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1、2022年高中數(shù)學 排序不等式學案 新人教A版選修4 ☆學習目標： 1. 了解排序不等式的基本形式，會運用排序不等式分析解決一些簡單問題; 2. 體會運用經(jīng)典不等式的一般思想方法 ?知識情景： 1. 一般形式的柯西不等式：設為大于1的自然數(shù)，(1,2,…,)， 則： . 當且僅當 時, 等號成立. (若時，約

2、定，1,2,…,). 變式10. 設 則： . 當且僅當 時, 等號成立. 變式20. 設 則：. 當且僅當時,等號成立. 變式30. (積分形式)設與都在可積， 則， 當且僅當時,等號成立. 2. 探究 如圖， 設，自點沿邊依次取個點， 邊依次取取個點，在邊取某個點與邊 某個點連接，得到，這樣一一搭配，一共可得到

3、 個三角形。顯然，不同的搭配方法，得到的 不同，問：邊上的點與邊上的點 如何搭配，才能使個三角形的 面積和最大（或最小）？？？ 設，由已知條件，得 因為的面積是 ，而 是常數(shù)，于是，上面的幾何問題就可以歸結為 代數(shù)問題： 則 何時取最大（或最?。┲?？ 我們把叫做數(shù)組與的亂序和. 其中, 稱為 序和. 稱為 序和.這樣的三個和大小關系如何?

4、 ☆ 新知建構： 1.檢驗操作: 填表: 2.一般性證明: 任意一個排 列(有 個不同的排列). 所以, 的不同值也只 有有限個(個).其中必有最大值 和最小值. 考察, 10.若,則應有某,且,對換得 . . 說明將中第一項換為后, 和式變 . 20.若,則轉而考察,并進行類似討論.可證將式中第二項換為后,和式變 . 如此繼續(xù)下去, 經(jīng)有限步調(diào)整, 可知一切和數(shù)中, 最大和數(shù)只能是

5、 . 且不難知道, 最小和數(shù)只能是 . 因此 . 30.容易發(fā)現(xiàn), 當或時, ; 如果不全相等, 也不全相等. 則和 使,考察和數(shù) ∵ ∴ . 定理(排序不等式, 又稱排序原理):為兩組數(shù), 任意一個排列, 則 . 當且僅當或時, 等號成立. ☆ 排序不等式的應用： 例

6、1. 若a1，a2，…，an 為兩兩不等的正整數(shù)， 求證:. 例2 5個人各拿一只水桶到水龍頭接水，如果水龍頭注滿這5個人的水桶需要的時間分別是 4分鐘,8分鐘,6分鐘,10分鐘,5分鐘. 那么如何安排這5個人接水的順序，才能使他們等 待的總時間最少？ 選修4-5練習 §3.2.1排序不等式 姓名 1、若，則下列代數(shù)式中值最大的是（ ） A． B． C． D． 2、對a,b,c?R+, 比較a3+b3+c3與a2b+b2c+c2a的大小 3、 4、正實數(shù)a1,a2,…,an的任一排列為a1/,a2/,…an/， 則有 5、設，，，…，為正數(shù)，求證：. 6、 : . 7、設, 用排序不等式求證: 8、 9、設a1,a2,…,an是1,2,…,n的一個排列，求證： 10、設a,b,c?R+,求證：