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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試試題 理 本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，其中第II卷第22題～第24題為選考題，其它題為必考題．考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回． 第I卷 一．選擇題:（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） （1）已知集合，，則 （ ） （A） （B） （C） （D） （2）設(shè)復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則=（ ） （A） （B） （C） （D） （3）已知

2、 ，且，則向量與向量的夾角為（ ） （A） （B） （C） （D） （4）已知中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為,若，，則的面積為（ ） （A） （B）1 （C） （D）2 (5)已知，，則函數(shù) 為增函數(shù)的概率是（ ） （A） （B） （C） （D） （6）閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序. 若輸出的S 為 ，則判斷框中填寫的內(nèi)容可以是( ) （A） （B） （C） （D） （7）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗

3、線畫出的是某多 面體的三視圖，則該多面體的體積為（ ） （A） （B） （C） （D） （8）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，若，則（ ） （A） （B） （C） （D） （9）對(duì)定義在上，并且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)稱為函數(shù)，① 對(duì)任意的，恒有；② 當(dāng)時(shí)，總有成立，則下列函數(shù)不是函數(shù)的是（ ） （A） （B） （C） （D） （10）在平面直角坐標(biāo)系中，若滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） （A） （B） （C） （D） （11) 已知雙曲線與函數(shù)的圖象

4、交于點(diǎn)，若函數(shù)在點(diǎn)處的切線過雙曲線左焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率是（ ） （A） （B） （C） （D） （12）若對(duì)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是（ ） （A） （B）1 （C）2 （D） 第II卷 本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題~第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答．第22題~第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答． 二.填空題:（本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在答卷紙的相應(yīng)位置上） （13）函數(shù)()的單調(diào)遞增區(qū)間是__________． （14）的展開式中常

5、數(shù)項(xiàng)為 ． (15) 已知定義在上的偶函數(shù)在單調(diào)遞增，且 ，則不等式的解集是 ． （16）同底的兩個(gè)正三棱錐內(nèi)接于同一個(gè)球．已知兩個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，球的半徑為R．設(shè)兩個(gè)正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角分別為、，則的值是 ． 三.解答題：(本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) （17）(本小題滿分12分) 已知數(shù)列中，，其前項(xiàng)的和為，且滿足. (Ⅰ) 求證：數(shù)列是等差數(shù)列； (Ⅱ) 證明：當(dāng)時(shí)，. （18）(本小題滿分12分) 如圖，在四

6、棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，點(diǎn)分別為為AB和PD中點(diǎn). (Ⅰ)求證：直線AF平面PEC ； (Ⅱ)求PC與平面PAB所成角的正弦值. （19）(本小題滿分12分) 某校甲、乙兩個(gè)班級(jí)各有5名編號(hào)為1，2，3，4，5的學(xué)生進(jìn)行投籃訓(xùn)練，每人投10次，投中的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表： 學(xué)生 1號(hào) 2號(hào) 3號(hào) 4號(hào) 5號(hào) 甲班 6 5 7 9 8 乙班 4 8 9 7 7 (Ⅰ)從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看，甲乙兩個(gè)班哪個(gè)班成績(jī)更穩(wěn)定（用數(shù)據(jù)說明）？ (Ⅱ) 若把上表數(shù)據(jù)作為學(xué)生投

7、籃命中率，規(guī)定兩個(gè)班級(jí)的1號(hào)和2號(hào)同學(xué)分別代表自己的班級(jí)參加比賽，每人投籃一次，將甲、乙兩個(gè)班兩名同學(xué)投中的次數(shù)之和分別記作和，試求和的分布列和數(shù)學(xué)期望. （20） （本小題滿分12分） 已知橢圓:的上頂點(diǎn)為，且離心率為，. (Ⅰ) 求橢圓的方程； （Ⅱ）證明：過橢圓:上一點(diǎn)的切線方程為； （Ⅲ）以圓上一點(diǎn)向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為,當(dāng)直線分別與軸、軸交于、兩點(diǎn)時(shí)，求的最小值. （21）（本小題滿分12分） 若定義在上的函數(shù)滿足， ， （Ⅰ）求函數(shù)解析式； （Ⅱ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）若、、滿足，則稱

8、比更接近.當(dāng)且時(shí)，試比較和哪個(gè)更接近，并說明理由。 C B D A O 請(qǐng)考生在22，23，24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑． (22)（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講 如圖所示，為圓的直徑，，為 圓的切線，，為切點(diǎn). （Ⅰ）求證： ； （Ⅱ）若圓的半徑為2，求的值. (23)（本小題滿分10分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)） （Ⅰ）以原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系

9、，求圓的極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）已知，圓上任意一點(diǎn)，求面積的最大值. (24)（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講 設(shè)函數(shù)． （Ⅰ）求不等式的解集； （Ⅱ）若，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 201５年大連市高三一模測(cè)試 數(shù)學(xué)（理科）參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 說明： 一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則． 二、對(duì)解答題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解

10、答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分． 三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)． 四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分． 一．選擇題 （1）C；（2）A；（3）B；（4）C；(5)B；（6）C；（7）D；（8）B；（9）D；（10）D；（11) A； （12）D． 二.填空題 （13）；（14）；(15) ；（16） . 三.解答題 （17）解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，， ，從而構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列。6分 （Ⅱ）由（1）可知，， 當(dāng)時(shí)， 從而 （18）解：(Ⅰ)證明：作FM∥CD交PC于M. ∵點(diǎn)F為

11、PD中點(diǎn)，∴. ∵，∴， ∴AEMF為平行四邊形，∴AF∥EM， ∵，∴直線AF平面PEC. ……………6分 (Ⅱ)， 如圖所示，建立坐標(biāo)系，則 P(0,0,1),C(0,1,0),E(,0,0), A(，，0)， ∴，. 設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為. ∵，，∴，取，則， ∴平面PAB的一個(gè)法向量為. ∵，∴設(shè)向量∴， ∴PC平面PAB所成角的正弦值為..……………12分 （19）解：解：(Ⅰ)兩個(gè)班數(shù)據(jù)的平均值都為7， 甲班的方差， 乙班的方差， 因?yàn)?，甲班的方差較小，所以甲班的成績(jī)比較穩(wěn)定. (Ⅱ)可能取0,1,2 ，，， 所以分布列為： 0

12、 1 2 P 數(shù)學(xué)期望 可能取0,1,2 ，，， 所以分布列為： 0 1 2 P 數(shù)學(xué)期望 （20）解：(Ⅰ)，， ， 橢圓方程為。 2分 （Ⅱ）法一：橢圓:，當(dāng)時(shí)，， 故， 當(dāng)時(shí)，。 4分 切線方程為， ，。 6分 同理可證，時(shí)，切線方程也為。 當(dāng)時(shí)，切線方程為滿足。 綜上，過橢圓上一點(diǎn)的切線方程為。 7分 解法2. 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，聯(lián)立方程： 可得，化簡(jiǎn)可得： ，① 由題可得：， 4分 化簡(jiǎn)可得：， ①式只有一個(gè)根，記作，，為切點(diǎn)的橫坐標(biāo)， 切點(diǎn)的縱坐標(biāo)

13、，所以，所以， 所以切線方程為：， 化簡(jiǎn)得：。 6分 當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線為，也符合方程， 綜上：在點(diǎn)處的切線方程為。 （其它解法可酌情給分） 7分 （Ⅲ）設(shè)點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，是橢圓的切線，切點(diǎn)，過點(diǎn)的橢圓的切線為，過點(diǎn)的橢圓的切線為。 兩切線都過點(diǎn)，。 切點(diǎn)弦所在直線方程為。 9分 ，， 。 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等， ，的最小值為. 12分 （21）（本小題滿分12分） 解：（Ⅰ），所以，即． 又，所以， 所以． （2）， .……………5分 ， ①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增； .……………6分 ②當(dāng)時(shí)，由得， ∴

14、時(shí)，， 單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增． 綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為． .……………8分 （3）（Ⅲ）解：設(shè)， ，在上為減函數(shù)，又， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，. ，， 在上為增函數(shù)，又， 時(shí)，，在上為增函數(shù)， . ①當(dāng)時(shí)，， 設(shè)，則，在上為減函數(shù)， ， ，，，比更接近. ②當(dāng)時(shí)，， 設(shè)，則，， 在時(shí)為減函數(shù)，， 在時(shí)為減函數(shù)，， ，比更接近. 綜上：在時(shí)，比更接近. 12分 (22) 解： (1)連接是圓的兩條切線，，,又為圓的直徑，，,,即得證， 5分 (2),,∽， 10分 (23)解：（1）圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)） 所以普通方程為---------------2分 圓的極坐標(biāo)方程：---5分 （2）點(diǎn)到直線的距離為-------6分 -------------7分 的面積| ------9分 所以面積的最大值為------------10分 (24) 解：（1），-----2分 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 綜上所述 ．----------------------5分 （2）易得，若，恒成立， 則只需， 綜上所述．------------------------------10分