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2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.6雙曲線教案 理 新人教A版

上傳人:xt****7 文檔編號:105200956 上傳時間:2022-06-11 格式:DOC 頁數(shù):16 大?。?07.52KB
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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.6雙曲線教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 1.考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì);2.考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.熟練掌握雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,理解雙曲線的基本量對圖形、性質(zhì)的影響;2.理解數(shù)形結(jié)合思想,掌握解決直線與雙曲線問題的通法. 1. 雙曲線的概念 平面內(nèi)動點(diǎn)P與兩個定點(diǎn)F1、F2(|F1F2|=2c>0)的距離之差的絕對值為常數(shù)2a (2a<2c),則點(diǎn)P的軌跡叫雙曲線.這兩個定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫焦距. 集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F

2、1F2|=2c,其中a、c為常數(shù)且a>0,c>0: (1)當(dāng)ac時,P點(diǎn)不存在. 2. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 -=1 (a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 圖形 性 質(zhì) 范圍 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 對稱性 對稱軸:坐標(biāo)軸 對稱中心:原點(diǎn) 頂點(diǎn) A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 漸近線 y=±x y=±x 離心率 e=,e∈(1,+∞),其中c= 實(shí)虛軸 線段A1A2叫

3、做雙曲線的實(shí)軸,它的長|A1A2|=2a;線段B1B2叫做雙曲線的虛軸,它的長|B1B2|=2b;a叫做雙曲線的半實(shí)軸長,b叫做雙曲線的半虛軸長 a、b、c 的關(guān)系 c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0) [難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源] 1. 雙曲線的定義用代數(shù)式表示為||MF1|-|MF2||=2a,其中2a<|F1F2|,這里要注意兩點(diǎn): (1)距離之差的絕對值. (2)2a<|F1F2|. 這兩點(diǎn)與橢圓的定義有本質(zhì)的不同. 2. 漸近線與離心率 -=1 (a>0,b>0)的一條漸近線的斜率為===.可以看出,雙曲線的漸近線和離心率的實(shí)質(zhì)都表示雙曲線張口的大?。?

4、 1. (xx·天津)已知雙曲線C1:-=1(a>0,b>0)與雙曲線C2:-=1有相同的漸近線,且C1的右焦點(diǎn)為F(,0),則a=________,b=________. 答案 1 2 解析 與雙曲線-=1有共同漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為-=λ, 即-=1. 由題意知c=,則4λ+16λ=5?λ=,則a2=1,b2=4.又a>0,b>0,故a=1,b=2. 2. (xx·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線-=1的離心率為,則m的值為________. 答案 2 解析 ∵c2=m+m2+4,∴e2===5, ∴m2-4m+4=0,∴m=2. 3. (xx·遼寧)已知雙曲

5、線x2-y2=1,點(diǎn)F1,F(xiàn)2為其兩個焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn),若PF1⊥PF2,則|PF1|+|PF2|的值為________. 答案 2 解析 設(shè)P在雙曲線的右支上,|PF1|=2+x,|PF2|=x(x>0),因?yàn)镻F1⊥PF2,所以(x+2)2+x2=(2c)2=8, 所以x=-1,x+2=+1, 所以|PF2|+|PF1|=2. 4. 若雙曲線-=1 (a>0,b>0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長,則該雙曲線的離心率為 (  ) A. B.5 C. D.2 答案 A 解析 焦點(diǎn)(c,0)到漸近線y=x的距

6、離為=b,則由題意知b=2a,又a2+b2=c2,∴5a2=c2, ∴離心率e==. 5. (xx·課標(biāo)全國)等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,C與拋物線y2=16x的準(zhǔn)線交于A,B兩點(diǎn),|AB|=4,則C的實(shí)軸長為 (  ) A. B.2 C.4 D.8 答案 C 解析 設(shè)C:-=1. ∵拋物線y2=16x的準(zhǔn)線為x=-4,聯(lián)立-=1和x=-4得A(-4,),B(-4,-), ∴|AB|=2=4,∴a=2,∴2a=4. ∴C的實(shí)軸長為4. 題型一 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例1 (1)(xx·山東)已知雙曲線-=1 (a>0,

7、b>0)和橢圓+=1有相同的焦點(diǎn),且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍,則雙曲線的方程為________. (2)與雙曲線x2-2y2=2有公共漸近線,且過點(diǎn)M(2,-2)的雙曲線方程為__________. 思維啟迪:設(shè)雙曲線方程為-=1,求雙曲線方程,即求a、b,為此需要關(guān)于a、b的兩個方程,由題意易得關(guān)于a、b的兩個方程;也可根據(jù)雙曲線的定義直接確定a、b、c. 答案 (1)-=1 (2)-=1 解析 (1)橢圓+=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-,0),F(xiàn)2(,0),離心率為e=.由于雙曲線-=1與橢圓+=1有相同的焦點(diǎn),因此a2+b2=7. 又雙曲線的離心率e==,所以=, 所以a=

8、2,b2=c2-a2=3,故雙曲線的方程為-=1. (2)設(shè)與雙曲線-y2=1有公共漸近線的雙曲線方程為-y2=k,將點(diǎn)(2,-2)代入得k=-(-2)2=-2. ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1. 探究提高 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法.具體過程是先定形,再定量,即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,然后再根據(jù)a,b,c,e及漸近線之間的關(guān)系,求出a,b的值.如果已知雙曲線的漸近線方程,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,可利用有公共漸近線的雙曲線方程為-=λ (λ≠0),再由條件求出λ的值即可. 求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程: (1)虛軸長為12,離心率為; (2)焦距為26,且經(jīng)過點(diǎn)M(

9、0,12). 解 (1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 -=1或-=1 (a>0,b>0). 由題意知,2b=12,e==. ∴b=6,c=10,a=8. ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1或-=1. (2)∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)M(0,12),∴M(0,12)為雙曲線的一個頂點(diǎn),故焦點(diǎn)在y軸上,且a=12. 又2c=26,∴c=13.∴b2=c2-a2=25. ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1. 題型二 雙曲線的幾何性質(zhì) 例2 中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=2,橢圓的長半軸長與雙曲線半實(shí)軸長之差為4,離心率之比為3∶7. (1)求這兩曲線方程; (

10、2)若P為這兩曲線的一個交點(diǎn),求cos∠F1PF2的值. 思維啟迪: (1)分別設(shè)出橢圓方程為+=1 (a>b>0),雙曲線方程為-=1 (m>0,n>0). (2)由已知條件分別求出a、b、m、n的值. (3)利用橢圓與雙曲線定義及余弦定理求出cos∠F1PF2. 解 (1)由已知:c=,設(shè)橢圓長、短半軸長分別為a、b,雙曲線半實(shí)、虛軸長分別為m、n, 則, 解得a=7,m=3.∴b=6,n=2. ∴橢圓方程為+=1,雙曲線方程為-=1. (2)不妨設(shè)F1、F2分別為左、右焦點(diǎn),P是第一象限的一個交點(diǎn),則|PF1|+|PF2|=14, |PF1|-|PF2|=6, 所以|

11、PF1|=10,|PF2|=4. 又|F1F2|=2, ∴cos∠F1PF2= ==. 探究提高 在研究雙曲線的性質(zhì)時,半實(shí)軸、半虛軸所構(gòu)成的直角三角形是值得關(guān)注的一個重要內(nèi)容;雙曲線的離心率涉及的也比較多.由于e=是一個比值,故只需根據(jù)條件得到關(guān)于a、b、c的一個關(guān)系式,利用b2=c2-a2消去b,然后變形求e,并且需注意e>1. (1)(xx·大綱全國)已知F1、F2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,|PF1|=2|PF2|,則cos∠F1PF2= (  ) A. B. C. D. (2)(xx·浙江)已知橢圓C1

12、:+=1 (a>b>0)與雙曲線C2:x2-=1有公共的焦點(diǎn),C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A,B兩點(diǎn),若C1恰好將線段AB三等分,則 (  ) A.a(chǎn)2= B.a(chǎn)2=13 C.b2= D.b2=2 答案 (1)C (2)C 解析 (1)由x2-y2=2知,a2=2,b2=2,c2=a2+b2=4, ∴a=,c=2. 又∵|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2|PF2|, ∴|PF1|=4,|PF2|=2. 又∵|F1F2|=2c=4, ∴由余弦定理得cos∠F1PF2= =. (2)由

13、題意知,a2=b2+5,因此橢圓方程為(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0,雙曲線的一條漸近線方程為y=2x,聯(lián)立方程消去y,得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,∴直線截橢圓的弦長d=×2=a,解得a2=,b2=. 題型三 直線與雙曲線的位置關(guān)系 例3 過雙曲線-=1的右焦點(diǎn)F2,傾斜角為30°的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)1為左焦點(diǎn). (1)求|AB|; (2)求△AOB的面積. 思維啟迪:寫出直線方程,然后與雙曲線方程聯(lián)立組成方程組,消去y得關(guān)于x的一元二次方程,利用弦長公式求|AB|;求O到直線的距離,代入面積公式得△AOB的面積. (1)解 由雙曲

14、線的方程得a=,b=, ∴c==3,F(xiàn)1(-3,0),F(xiàn)2(3,0). 直線AB的方程為y=(x-3). 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由 得5x2+6x-27=0. ∴x1+x2=-,x1x2=-. ∴|AB|=|x1-x2| =· =·=. (2)解 直線AB的方程變形為x-3y-3=0. ∴原點(diǎn)O到直線AB的距離為 d==. ∴S△AOB=|AB|·d=××=. 探究提高 雙曲線的綜合問題主要是直線與雙曲線的位置關(guān)系問題.解決這類問題的常用方法是設(shè)出直線方程或雙曲線方程,然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組,消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程,利用

15、根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入的思想解題.設(shè)直線與雙曲線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),直線的斜率為k,則|AB|=|x1-x2|. 已知橢圓C1的方程為+y2=1,雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別是C1的左、右頂點(diǎn),而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn). (1)求雙曲線C2的方程; (2)若直線l:y=kx+與雙曲線C2恒有兩個不同的交點(diǎn)A和B,且·>2(其中O為原點(diǎn)),求k的取值范圍. 解 (1)設(shè)雙曲線C2的方程為-=1 (a>0,b>0), 則a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1, 故C2的方程為-y2=1. (2)將y=kx+代入-y2=1

16、, 得(1-3k2)x2-6kx-9=0. 由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點(diǎn),得 , ∴k2≠且k2<1.① 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=,x1x2=. ∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+) =(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=. 又∵·>2,得x1x2+y1y2>2, ∴>2,即>0,解得

17、由于“判別式”是判斷直線與圓錐曲線是否有公共點(diǎn)的重要方法,在解決直線與圓錐曲線相交的問題時,有時不需要考慮判別式,致使有的考生思維定勢的原因,任何情況下都沒有考慮判別式,導(dǎo)致解題錯誤. 規(guī)范解答 解 設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上,且線段AB的中點(diǎn)為(x0,y0), 若直線l的斜率不存在,顯然不符合題意.[2分] 設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P的直線l的方程為y-1=k(x-1), 即y=kx+1-k.[3分] 由得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0 (2-k2≠0).① [6分] ∴x0==. 由題意,得=1,解得k=2.[8分] 當(dāng)k=2時,方程①成為

18、2x2-4x+3=0. Δ=16-24=-8<0,方程①沒有實(shí)數(shù)解.[11分] ∴不能作一條直線l與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)P(1,1)是線段AB的中點(diǎn).[12分] 溫馨提醒 (1)本題是以雙曲線為背景,探究是否存在符合條件的直線,題目難度不大,思路也很清晰,但結(jié)論卻不一定正確.錯誤原因是忽視對直線與雙曲線是否相交的判斷,從而導(dǎo)致錯誤,因?yàn)樗蟮闹本€是基于假設(shè)存在的情況下所得的. (2)本題屬探索性問題.若存在,可用點(diǎn)差法求出AB的斜率,進(jìn)而求方程;也可以設(shè)斜率k,利用待定系數(shù)法求方程. (3)求得的方程是否符合要求,一定要注意檢驗(yàn). 方法與技巧 1. 與雙曲線-=1 (a

19、>0,b>0)有公共漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為-=t (t≠0). 2. 已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的漸近線方程時,只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中“1”為“0”就得到兩漸近線方程,即方程-=0就是雙曲線-=1 (a>0,b>0)的兩條漸近線方程. 失誤與防范 1. 區(qū)分雙曲線中的a,b,c大小關(guān)系與橢圓中的a,b,c大小關(guān)系,在橢圓中a2=b2+c2,而在雙曲線中c2=a2+b2. 2. 雙曲線的離心率e∈(1,+∞),而橢圓的離心率e∈(0,1). 3. 雙曲線-=1 (a>0,b>0)的漸近線方程是y=±x,-=1 (a>0,b>0)的漸近線方程是y=±x. 4. 若利用弦長公式計(jì)

20、算,在設(shè)直線斜率時要注意說明斜率不存在的情況. 5. 直線與雙曲線交于一點(diǎn)時,不一定相切,例如:當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交于一點(diǎn),但不是相切;反之,當(dāng)直線與雙曲線相切時,直線與雙曲線僅有一個交點(diǎn). A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間:35分鐘,滿分:57分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1. (xx·湖南)已知雙曲線C:-=1的焦距為10,點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上,則C的方程為 (  )                    A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案

21、 A 解析 ∵-=1的焦距為10,∴c=5=.① 又雙曲線漸近線方程為y=±x,且P(2,1)在漸近線上, ∴=1,即a=2b.② 由①②解得a=2,b=,故應(yīng)選A. 2. (xx·福建)已知雙曲線-=1的右焦點(diǎn)為(3,0),則該雙曲線的離心率等于 (  ) A. B. C. D. 答案 C 解析 由雙曲線中a,b,c的關(guān)系c2=a2+b2,得32=a2+5, ∴a2=4.∴e==. 3. 設(shè)橢圓C1的離心率為,焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26,若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于8,則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (  ) A.-=

22、1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案 A 解析 由題意知橢圓C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),設(shè)曲線C2上的一點(diǎn)P,則||PF1|-|PF2||=8. 由雙曲線的定義知:a=4,b=3. 故曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1. 4. (xx·課標(biāo)全國)設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點(diǎn),且與C的一條對稱軸垂直,l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|為C的實(shí)軸長的2倍,則C的離心率為 (  ) A. B. C.2 D.3 答案 B 解析 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0),由于直線l過雙曲線的焦點(diǎn)

23、且與對稱軸垂直,因此直線l的方程為l:x=c或x=-c,代入-=1得y2=b2(-1)=,∴y=±,故|AB|=,依題意=4a,∴=2,∴=e2-1=2,∴e=. 二、填空題(每小題5分,共15分) 5. 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C,過點(diǎn)P(2,)且離心率為2,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________________. 答案?。?或-=1 解析 ∵雙曲線C的離心率為2,∴2=,∴=, ∴可設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1或-=1,把P(2,)代入得,a2=3或a2=,∴所求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1或-=1. 6. 雙曲線mx2+y2=1的虛軸長是實(shí)軸長的2倍,則m=____

24、_______. 答案?。? 解析 由題意知a2=1,b2=-,則a=1,b=. ∴ =2,解得m=-. 7. 已知以雙曲線C的兩個焦點(diǎn)及虛軸的兩個端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中,有一個內(nèi)角為60°,則雙曲線C的離心率為________. 答案  解析 如圖,∠B1F1B2=60°, 則c=b,即c2=3b2, 由c2=3(c2-a2), 得=,則e=. 三、解答題(共22分) 8. (10分)已知橢圓D:+=1與圓M:x2+(y-5)2=9,雙曲線G與橢圓D有相同焦點(diǎn),它的兩條漸近線恰好與圓M相切,求雙曲線G的方程. 解 橢圓D的兩個焦點(diǎn)為F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0), 因

25、而雙曲線中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,且c=5. 設(shè)雙曲線G的方程為-=1 (a>0,b>0), ∴漸近線方程為bx±ay=0且a2+b2=25, 又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r=3. ∴=3,得a=3,b=4, ∴雙曲線G的方程為-=1. 9. (12分)已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過點(diǎn)P(4,-). (1)求雙曲線方程; (2)若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,求證:·=0; (3)求△F1MF2的面積. (1)解 ∵e=,∴可設(shè)雙曲線方程為x2-y2=λ. ∵過點(diǎn)P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6. ∴雙曲線方程為x2-y2

26、=6. (2)證明 方法一 由(1)可知,雙曲線中a=b=, ∴c=2,∴F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0), ∴kMF1=,kMF2=, kMF1·kMF2==-. ∵點(diǎn)(3,m)在雙曲線上,∴9-m2=6,m2=3, 故kMF1·kMF2=-1,∴MF1⊥MF2,∴·=0. 方法二 ∵=(-3-2,-m), =(2-3,-m), ∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2. ∵M(jìn)點(diǎn)在雙曲線上,∴9-m2=6,即m2-3=0, ∴·=0. (3)解 △F1MF2的底|F1F2|=4, 由(2)知m=±. ∴△F1MF2的高h(yuǎn)=|m|=, ∴S△F1MF2=×4

27、×=6. B組 專項(xiàng)能力提升 (時間:25分鐘,滿分:43分) 一、選擇題(每小題5分,共15分) 1. 設(shè)雙曲線的一個焦點(diǎn)為F,虛軸的一個端點(diǎn)為B,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直,那么此雙曲線的離心率為 (  ) A. B. C. D. 答案 D 解析 設(shè)雙曲線方程為-=1(a>0,b>0),如圖所示,雙曲線的一條漸近線方程為y=x,而kBF=-, ∴·(-)=-1,整理得b2=ac. ∴c2-a2-ac=0,兩邊同除以a2,得e2-e-1=0, 解得e=或e=(舍去),故選D. 2. 已知點(diǎn)F是雙曲線-=1

28、(a>0,b>0)的左焦點(diǎn),點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn),過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若△ABE是鈍角三角形,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是 (  ) A.(1,+∞) B.(1,2) C.(1,1+) D.(2,+∞) 答案 D 解析 根據(jù)雙曲線的對稱性,若△ABE是鈍角三角形,則只要0<∠BAE<即可.直線AB:x=-c,代入雙曲線方程得y2=,取點(diǎn)A,則|AF|=,|EF|=a+c,只要|AF|>|EF|就能使∠BAE<,故>a+c,即b2>a2+ac,即c2-ac-2a2>0,即e2-e-2>0,得e>2或e<-

29、1,又e>1,故e>2.故選D. 3. 若點(diǎn)O和點(diǎn)F(-2,0)分別為雙曲線-y2=1 (a>0)的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),則·的取值范圍為 (  ) A.[3-2,+∞) B.[3+2,+∞) C. D. 答案 B 解析 由a2+1=4,得a=,則雙曲線方程為-y2=1. 設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則-y=1,即y=-1. ·=x0(x0+2)+y=x+2x0+-1 =2-,∵x0≥, 故·的取值范圍是[3+2,+∞),故選B. 二、填空題(每小題5分,共15分) 4. (xx·重慶)設(shè)P為直線y=x與雙曲線-=1

30、 (a>0,b>0)左支的交點(diǎn),F(xiàn)1是左焦點(diǎn),PF1垂直于x軸,則雙曲線的離心率e=________. 答案  解析 ∵直線y=x與雙曲線-=1相交, 由消去y得x=, 又PF1垂直于x軸,∴=c,即e==. 5. 設(shè)點(diǎn)F1,F(xiàn)2是雙曲線x2-=1的兩個焦點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn),若3|PF1|=4|PF2|,則△PF1F2的面積為________. 答案 3 解析 據(jù)題意,|PF1|=|PF2|,且|PF1|-|PF2|=2, 解得|PF1|=8,|PF2|=6. 又|F1F2|=4,在△PF1F2中,由余弦定理得, cos∠F1PF2==. 所以sin∠F1PF2==,

31、 所以S△PF1F2=×6×8×=3. 6. 已知雙曲線-=1 (a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P在雙曲線的右支上,且|PF1|=4|PF2|,則此雙曲線的離心率e的最大值為________. 答案  解析 由定義,知|PF1|-|PF2|=2a. 又|PF1|=4|PF2|,∴|PF1|=a,|PF2|=a. 在△PF1F2中,由余弦定理, 得cos∠F1PF2==-e2. 要求e的最大值,即求cos∠F1PF2的最小值, ∴當(dāng)cos∠F1PF2=-1時,得e=, 即e的最大值為. 三、解答題 7. (13分)直線l:y=kx+1與雙曲線C:2x2-

32、y2=1的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B. (1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍; (2)是否存在實(shí)數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由. 解 (1)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程 2x2-y2=1后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.① 依題意,直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn), 故 解得k的取值范圍是-2

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