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2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習單元講座 第34講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系教案 新人教版

上傳人:xt****7 文檔編號:105202037 上傳時間:2022-06-11 格式:DOC 頁數(shù):8 大小:116.02KB
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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習單元講座 第34講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系教案 新人教版 一.課標要求: 1.通過圓錐曲線與方程的學(xué)習,進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想; 2.掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判定及其相關(guān)問題。 二.命題走向 近幾年來直線與圓錐曲線的位置關(guān)系在高考中占據(jù)高考解答題壓軸題的位置,且選擇、填空也有涉及,有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的題目可能會涉及線段中點、弦長等。分析這類問題,往往利用數(shù)形結(jié)合的思想和“設(shè)而不求”的方法,對稱的方法及韋達定理等。 預(yù)測07年高考: 1.會出現(xiàn)1道關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的解答題; 2.與直線、圓錐曲線相結(jié)合的綜合型考題,等軸雙曲

2、線基本不出題,坐標軸平移或平移化簡方程一般不出解答題,大多是以選擇題形式出現(xiàn)。 三.要點精講 1.點M(x0,y0)與圓錐曲線C:f(x,y)=0的位置關(guān)系 2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,從幾何角度可分為三類:無公共點,僅有一個公共點及有兩個相異公共點。 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究方法可通過代數(shù)方法即解方程組的辦法來研究。因為方程組解的個數(shù)與交點的個數(shù)是一樣的。 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為:相交、相切、相離.對于拋物線來說,平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點,但并不是相切;對于雙曲線來說,平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點,但并不相切.這

3、三種位置關(guān)系的判定條件可引導(dǎo)學(xué)生歸納為: 注意:直線與拋物線、雙曲線有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件,但不是充分條件. 3.直線與圓錐曲線相交的弦長公式 設(shè)直線l:y=kx+n,圓錐曲線:F(x,y)=0,它們的交點為P1 (x1,y1),P2 (x2,y2), 且由,消去y→ax2+bx+c=0(a≠0),Δ=b2 -4ac。 則弦長公式為: d====。 焦點弦長:(點是圓錐曲線上的任意一點,是焦點,是到相應(yīng)于焦點的準線的距離,是離心率)。 四.典例解析 題型1:直線與橢圓的位置關(guān)系 例1.已知橢圓:,過左焦點F作傾斜角為的直線交橢圓于A、B

4、兩點,求弦AB的長。 解析:a=3,b=1,c=2,則F(-2,0)。 由題意知:與聯(lián)立消去y得:。 設(shè)A(、B(,則是上面方程的二實根,由違達定理,,,又因為A、B、F都是直線上的點, 所以|AB|= 點評:也可讓學(xué)生利用“焦半徑”公式計算。 例2.中心在原點,一個焦點為F1(0,)的橢圓截直線所得弦的中點橫坐標為,求橢圓的方程。 解析:設(shè)橢圓的標準方程為,由F1(0,)得 把直線方程代入橢圓方程整理得:。 設(shè)弦的兩個端點為,則由根與系數(shù)的關(guān)系得: ,又AB的中點橫坐標為, ,與方程聯(lián)立可解出 故所求橢圓的方程為:。 點評:根據(jù)題意,可設(shè)橢圓的標準方程,與直線方程聯(lián)

5、立解方程組,利用韋達定理及中點坐標公式,求出中點的橫坐標,再由F1(0,)知,c=,,最后解關(guān)于a、b的方程組即可。 例3.(06遼寧卷)直線與曲線 的公共點的個數(shù)為( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:將代入得:。 ,顯然該關(guān)于的方程有兩正解,即x有四解,所以交點有4個,故選擇答案D。 點評:本題考查了方程與曲線的關(guān)系以及絕對值的變換技巧,同時對二次方程的實根分布也進行了簡單的考查。 例4.(xx上海,17)已知橢圓C的焦點分別為F1(,0)和F2(2,0),長軸長為6,設(shè)直線y=x+

6、2交橢圓C于A、B兩點,求線段AB的中點坐標。 解析:設(shè)橢圓C的方程為, 由題意a=3,c=2,于是b=1. ∴橢圓C的方程為+y2=1. 由得10x2+36x+27=0, 因為該二次方程的判別式Δ>0,所以直線與橢圓有兩個不同的交點, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=, 故線段AB的中點坐標為(). 點評:本題主要考查橢圓的定義標準方程,直線與橢圓的位置關(guān)系及線段中點坐標公式。 題型2:直線與雙曲線的位置關(guān)系 例5.(1)過點與雙曲線有且只有一個公共點的直線有幾條,分別求出它們的方程。 (2)直線與雙曲線相交于A、B兩點,當為何值時,A、B在雙曲

7、線的同一支上?當為何值時,A、B分別在雙曲線的兩支上? 解析:(1)解:若直線的斜率不存在時,則,此時僅有一個交點,滿足條件; 若直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為則, , ∴, , 當時,方程無解,不滿足條件; 當時,方程有一解,滿足條件; 當時,令, 化簡得:無解,所以不滿足條件; 所以滿足條件的直線有兩條和。 (2)把代入整理得:……(1) 當時,。 由>0得且時,方程組有兩解,直線與雙曲線有兩個交點。 若A、B在雙曲線的同一支,須>0 ,所以或。 故當或時,A、B兩點在同一支上;當時,A、B兩點在雙曲線的兩支上。 點評:與雙曲線只有一個公共點的直線有兩種。

8、一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點的直線。另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條。 例5.(1)求直線被雙曲線截得的弦長; (2)求過定點的直線被雙曲線截得的弦中點軌跡方程。 解析:由得得(*) 設(shè)方程(*)的解為,則有 得, (2)方法一:若該直線的斜率不存在時與雙曲線無交點,則設(shè)直線的方程為,它被雙曲線截得的弦為對應(yīng)的中點為, 由得(*) 設(shè)方程(*)的解為,則, ∴, 且, ∴, 得或。 方法二:設(shè)弦的兩個端點坐標為,弦中點為,則 得:, ∴, 即, 即(圖象的一部分) 點評:(1)弦長公式;(2)有關(guān)中點弦問題的兩種處理方法。

9、 例7.過雙曲線的一焦點的直線垂直于一漸近線,且與雙曲線的兩支相交,求該雙曲線離心率的范圍。 解析:設(shè)雙曲線的方程為,,漸近線,則過的直線方程為,則, 代入得, ∴即得, ∴,即得到。 點評:直線與圓錐曲線的位置關(guān)系經(jīng)常和圓錐曲線的幾何要素建立起對應(yīng)關(guān)系,取值范圍往往與判別式的取值建立聯(lián)系。 題型3:直線與拋物線的位置關(guān)系 例8.已知拋物線方程為,直線過拋物線的焦點F且被拋物線截得的弦長為3,求p的值。 解析:設(shè)與拋物線交于 由距離公式|AB|== 由 從而由于p>0,解得 點評:方程組有兩組不同實數(shù)解或一組實數(shù)解則相交;有兩組相同實數(shù)解則相切;無實數(shù)解則相

10、離。 例9.xx上海春,4)直線y=x-1被拋物線y2=4x截得線段的中點坐標是_____. 答案:(3,2) 解法一:設(shè)直線y=x-1與拋物線y2=4x交于A(x1,y1),B(x2,y2),其中點為P(x0,y0)。 由題意得,(x-1)2=4x,x2-6x+1=0。 ∴x0==3.y0=x0-1=2.∴P(3,2)。 解法二:y22=4x2,y12=4x1,y22-y12=4x2-4x1, =4.∴y1+y2=4,即y0=2,x0=y0+1=3。 故中點為P(3,2)。 點評:本題考查曲線的交點與方程的根的關(guān)系.同時應(yīng)注意解法一中的縱坐標與解法二中的橫坐標的求法。 例

11、10.(1997上海)拋物線方程為y2=p(x+1)(p>0),直線x+y=m與x軸的交點在拋物線的準線的右邊. (1)求證:直線與拋物線總有兩個交點; (2)設(shè)直線與拋物線的交點為Q、R,OQ⊥OR,求p關(guān)于m的函數(shù)f(m)的表達式; (3)(文)在(2)的條件下,若拋物線焦點F到直線x+y=m的距離為,求此直線的方程; (理)在(2)的條件下,若m變化,使得原點O到直線QR的距離不大于,求p的值的范圍. 解:(1)拋物線y2=p(x+1)的準線方程是x=-1-,直線x+y=m與x軸的交點為(m,0),由題設(shè)交點在準線右邊,得m>-1-,即4m+p+4>0. 由 得x2-(2m

12、+p)x+(m2-p)=0. 而判別式Δ=(2m+p)2-4(m2-p)=p(4m+p+4). 又p>0及4m+p+4>0,可知Δ>0. 因此,直線與拋物線總有兩個交點; (2)設(shè)Q、R兩點的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2),由(1)知,x1、x2是方程x2-(2m+p)x+m2-p=0的兩根, ∴x1+x2=2m+p,x1·x2=m2-p. 由OQ⊥OR,得kOQ·kOR=-1, 即有x1x2+y1y2=0. 又Q、R為直線x+y=m上的點, 因而y1=-x1+m,y2=-x2+m. 于是x1x2+y1y2=2x1x2-m(x1+x2)+m2=2(m2-p)-m(

13、2m+p)+m2=0, ∴p=f(m)=, 由得m>-2,m≠0; (3)(文)由于拋物線y2=p(x+1)的焦點F坐標為(-1+,0),于是有 ,即|p-4m-4|=4. 又p= ∴||=4. 解得m1=0,m2=-,m3=-4,m4=-. 但m≠0且m>-2,因而舍去m1、m2、m3,故所求直線方程為3x+3y+4=0. (理)解法一:由于原點O到直線x+y=m的距離不大于,于是 ,∴|m|≤1. 由(2),知m>-2且m≠0, 故m∈[-1,0)∪(0,1]. 由(2),知f(m)==(m+2)+-4, 當m∈[-1,0)時,任取m1、m2,0>m1>m2≥-1

14、,則 f(m1)-f(m2)=(m1-m2)+() =(m1-m2)[1-]. 由0>m1>m2≥-1,知0<(m1+2)(m2+2)<4,1-<0. 又由m1-m2>0知f(m1)<f(m2)因而f(m)為減函數(shù). 可見,當m∈[-1,0)時,p∈(0,1]. 同樣可證,當m∈(0,1]時,f(m)為增函數(shù),從而p∈(0,]. 解法二:由解法一知,m∈[-1,0)∪(0,1].由(2)知 p=f(m)=. 設(shè)t=,g(t)=t+2t2,則t∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又 g(t)=2t2+t=2(t+)2-. ∴當t∈(-∞,-1]時,g(t)為減函數(shù),g(t)∈[

15、1,+∞). 當t∈[1,+∞)時,g(t)為增函數(shù),g(t)∈[3,+∞). 因此,當m∈[-1,0]時,t∈(-∞,-1],p=∈(0,1]; 當m∈(0,1]時,t∈[1,+∞),p∈(0,]. 點評:本題考查拋物線的性質(zhì)與方程,拋物線與直線的位置關(guān)系,點到直線的距離,函數(shù)與不等式的知識,以及解決綜合問題的能力。 例11.(06山東卷)已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則y12+y22的最小值是 。 解析:顯然30,又=4()38,當且僅當時取等號,所以所求的值為32。 點評:該題考查直線與拋

16、物線位置關(guān)系下的部分求值問題,結(jié)合基本不等式求得最終結(jié)果。 五.思維總結(jié) 1.加強直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的復(fù)習 由于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直為高考的熱點。這類問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識點、線段的中點、弦長、垂直問題,因此分析問題時利用數(shù)形結(jié)合思想來設(shè)。而不求法與弦長公式及韋達定理聯(lián)系去解決。這樣就加強了對數(shù)學(xué)各種能力的考查; 2.關(guān)于直線與圓錐曲線相交弦則結(jié)合韋達定理采用設(shè)而不求法。利用引入一個參數(shù)表示動點的坐標x、y,間接把它們聯(lián)系起來,減少變量、未知量采用參數(shù)法。有些題目還常用它們與平面幾何的關(guān)系,利用平面幾何知識會化難為易,化繁為簡,收到意想不到的解題效果; 3.直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題,實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數(shù)解成實數(shù)解的個數(shù)問題,此時要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法; 4.當直線與圓錐曲線相交時 涉及弦長問題,常用“韋達定理法”設(shè)而不求計算弦長(即應(yīng)用弦長公式);涉及弦長的中點問題,常用“點差法”設(shè)而不求,將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來,相互轉(zhuǎn)化。同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件,尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化,往往就能事半功倍;

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