15、y1)，B(x2，y2)，則A、B兩點的坐標(biāo)滿足方程組
化簡得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0，
則x1＋x2＝，x1x2＝.
因為直線AB的斜率為1，所以|AB|＝|x2－x1|，
即＝|x2－x1|，
則＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝－＝，
解得b＝.
步驟表述要規(guī)范
典例：(12分)設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2.點P(a，b)滿足|PF2|＝|F1F2|.
(1)求橢圓的離心率e.
(2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點．若直線PF2與圓(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N兩點，且|MN|＝|AB|，求橢圓的方程
16、．
審題視角 第(1)問由|PF2|＝|F1F2|建立關(guān)于a、c的方程；第(2)問可以求出點A、B的坐標(biāo)或利用根與系數(shù)的關(guān)系求|AB|均可，再利用圓的知識求解．
規(guī)范解答
解 (1)設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)，因為|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c.整理得2()2＋－1＝0，得＝－1(舍)，或＝.所以e＝.[4分]
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得橢圓方程為3x2＋4y2＝12c2，直線PF2的方程為y＝(x－c)．
A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得5x2－8cx＝0.
解得x1＝0，x2＝c.[6分]
得方程組的解
不妨設(shè)A(c，c)，B(
17、0，－c)，
所以|AB|＝＝c.[8分]
于是|MN|＝|AB|＝2c.
圓心(－1，)到直線PF2的距離
d＝＝.[10分]
因為d2＋()2＝42，
所以(2＋c)2＋c2＝16.
整理得7c2＋12c－52＝0，得c＝－(舍)，或c＝2.
所以橢圓方程為＋＝1.[12分]
溫馨提醒 (1)解決與弦長有關(guān)的橢圓方程問題，首先根據(jù)題設(shè)條件設(shè)出所求的橢圓方程，再由直線與橢圓聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式求出待定系數(shù)．
(2)用待定系數(shù)法求橢圓方程時，可盡量減少方程中的待定系數(shù)(本題只有一個c)，這樣可避免繁瑣的運算．
方法與技巧
1． 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，應(yīng)從
18、“定形”“定式”“定量”三個方面去思考．“定形”就是指橢圓的對稱中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸的情況下，能否確定橢圓的焦點在哪個坐標(biāo)軸上．“定式”就是根據(jù)“形”設(shè)出橢圓方程的具體形式，“定量”就是指利用定義和已知條件確定方程中的系數(shù)a，b或m，n.
2． 討論橢圓的幾何性質(zhì)時，離心率問題是重點，求離心率的常用方法有以下兩種：
(1)求得a，c的值，直接代入公式e＝求得；
(2)列出關(guān)于a，b，c的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)b2＝a2－c2，消去b，轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解．
失誤與防范
1． 判斷兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的方法為比較標(biāo)準(zhǔn)形式中x2與y2的分母大?。?
2． 注意橢圓的
19、范圍，在設(shè)橢圓＋＝1 (a>b>0)上點的坐標(biāo)為P(x，y)時，則|x|≤a，這往往在求與點P有關(guān)的最值問題中特別有用，也是容易被忽略而導(dǎo)致求最值錯誤的原因．
3． 注意橢圓上點的坐標(biāo)范圍，特別是把橢圓上某一點坐標(biāo)視為某一函數(shù)問題，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值時有重要意義．
A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時間：35分鐘，滿分：57分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1． (xx·江西)橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別是A、B，左、右焦點分別是F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為 ( )
A. B. C.
20、 D.－2
答案 B
解析 由題意知|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c，
且三者成等比數(shù)列，則|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，
即4c2＝a2－c2，a2＝5c2，
所以e2＝，所以e＝.
2． 已知橢圓C的短軸長為6，離心率為，則橢圓C的焦點F到長軸的一個端點的距離為
( )
A．9 B．1
C．1或9 D．以上都不對
答案 C
解析 ，解得a＝5，b＝3，c＝4.
∴橢圓C的焦點F到長軸的一個端點的距離為a＋c＝9或a－c＝1.
3． 已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為，且它的長軸長等于圓C：x2＋y2－2
21、x－15＝0的半徑，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
答案 A
解析 由 x2＋y2－2x－15＝0，知r＝4＝2a?a＝2.
又e＝＝，c＝1，則b2＝a2－c2＝3.
4． 已知橢圓＋y2＝1的左、右焦點分別為F1、F2，點M在該橢圓上，且·＝0，則點M到y(tǒng)軸的距離為 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由題意，得F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)．
設(shè)M(x，y)，則·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝0，
整理得x
22、2＋y2＝3.①
又因為點M在橢圓上，故＋y2＝1，
即y2＝1－.②
將②代入①，得x2＝2，解得x＝±.
故點M到y(tǒng)軸的距離為.
二、填空題(每小題5分，共15分)
5． 已知F1、F2是橢圓C的左、右焦點，點P在橢圓上，且滿足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，則橢圓的離心率為____________．
答案
解析 在三角形PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝，設(shè)|PF2|＝1，則|PF1|＝2，|F2F1|＝，所以離心率e＝＝.
6． 已知橢圓＋＝1的焦點分別是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點，若連接F1，F(xiàn)2，P三點恰好能構(gòu)成直
23、角三角形，則點P到y(tǒng)軸的距離是________．
答案
解析 F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)，∵3<4，
∴∠F1F2P＝90°或∠F2F1P＝90°.
設(shè)P(x,3)，代入橢圓方程得x＝±.
即點P到y(tǒng)軸的距離是.
7. 如圖所示，A，B是橢圓的兩個頂點，C是AB的中點，F(xiàn)為橢圓的
右焦點，OC的延長線交橢圓于點M，且|OF|＝，若MF⊥OA，
則橢圓的方程為__________．
答案 ＋＝1
解析 設(shè)所求的橢圓方程為＋＝1 (a>b>0)，
則A(a,0)，B(0，b)，C，F(xiàn)(，0)．
依題意，得＝，F(xiàn)M的直線方程是x＝，
所以M.
由于O，C，M三點
24、共線，所以＝，
即a2－2＝2，所以a2＝4，b2＝2.
所求方程是＋＝1.
三、解答題(共22分)
8． (10分)已知橢圓的兩焦點為F1(－1,0)、F2(1,0)，P為橢圓上一點，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
(1)求此橢圓的方程；
(2)若點P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面積．
解 (1)依題意得|F1F2|＝2，
又2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，
∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a.∴a＝2，c＝1，b2＝3.
∴所求橢圓的方程為＋＝1.
(2)設(shè)P點坐標(biāo)為(x，y)，∵∠F2F1P＝120°，
∴PF1所在直線
25、的方程為y＝(x＋1)·tan 120°，
即y＝－(x＋1)．
解方程組
并注意到x<0，y>0，可得
∴S△PF1F2＝|F1F2|·＝.
9． (12分)(xx·安徽)如圖，點F1(－c，0)，F(xiàn)2(c,0)分別是橢圓C：＋
＝1(a>b>0)的左、右焦點，過點F1作x軸的垂線交橢圓C的上
半部分于點P，過點F2作直線PF2的垂線交直線x＝于點Q.
(1)如果點Q的坐標(biāo)是(4,4)，求此時橢圓C的方程；
(2)證明：直線PQ與橢圓C只有一個交點．
(1)解 方法一 由條件知，P，故直線PF2的斜率為kPF2＝＝－.
因為PF2⊥F2Q，
所以直線F2Q的方程為y＝
26、x－，故Q.
由題設(shè)知，＝4,2a＝4，解得a＝2，c＝1.
故橢圓方程為＋＝1.
方法二 設(shè)直線x＝與x軸交于點M.
由條件知，P.
因為△PF1F2∽△F2MQ，所以＝，
即＝，解得|MQ|＝2a.
所以解得
故橢圓方程為＋＝1.
(2)證明 直線PQ的方程為＝，
即y＝x＋a.
將上式代入＋＝1得x2＋2cx＋c2＝0，
解得x＝－c，y＝.
所以直線PQ與橢圓C只有一個交點．
B組 專項能力提升
(時間：25分鐘，滿分：43分)
一、選擇題(每小題5分，共15分)
1． (xx·課標(biāo)全國)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦點，P為
27、直線x＝上一點，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為 ( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由題意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°，
∴∠PF2x＝60°.
∴|PF2|＝2×＝3a－2c.
∵|F1F2|＝2c，|F1F2|＝|PF2|，∴3a－2c＝2c，
∴e＝＝.
2． 若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則·
的最大值為 ( )
A．2 B．3 C．6 D．8
答案 C
解析 由橢圓方程得F(－1,0)，設(shè)P
28、(x0，y0)，
則·＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝x＋x0＋y.
∵P為橢圓上一點，∴＋＝1.
∴·＝x＋x0＋3(1－)
＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.
∵－2≤x0≤2，
∴·的最大值在x0＝2時取得，且最大值等于6.
3． 在橢圓＋＝1內(nèi)，通過點M(1,1)，且被這點平分的弦所在的直線方程為 ( )
A．x＋4y－5＝0 B．x－4y－5＝0
C．4x＋y－5＝0 D．4x－y－5＝0
答案 A
解析 設(shè)直線與橢圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則
由①－②，得
＋＝0，
因所以＝－＝－，
所以所求直線方
29、程為y－1＝－(x－1)，
即x＋4y－5＝0.
二、填空題(每小題5分，共15分)
4． 設(shè)F1、F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標(biāo)為(6,4)，則|PM|＋|PF1|的最大值為________．
答案 15
解析 |PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，易知M點在橢圓外，連接MF2并延長交橢圓于P點，此時|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值為10＋|MF2|＝10＋＝15.
5. 如圖，已知點P是以F1、F2為焦點的橢圓＋＝1 (a>b>0)上一
30、點，
若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝，則此橢圓的離心率是________．
答案
解析 由題得△PF1F2為直角三角形，設(shè)|PF1|＝m，
∵tan∠PF1F2＝，∴|PF2|＝，|F1F2|＝m，
∴e＝＝＝.
6． 已知橢圓＋＝1 (a>b>0)的離心率等于，其焦點分別為A、B，C為橢圓上異于長軸端點的任意一點，則在△ABC中，的值等于________．
答案 3
解析 在△ABC中，由正弦定理得＝，因為點C在橢圓上，所以由橢圓定義知|CA|＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以＝＝＝3.
三、解答題
7． (13分)已知橢圓＋＝1 (a>b>0)的長軸長為
31、4，離心率為，點P是橢圓上異于頂點的任意一點，過點P作橢圓的切線l，交y軸于點A，直線l′過點P且垂直于l，交y軸于點B.
(1)求橢圓的方程；
(2)試判斷以AB為直徑的圓能否經(jīng)過定點？若能，求出定點坐標(biāo)；若不能，請說明理由．
解 (1)∵2a＝4，＝，∴a＝2，c＝1，b＝.
∴橢圓的方程為＋＝1.
(2)能．設(shè)點P(x0，y0) (x0≠0，y0≠0)，
由題意知直線l的斜率存在．
設(shè)直線l的方程為y－y0＝k(x－x0)，
代入＋＝1，
整理得(3＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－12＝0.
∵x＝x0是方程的兩個相等實根，
∴2x0＝－，解得k＝－.
∴直線l的方程為y－y0＝－(x－x0)．
令x＝0，得點A的坐標(biāo)為.
又∵＋＝1，∴4y＋3x＝12.
∴點A的坐標(biāo)為.
又直線l′的方程為y－y0＝(x－x0)，
令x＝0，得點B的坐標(biāo)為.
∴以AB為直徑的圓的方程為
x·x＋·＝0.
整理，得x2＋y2＋y－1＝0.令y＝0，得x＝±1，
∴以AB為直徑的圓恒過定點(1,0)和(－1,0)．
2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.5橢圓教案 理 新人教A版
