明 圓心C(1,-1)到直線l的距離d=,圓C的半徑R=2,R2-d2=12-=,而在S=11k2-4k+8中,
Δ=(-4)2-4×11×8<0,
故11k2-4k+8>0對(duì)k∈R恒成立,
所以R2-d2>0,即d 9、 由平面幾何知識(shí)知過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)P(0,1)的弦,只有和AC (C為圓心)垂直時(shí)才最短,而此時(shí)點(diǎn)P(0,1)為弦AB的中點(diǎn),由勾股定理,知|AB|=2=2,
即直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)為2.
探究提高 (1)利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關(guān)系,也可利用直線的方程與圓的方程聯(lián)立后得到的一元二次方程的判別式來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系;
(2)勾股定理是解決有關(guān)弦問(wèn)題的常用方法.
(xx·安徽)若直線x-y+1=0與圓(x-a)2+y2=2有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( )
A.[-3,-1] B.[-1,3]
C.[-3,1] 10、 D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
答案 C
解析 由題意知,圓心為(a,0),半徑r=.
若直線與圓有公共點(diǎn),則圓心到直線的距離小于或等于半徑,
即≤,∴|a+1|≤2.∴-3≤a≤1.
題型二 圓與圓的位置關(guān)系
例2 a為何值時(shí),圓C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和圓C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3
=0.
(1)外切;(2)相交;(3)外離;(4)內(nèi)切.
思維啟迪:(1)分別表示出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑;(2)利用圓心距與兩圓半徑的關(guān)系求解.
解 將兩圓方程寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)方程.
C1:(x-a)2+(y+2)2=9,
C2:(x+1)2+( 11、y-a)2=4.
∴兩圓的圓心和半徑分別為
C1(a,-2),r1=3,C2(-1,a),r2=2,
設(shè)兩圓的圓心距為d,
則d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5.
(1)當(dāng)d=5,即2a2+6a+5=25時(shí),兩圓外切,
此時(shí)a=-5或a=2.
(2)當(dāng)1 12、和與差之間的關(guān)系,一般不采用代數(shù)法.
已知圓C與圓C1:x2+y2-2x=0相外切,并且與直線l:x+y=0相切于點(diǎn)P(3,-),求圓C的方程.
解 設(shè)所求圓的圓心為C(a,b),半徑長(zhǎng)為r,
則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,
∵C(a,b)在過(guò)點(diǎn)P且與l垂直的直線上,
∴=.①
又∵圓C與l相切于點(diǎn)P,∴r=.②
∵圓C與圓C1相外切,∴=r+1.③
由①得a-b-4=0,
從而由②③④可得=|2a-6|+1,④
解得,或,此時(shí),r=2或r=6.
即所求的圓C的方程為
(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36.
題型三 直線與圓的綜合問(wèn) 13、題
例3 已知⊙M:x2+(y-2)2=1,Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn),QA,QB分別切⊙M于A,B兩點(diǎn).
(1)若|AB|=,求|MQ|、Q點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線MQ的方程;
(2)求證:直線AB恒過(guò)定點(diǎn).
思維啟迪:第(1)問(wèn)利用平面幾何的知識(shí)解決;第(2)問(wèn)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo),從而確定點(diǎn)A、B的坐標(biāo)與AB的直線方程.
(1)解 設(shè)直線MQ交AB于點(diǎn)P,則|AP|=,
又|AM|=1,AP⊥MQ,AM⊥AQ,
得|MP|==,
又∵|MQ|=,∴|MQ|=3.
設(shè)Q(x,0),而點(diǎn)M(0,2),由=3,
得x=±,則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(,0)或(-,0).
從而直線MQ的方程為2x+y-2=0或 14、2x-y+2=0.
(2)證明 設(shè)點(diǎn)Q(q,0),由幾何性質(zhì),可知A、B兩點(diǎn)在以QM為直徑的圓上,此圓的方程為x(x-q)+y(y-2)=0,而線段AB是此圓與已知圓的公共弦,即為qx-2y+3=0,所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn).
探究提高 在解決直線與圓的位置關(guān)系時(shí)要充分考慮平面幾何知識(shí)的運(yùn)用,如在直線與圓相交的有關(guān)線段長(zhǎng)度計(jì)算中,要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長(zhǎng)度放在一起綜合考慮,不要單純依靠代數(shù)計(jì)算,這樣既簡(jiǎn)單又不容易出錯(cuò).
已知點(diǎn)P(0,5)及圓C:x2+y2+4x-12y+24=0.
(1)若直線l過(guò)點(diǎn)P且被圓C截得的線段長(zhǎng)為4,求l的方程;
(2)求過(guò)P點(diǎn)的 15、圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.
解 (1)如圖所示,|AB|=4,將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y-6)2=16,
∴圓C的圓心坐標(biāo)為(-2,6),半徑r=4,設(shè)D是線段AB的中點(diǎn),則CD⊥AB,
∴|AD|=2,|AC|=4.C點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,6).
在Rt△ACD中,可得|CD|=2.
設(shè)所求直線l的斜率為k,則直線l的方程為:y-5=kx,即kx-y+5=0.
由點(diǎn)C到直線AB的距離公式:=2,
得k=.
故直線l的方程為3x-4y+20=0.
又直線l的斜率不存在時(shí),也滿足題意,此時(shí)方程為x=0.
∴所求直線l的方程為x=0或3x-4y+20=0.
(2)設(shè) 16、過(guò)P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)為D(x,y),
則CD⊥PD,即·=0,
∴(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,
化簡(jiǎn)得所求軌跡方程為x2+y2+2x-11y+30=0.
與圓有關(guān)的探索問(wèn)題
典例:(12分)已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0.問(wèn)在圓C上是否存在兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=kx-1對(duì)稱,且以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)?若存在,寫(xiě)出直線AB的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
審題視角 (1)假設(shè)存在兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線對(duì)稱,則直線過(guò)圓心.
(2)若以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn),則OA⊥OB,轉(zhuǎn)化為·=0.
規(guī)范解答
解 圓C的方程可化為(x-1)2+(y+2)2=9,圓心為C 17、(1,-2).假設(shè)在圓C上存在兩點(diǎn)A、B滿足條件,
則圓心C(1,-2)在直線y=kx-1上,即k=-1.[3分]
于是可知,kAB=1.
設(shè)lAB:y=x+b,代入圓C的方程,
整理得2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0,
則Δ=4(b+1)2-8(b2+4b-4)>0,即b2+6b-9<0.
解得-3-3
18、+x2)+b2=0.[10分]
∴b2+4b-4-b2-b+b2=0,化簡(jiǎn)得b2+3b-4=0.
解得b=-4或b=1,均滿足Δ>0,
即直線AB的方程為x-y-4=0,或x-y+1=0.[12分]
答題模板
第一步:假設(shè)符合要求的結(jié)論存在.
第二步:從條件出發(fā)(即假設(shè))利用直線與圓的關(guān)系求解.
第三步:確定符合要求的結(jié)論存在或不存在.
第四步:給出明確結(jié)果.
第五步:反思回顧,查看關(guān)鍵點(diǎn),易錯(cuò)點(diǎn)及答題規(guī)范.
溫馨提醒 (1)本題是與圓有關(guān)的探索類問(wèn)題,要注意充分利用圓的幾何性質(zhì)答題.(2)要注意解答這類題目的答題格式.使答題過(guò)程完整規(guī)范.(3)本題的易錯(cuò)點(diǎn)是轉(zhuǎn)化方向不明確 19、,思路不清晰.
方法與技巧
1. 過(guò)圓上一點(diǎn)(x0,y0)的圓的切線方程的求法
先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k,由垂直關(guān)系知切線斜率為-,由點(diǎn)斜式方程可求切線方程.若切線斜率不存在,則由圖形寫(xiě)出切線方程x=x0.
2. 過(guò)圓外一點(diǎn)(x0,y0)的圓的切線方程的求法
(1)幾何方法
當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)為k,切線方程為y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0.由圓心到直線的距離等于半徑,即可得出切線方程.
(2)代數(shù)方法
設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圓方程,得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,由Δ=0,求得k,切線方程即可求出.
3. 20、兩圓公共弦所在直線方程求法
若兩圓相交時(shí),把兩圓的方程作差消去x2和y2就得到兩圓的公共弦所在的直線方程.
4. 圓的弦長(zhǎng)的求法
(1)幾何法:設(shè)圓的半徑為r,弦心距為d,弦長(zhǎng)為l,則2=r2-d2.
(2)代數(shù)法:設(shè)直線與圓相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),解方程組消y后得關(guān)于x的一元二次方程,從而求得x1+x2,x1x2,則弦長(zhǎng)為
|AB|=(k為直線斜率).
失誤與防范
1. 求圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題,注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題,即用圓心與弦中點(diǎn)連線與弦垂直的性質(zhì),可以用勾股定理或斜率之積為-1列方程來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算.
2. 過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條;過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線有 21、且只有兩條,若僅求得一條,除了考慮運(yùn)算過(guò)程是否正確外,還要考慮斜率不存在的情況,以防漏解.
A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時(shí)間:35分鐘,滿分:57分)
一、選擇題(每小題5分,共20分)
1. “a=3”是“直線y=x+4與圓(x-a)2+(y-3)2=8相切”的 ( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 A
解析 若直線y=x+4與圓(x-a)2+(y-3)2=8相切,則有=2,即|a+1|=4,所以a=3或-5.但當(dāng)a=3時(shí),直線y=x+4與圓(x-a)2+(y-3)2=8一定相切,故“a=3” 22、是“直線y=x+4與圓(x-a)2+(y-3)2=8相切”的充分不必要條件.
2. (xx·重慶)對(duì)任意的實(shí)數(shù)k,直線y=kx+1與圓x2+y2=2的位置關(guān)系一定是 ( )
A.相離 B.相切
C.相交但直線不過(guò)圓心 D.相交且直線過(guò)圓心
答案 C
解析 ∵x2+y2=2的圓心(0,0)到直線y=kx+1的距離
d==≤1,
又∵r=,∴0 23、斜角為60°的直線方程為x-y=0,圓x2+(y-2)2=4的圓心(0,2)到直線的距離為d==1,因此弦長(zhǎng)為2=2=2.
4. 直線y=kx+3與圓(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N兩點(diǎn),若|MN|≥2,則k的取值范圍是 ( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 如圖,若|MN|=2,則由圓與直線的位置關(guān)系可知圓心到
直線的距離滿足d2=22-()2=1.
∵直線方程為y=kx+3,
∴d==1,
解得k=±.
若|MN|≥2,則-≤k≤.
二、填空題(每小題5分,共15分)
5. 設(shè)直線ax-y 24、+3=0與圓(x-1)2+(y-2)2=4相交于A、B兩點(diǎn),且弦AB的長(zhǎng)為2,則a=________.
答案 0
解析 d=,由已知條件d2+3=4,
即d=1,=1,解得a=0.
6. 若圓x2+y2=4與圓x2+y2+2ay-6=0 (a>0)的公共弦長(zhǎng)為2,則a=________.
答案 1
解析 方程x2+y2+2ay-6=0與x2+y2=4.
相減得2ay=2,則y=.由已知條件=,
即a=1.
7. (xx·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),則k的 25、最大值是________.
答案
解析 圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+y2=1,圓心為(4,0).
由題意知(4,0)到kx-y-2=0的距離應(yīng)不大于2,
即≤2.整理,得3k2-4k≤0.解得0≤k≤.
故k的最大值是.
三、解答題(共22分)
8. (10分)求過(guò)點(diǎn)P(4,-1)且與圓C:x2+y2+2x-6y+5=0切于點(diǎn)M(1,2)的圓的方程.
解 設(shè)所求圓的圓心為A(m,n),半徑為r,
則A,M,C三點(diǎn)共線,且有|MA|=|AP|=r,
因?yàn)閳AC:x2+y2+2x-6y+5=0的圓心為C(-1,3),
則,
解得m=3,n=1,r=,
所以所求圓的方程為 26、(x-3)2+(y-1)2=5.
9. (12分)已知點(diǎn)A(1,a),圓x2+y2=4.
(1)若過(guò)點(diǎn)A的圓的切線只有一條,求a的值及切線方程;
(2)若過(guò)點(diǎn)A且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線與圓相切,求a的值及切線方程.
解 (1)由于過(guò)點(diǎn)A的圓的切線只有一條,則點(diǎn)A在圓上,故12+a2=4,∴a=±.
當(dāng)a=時(shí),A(1,),切線方程為x+y-4=0;
當(dāng)a=-時(shí),A(1,-),切線方程為x-y-4=0,
∴a=時(shí),切線方程為x+y-4=0,
a=-時(shí),切線方程為x-y-4=0.
(2)設(shè)直線方程為x+y=b,由于直線過(guò)點(diǎn)A,∴1+a=b,
∴直線方程為x+y=1+a,即x+ 27、y-a-1=0.
又直線與圓相切,∴d==2,∴a=±2-1.
∴切線方程為x+y+2=0或x+y-2=0.
B組 專項(xiàng)能力提升
(時(shí)間:25分鐘,滿分:43分)
一、選擇題(每小題5分,共15分)
1. (xx·天津)設(shè)m,n∈R,若直線(m+1)x+(n+1)y-2=0與圓(x-1)2+(y-1)2=1相切,則m+n的取值范圍是 ( )
A.[1-,1+]
B.(-∞,1-]∪[1+,+∞)
C.[2-2,2+2]
D.(-∞,2-2]∪[2+2,+∞)
答案 D
解析 圓心(1,1)到直線(m+1)x+(n+1)y-2=0的距離為=1 28、,
所以m+n+1=mn≤(m+n)2,
所以m+n≥2+2或m+n≤2-2.
2. (xx·江西)若曲線C1:x2+y2-2x=0與曲線C2:y(y-mx-m)=0有四個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ( )
A.(-,) B.(-,0)∪(0,)
C.[-,] D.(-∞,-)∪(,+∞)
答案 B
解析 C1:(x-1)2+y2=1,
C2:y=0或y=mx+m=m(x+1).
當(dāng)m=0時(shí),C2:y=0,此時(shí)C1與C2顯然只有兩個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)m≠0時(shí),要滿足題意,需圓(x-1)2+y2=1與直線y=m(x+1) 29、有兩交點(diǎn),當(dāng)圓與直線相切時(shí),m=±,即直線處于兩切線之間時(shí)滿足題意,則- 30、+(1-x)2=x2的兩個(gè)根,
整理得x2-10x+17=0,∴a+b=10,ab=17.
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,
∴|C1C2|===8.
二、填空題(每小題5分,共15分)
4. 若過(guò)點(diǎn)A(a,a)可作圓x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的兩條切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____________.
答案 (-∞,-3)∪
解析 圓方程可化為(x-a)2+y2=3-2a,
由已知可得,解得a<-3或1
31、_________.
答案 (0,)
解析 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+y2=9,令x=0得圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(0,±),如圖,直線kAM=.若過(guò)定點(diǎn)M(-1,0)且斜率為k的直線與圓x2+4x+y2-5=0在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn),則k的取值范圍是0 32、直線l1:x+2y+7=0相切.過(guò)
點(diǎn)B(-2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M,N兩點(diǎn),Q是MN的中點(diǎn).
(1)求圓A的方程;
(2)當(dāng)|MN|=2時(shí),求直線l的方程.
解 (1)設(shè)圓A的半徑為R,
由于圓A與直線l1:x+2y+7=0相切,
∴R==2.
∴圓A的方程為(x+1)2+(y-2)2=20.
(2)①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),易知x=-2符合題意;
②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x+2),
即kx-y+2k=0.
連接AQ,則AQ⊥MN.
∵|MN|=2,
∴|AQ|==1,
則由|AQ|==1,得k=,
∴直線l:3x-4y+6=0.
故直線l的方程為x=-2或3x-4y+6=0.
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