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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第06講 函數(shù)與方程教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．結(jié)合二次函數(shù)的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系； 2．根據(jù)具體函數(shù)的圖像，能夠借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。 二．命題走向 函數(shù)與方程的理論是高中新課標(biāo)教材中新增的知識(shí)點(diǎn)，特別是“二分法”求方程的近似解也一定會(huì)是高考的考點(diǎn)。從近幾年高考的形勢(shì)來看，十分注重對(duì)三個(gè)“二次”（即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同時(shí)也研究了它的許多重要的結(jié)論，并付諸應(yīng)用。高考試題中有近一半的試題與這三個(gè)

2、“二次”問題有關(guān)。 預(yù)計(jì)xx年高考對(duì)本講的要求是：以二分法為重點(diǎn)、以二次函數(shù)為載體、以考察函數(shù)與方程的關(guān)系為目標(biāo)來考察學(xué)生的能力。 （1）題型可為選擇、填空和解答； （2）高考試題中可能出現(xiàn)復(fù)合了函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)零點(diǎn)的綜合題，同時(shí)考察函數(shù)方程的思想。 三．要點(diǎn)精講 1．方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) （1）函數(shù)零點(diǎn) 概念：對(duì)于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。 函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)。 二次函數(shù)的零點(diǎn)： １）△＞０，方程有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

3、２）△＝０，方程有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)； ３）△＜０，方程無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)。 零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。既存在，使得，這個(gè)也就是方程的根。 2.二分法 二分法及步驟： 對(duì)于在區(qū)間，上連續(xù)不斷，且滿足·的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法． 給定精度，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如下： （1）確定區(qū)間，，驗(yàn)證·，給定精度； （2）求區(qū)間，的

4、中點(diǎn)； （3）計(jì)算： ①若=，則就是函數(shù)的零點(diǎn)； ②若·<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）； ③若·<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）； （4）判斷是否達(dá)到精度； 即若，則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值（或）；否則重復(fù)步驟2~4。 注：函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì) 從“數(shù)”的角度看：即是使的實(shí)數(shù)； 從“形”的角度看：即是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)； 若函數(shù)的圖象在處與軸相切，則零點(diǎn)通常稱為不變號(hào)零點(diǎn)； 若函數(shù)的圖象在處與軸相交，則零點(diǎn)通常稱為變號(hào)零點(diǎn)。 注：用二分法求函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)：二分法的條件·表明用二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)都是指變號(hào)零點(diǎn)。 3．二次函數(shù)的基本性質(zhì) （1）二次函數(shù)的三種表示法：y=ax2+bx+c；y=

5、a(x－x1)(x－x2)；y=a(x－x0)2+n。 （2）當(dāng)a>0，f(x)在區(qū)間［p，q］上的最大值M，最小值m，令x0= (p+q)。 若－

6、q)內(nèi)只有一根f(p)·f(q)<0，或f(p)=0(檢驗(yàn))或f(q)=0(檢驗(yàn))檢驗(yàn)另一根若在(p，q)內(nèi)成立。 四．典例解析 題型1：方程的根與函數(shù)零點(diǎn) 例1．（1）方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為（ ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞) （2）設(shè)a為常數(shù)，試討論方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)。 解析： （1）在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖)。它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，顯然在區(qū)間(1，3)內(nèi)，由此可排除A，D至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了。

7、實(shí)際上這是要比較與2的大小。當(dāng)x=2時(shí)，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，從而判定∈(2，3)，故本題應(yīng)選C。 （2）原方程等價(jià)于 即 構(gòu)造函數(shù)和，作出它們的圖像，易知平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)情況可得： ①當(dāng)或時(shí)，原方程有一解； ②當(dāng)時(shí)，原方程有兩解； ③當(dāng)或時(shí)，原方程無解。 點(diǎn)評(píng)：圖象法求函數(shù)零點(diǎn)，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間。數(shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫。不僅要通過圖象直觀估計(jì)，而且還要計(jì)算的鄰近兩個(gè)函數(shù)值，通過比較其大小進(jìn)行判斷。 例2．（xx廣東19）設(shè)函數(shù)在上滿足，，且在閉區(qū)間［0，7

8、］上，只有。 （Ⅰ）試判斷函數(shù)的奇偶性； （Ⅱ）試求方程=0在閉區(qū)間［－xx，xx］上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。 解析：由f(2－x)=f(2+x),f(7－x)=f(7+x)得函數(shù)的對(duì)稱軸為, 從而知函數(shù)不是奇函數(shù), 由 ,從而知函數(shù)的周期為 又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù); (II)由 (III) 又 故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有有兩個(gè)解,從而可知函數(shù)在[0,xx]上有402個(gè)解,在[－xx.0]上有400個(gè)解,所以函數(shù)在[－xx,xx]上有802個(gè)解。 點(diǎn)評(píng)：解題過程注重了函數(shù)的數(shù)字特征“”，即函數(shù)的零點(diǎn)，也就是方程的根。 題型2：零點(diǎn)存在性定理

9、 例3．（xx廣東21）設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)為整數(shù)。 （1）當(dāng)為何值時(shí)，； （2）定理：若函數(shù)在上連續(xù)，且與異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)，使得 試用上述定理證明：當(dāng)整數(shù)時(shí)，方程在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根。 解析：（1）函數(shù)f(x)=x－ln(x+m),x∈(－m,+∞)連續(xù)，且 當(dāng)x∈(－m,1－m)時(shí),f ’（x）<0,f(x)為減函數(shù),f(x)>f(1－m) 當(dāng)x∈(1－m, +∞)時(shí),f ’（x）>0,f(x)為增函數(shù),f(x)>f(1－m) 根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f(1－m)=1－m為極小值，而且 對(duì)x∈(－m, +∞)都有f(x)≥f(1－m)=1－m 故當(dāng)整數(shù)m≤1時(shí)，f(x) ≥

10、1－m≥0 (2)證明：由（I）知，當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，f(1－m)=1-m<0, 函數(shù)f(x)=x－ln(x+m),在 上為連續(xù)減函數(shù). 由所給定理知，存在唯一的 而當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)， 類似地，當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與異號(hào)，由所給定理知，存在唯一的 故當(dāng)m>1時(shí)，方程f(x)=0在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根。 點(diǎn)評(píng)：本題以信息給予的形式考察零點(diǎn)的存在性定理。解決該題的解題技巧主要在區(qū)間的放縮和不等式的應(yīng)用上。 例4．若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說法正確的是（ ） A．若，不存在實(shí)數(shù)使得；

11、B．若，存在且只存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得； C．若，有可能存在實(shí)數(shù)使得； D．若，有可能不存在實(shí)數(shù)使得； 解析：由零點(diǎn)存在性定理可知選項(xiàng)D不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，可通過反例“在區(qū)間上滿足，但其存在三個(gè)解”推翻；同時(shí)選項(xiàng)A可通過反例“在區(qū)間上滿足，但其存在兩個(gè)解”；選項(xiàng)D正確，見實(shí)例“在區(qū)間上滿足，但其不存在實(shí)數(shù)解”。 點(diǎn)評(píng)：該問題詳細(xì)介紹了零點(diǎn)存在性定理的理論基礎(chǔ)。 題型3：二分法的概念 例5．關(guān)于“二分法”求方程的近似解，說法正確的是（） A．“二分法”求方程的近似解一定可將在[a,b]內(nèi)的所有零點(diǎn)得到； B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在[a,b]內(nèi)的零點(diǎn)； C．應(yīng)用“

12、二分法”求方程的近似解，在[a,b]內(nèi)有可能無零點(diǎn)； D．“二分法”求方程的近似解可能得到在[a,b]內(nèi)的精確解； 解析：如果函數(shù)在某區(qū)間滿足二分法題設(shè)，且在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)及以上的實(shí)根，二分法只可能求出其中的一個(gè)，只要限定了近似解的范圍就可以得到函數(shù)的近似解，二分法的實(shí)施滿足零點(diǎn)存在性定理，在區(qū)間內(nèi)一定存在零點(diǎn)，甚至有可能得到函數(shù)的精確零點(diǎn)。 點(diǎn)評(píng)：該題深入解析了二分法的思想方法。 例6．方程在[0，1]內(nèi)的近似解，用“二分法”計(jì)算到達(dá)到精確度要求。那么所取誤差限是（ ） A．0.05 B．0.005 C．0.0005 D．0.00005

13、 解析：由四舍五入的原則知道，當(dāng)時(shí)，精度達(dá)到。此時(shí)差限是0.0005，選項(xiàng)為C。 點(diǎn)評(píng)：該題考察了差限的定義，以及它對(duì)精度的影響。 題型4：應(yīng)用“二分法”求函數(shù)的零點(diǎn)和方程的近似解 例7．借助計(jì)算器，用二分法求出在區(qū)間（1，2）內(nèi)的近似解（精確到0.1）。 解析：原方程即。 令， 用計(jì)算器做出如下對(duì)應(yīng)值表 x －2 －1 0 1 2 f(x) 2.5820 3.0530 27918 1.0794 －4.6974 觀察上表，可知零點(diǎn)在（1，2）內(nèi) 取區(qū)間中點(diǎn)=1.5，且，從而，可知零點(diǎn)在（1，1.5）內(nèi)； 再取區(qū)間中點(diǎn)=1.25，且，從而，可知零點(diǎn)在（1

14、.25，1.5）內(nèi)； 同理取區(qū)間中點(diǎn)=1.375，且，從而，可知零點(diǎn)在（1.25，1.375）內(nèi)； 由于區(qū)間（1.25，1.375）內(nèi)任一值精確到0.1后都是1.3。故結(jié)果是1.3。 點(diǎn)評(píng)：該題系統(tǒng)的講解了二分法求方程近似解的過程，通過本題學(xué)會(huì)借助精度終止二分法的過程。 例8．借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程的近似解（精確到）。 分析：本例除借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)確定方程解所在的大致區(qū)間和解的個(gè)數(shù)外，你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個(gè)數(shù)？ 略解：圖象在閉區(qū)間，上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，在，上至多有一個(gè)零點(diǎn)。 點(diǎn)評(píng)：①第一步確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間，，可利用函數(shù)性質(zhì)，也可借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算

15、器，但盡量取端點(diǎn)為整數(shù)的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長度，通常可確定一個(gè)長度為1的區(qū)間； ②建議列表樣式如下： 零點(diǎn)所在區(qū)間 中點(diǎn)函數(shù)值 區(qū)間長度 [1，2] >0 1 [1，1.5] <0 0.5 [1.25，1.5] <0 0.25 如此列表的優(yōu)勢(shì)：計(jì)算步數(shù)明確，區(qū)間長度小于精度時(shí)，即為計(jì)算的最后一步。 題型5：一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點(diǎn) 例9．　設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足. 當(dāng)時(shí)，證明。 證明：由題意可知， , ∴ , ∴ 當(dāng)時(shí)，。 又, ∴ , 綜上可知，所給問題獲證。 點(diǎn)評(píng)：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的

16、關(guān)系，可以寫出函數(shù)的表達(dá)式，從而得到函數(shù)的表達(dá)式。 例10．已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和. （1）如果，設(shè)函數(shù)的對(duì)稱軸為，求證：； （2）如果，，求的取值范圍. 解析：設(shè)，則的二根為和。 （1）由及，可得 ，即， 即 兩式相加得，所以，； （2）由, 可得 。 又，所以同號(hào)。 ∴ ，等價(jià)于 或, 即 或 解之得 或。 點(diǎn)評(píng)：條件實(shí)際上給出了的兩個(gè)實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價(jià)轉(zhuǎn)化。 題型6：一元二次函數(shù)與一元二次不等式 例11．設(shè)，若，，, 試證明：對(duì)于任意，有。 解析：∵ , ∴ , ∴ . ∴ 當(dāng)時(shí)，

17、當(dāng)時(shí)， 綜上，問題獲證。 點(diǎn)評(píng)：本題中，所給條件并不足以確定參數(shù)的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是確定值，而是與條件相對(duì)應(yīng)的“取值范圍”，因此，我們可以用來表示。 例12．已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，求證：當(dāng)時(shí)，有 解析：由題意知：， ∴ ， ∴ 。 由時(shí)，有，可得 。 ∴ , 。 （1）若，則在上單調(diào)，故當(dāng)時(shí)， ∴ 此時(shí)問題獲證. （2）若，則當(dāng)時(shí)， 又， ∴ 此時(shí)問題獲證。 綜上可知：當(dāng)時(shí)，有。 點(diǎn)評(píng)：研究的性質(zhì)，最好能夠得出其解析式，從這個(gè)意義上說，應(yīng)該盡量用已知條件來表達(dá)參數(shù). 確定三個(gè)參數(shù)，只需三個(gè)獨(dú)立條件，本題可以考

18、慮，，，這樣做的好處有兩個(gè)：一是的表達(dá)較為簡潔，二是由于正好是所給條件的區(qū)間端點(diǎn)和中點(diǎn)，這樣做能夠較好地利用條件來達(dá)到控制二次函數(shù)范圍的目的。 要考慮在區(qū)間上函數(shù)值的取值范圍，只需考慮其最大值，也即考慮在區(qū)間端點(diǎn)和頂點(diǎn)處的函數(shù)值。 題型7：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì) 例13．（1996上海，文、理8）在下列圖象中，二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=（）x的圖象只可能是（ ） 解析一：由指數(shù)函數(shù)圖象可以看出0<<1.拋物線方程是y=a（x+）2－，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－，－），又由0<<1，可得－<－<0.觀察選擇支，可選A。 解析二：求y=ax2+bx與x軸的交點(diǎn)，令ax2+bx=

19、0，解得x=0或x=－，而－1<－<0.故選A。 點(diǎn)評(píng)：本題雖小，但一定要細(xì)致觀察圖象，注意細(xì)微之處，獲得解題靈感。 例14．（xx全國高考題）設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)=x2+|x－a|+1,x∈R. （1）討論f(x)的奇偶性 （2）求f(x)的最小值. 解：（1）顯然a=0時(shí)，f(x)為偶函數(shù)， 當(dāng)a≠0時(shí)，f(a)=a2+1, f(－a)=a2+2|a|+1 f(a)≠f(－a), f(a)+f(－a)≠0 ∴ 此時(shí)f(x)為非奇非偶函數(shù). （2）首先應(yīng)先去掉絕對(duì)值，再進(jìn)行討論. ①當(dāng)x≤a時(shí)，. 若,則f(x)在區(qū)間（-∞，a]上單調(diào)遞減， ∴ f(x)的最小

20、值為f(a)=a2+1.(如圖(I)) 若，則f(x)在區(qū)間（-∞，a]上的最小值為（如圖II). ②當(dāng)x≥a時(shí)，， 若，則f(x)在[a,+∞]上的最小值為（如圖III）。 若，則f(x)在[a,+∞]上單調(diào)遞增。 則f(x)在[a,+∞]上的最小值為f(a)=a2+1.(如圖IV)。 綜上，當(dāng)時(shí)，f(x)最小值為。 當(dāng)時(shí)，f(x)最小值為a2+1。 當(dāng)時(shí)，f(x)最小值為。 點(diǎn)評(píng)：該題考察到函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考察了分類討論的思想。 題型8：二次函數(shù)的綜合問題 例15．（xx浙江文20）已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且。

21、(Ⅰ)求函數(shù)的解析式； (Ⅱ)解不等式； (Ⅲ)若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 解析：(Ⅰ)設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則 ∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上 ∴ (Ⅱ)由 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式無解。 當(dāng)時(shí)，，解得。 因此，原不等式的解集為。 （Ⅲ） ① ② ?。? ⅱ） 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)圖象的對(duì)稱、二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力。 例16．已知函數(shù)。 （1）將的圖象向右平移兩個(gè)單位，得到函數(shù)，求函數(shù)的解析式； （2）函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求函數(shù)的解析式； （3）設(shè)，已知

22、的最小值是且，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 解析：(1) (2)設(shè)的圖像上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，由點(diǎn)Q在的圖像上，所以 ， 于是 即 （3）。 設(shè)，則。 問題轉(zhuǎn)化為：對(duì)恒成立. 即 對(duì)恒成立. （*） 故必有.（否則，若，則關(guān)于的二次函數(shù)開口向下，當(dāng)充分大時(shí)，必有；而當(dāng)時(shí)，顯然不能保證（*）成立.），此時(shí)，由于二次函數(shù)的對(duì)稱軸，所以，問題等價(jià)于，即， 解之得：。 此時(shí)，，故在取得最小值滿足條件。 點(diǎn)評(píng)：緊扣二次函數(shù)的頂點(diǎn)式對(duì)稱軸、最值、判別式顯合力。 五．思維總結(jié) 1．函數(shù)零點(diǎn)的求法： ①（代數(shù)

23、法）求方程的實(shí)數(shù)根； ②（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)。 2．學(xué)習(xí)二次函數(shù)，可以從兩個(gè)方面入手：一是解析式，二是圖像特征. 從解析式出發(fā)，可以進(jìn)行純粹的代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個(gè)人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合，這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法. 本文將從這兩個(gè)方面研究涉及二次函數(shù)的一些綜合問題。 由于二次函數(shù)的解析式簡捷明了，易于變形（一般式、頂點(diǎn)式、零點(diǎn)式等），所以，在解決二次函數(shù)的問題時(shí)，常常借助其解析式，通過純代數(shù)推理，進(jìn)而導(dǎo)出二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。 （1）二次函數(shù)的一般式中有三個(gè)參數(shù). 解題的關(guān)鍵在于：通過三個(gè)獨(dú)立條件“確定”這三個(gè)參數(shù)。 （2）數(shù)形結(jié)合：二次函數(shù)的圖像為拋物線，具有許多優(yōu)美的性質(zhì)，如對(duì)稱性、單調(diào)性、凹凸性等。結(jié)合這些圖像特征解決有關(guān)二次函數(shù)的問題，可以化難為易，形象直觀。因?yàn)槎魏瘮?shù)在區(qū)間和區(qū)間上分別單調(diào)，所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值必在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得；函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值必在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得。