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2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)教案 理 新人教A版

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2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)教案 理 新人教A版_第1頁(yè)
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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考 1.利用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí),研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值;2.討論含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題. 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.從導(dǎo)數(shù)的定義和“以直代曲”的思想理解導(dǎo)數(shù)的意義,體會(huì)導(dǎo)數(shù)的工具作用;2.理解導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系,掌握利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性、極值、最值的方法步驟. 1. 函數(shù)的單調(diào)性 在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f′(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f′(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. 2. 函數(shù)的極值 (1)判斷f(x0)是極值的方法 一

2、般地,當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí), ①如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0,那么f(x0)是極大值; ②如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0,右側(cè)f′(x)>0,那么f(x0)是極小值. (2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟 ①求f′(x); ②求方程f′(x)=0的根; ③檢查f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào).如果左正右負(fù),那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果左負(fù)右正,那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值. 3. 函數(shù)的最值 (1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值. (2)若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)

3、遞增,則f(a)為函數(shù)的最小值,f(b)為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,則f(a)為函數(shù)的最大值,f(b)為函數(shù)的最小值. (3)設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步驟如下: ①求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值; ②將f(x)的各極值與f(a),f(b)進(jìn)行比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值. [難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源] 1. 可導(dǎo)函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點(diǎn)附近的情況,是在局部對(duì)函數(shù)值的比較;函數(shù)的最值是表示函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的情況,是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較. 2. f′(x)>0在(

4、a,b)上成立是f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增的充分條件. 3. 對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x),f′(x0)=0是函數(shù)f(x)在x=x0處有極值的必要不充分條件. 1. 若函數(shù)f(x)=在x=1處取極值,則a=________. 答案 3 解析 f′(x)==.因?yàn)閒(x)在x=1處取極值,所以1是f′(x)=0的根,將x=1代入得a=3. 2. 函數(shù)f(x)=x3+ax-2在(1,+∞)上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 答案 [-3,+∞) 解析 f′(x)=3x2+a,f′(x)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù), 則f′(x)=3x2+a≥0在(1,+∞)上恒成立

5、,即a≥-3x2在(1,+∞)上恒成立.∴a≥-3. 3. 如圖是y=f(x)導(dǎo)數(shù)的圖象,對(duì)于下列四個(gè)判斷: ①f(x)在[-2,-1]上是增函數(shù); ②x=-1是f(x)的極小值點(diǎn); ③f(x)在[-1,2]上是增函數(shù),在[2,4]上是減函數(shù); ④x=3是f(x)的極小值點(diǎn). 其中正確的判斷是________.(填序號(hào)) 答案?、冖? 解析 ①∵f′(x)在[-2,-1]上是小于等于0的, ∴f(x)在[-2,-1]上是減函數(shù); ②∵f′(-1)=0且在x=0兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值為左負(fù)右正, ∴x=-1是f(x)的極小值點(diǎn); ③對(duì), ④不對(duì),由于f′(3)≠0. 4. 設(shè)函數(shù)

6、g(x)=x(x2-1),則g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為 (  ) A.-1 B.0 C.- D. 答案 C 解析 g(x)=x3-x,由g′(x)=3x2-1=0,解得x1=,x2=-(舍去). 當(dāng)x變化時(shí),g′(x)與g(x)的變化情況如下表: x 0 1 g′(x) - 0 + g(x) 0  極小值  0 所以當(dāng)x=時(shí),g(x)有最小值g=-. 5. (xx·遼寧)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(-1)=2,對(duì)任意x∈R,f′(x)>2,則f(x)>2x+4的解集為

7、 (  ) A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞) 答案 B 解析 設(shè)m(x)=f(x)-(2x+4),∵m′(x)=f′(x)-2>0,∴m(x)在R上是增函數(shù).∵m(-1)=f(-1)-(-2+4)=0,∴m(x)>0的解集為{x|x>-1},即f(x)>2x+4的解集為(-1,+∞). 題型一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 例1 已知函數(shù)f(x)=ex-ax-1. (1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間; (2)是否存在a,使f(x)在(-2,3)上為減函數(shù),若存在,求出a的取值范圍,若不存在,說(shuō)明理由. 思維啟

8、迪:函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)中的參數(shù)有關(guān),要注意對(duì)參數(shù)的討論. 解 f′(x)=ex-a, (1)若a≤0,則f′(x)=ex-a≥0, 即f(x)在R上遞增, 若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥ln a. 因此當(dāng)a≤0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為R,當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[ln a,+∞). (2)∵f′(x)=ex-a≤0在(-2,3)上恒成立. ∴a≥ex在x∈(-2,3)上恒成立. 又∵-2

9、3. 故存在實(shí)數(shù)a≥e3,使f(x)在(-2,3)上為減函數(shù). 探究提高 (1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟: ①確定函數(shù)f(x)的定義域; ②求導(dǎo)數(shù)f′(x); ③在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0和f′(x)<0; ④根據(jù)③的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間. (2)要注意對(duì)含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行討論; (3)對(duì)已知函數(shù)的單調(diào)性的問(wèn)題一定要掌握導(dǎo)數(shù)的條件. 已知函數(shù)f(x)=x3-ax2-3x. (1)若f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (2)若x=3是f(x)的極值點(diǎn),求f(x)的單調(diào)區(qū)間. 解 (1)對(duì)f(x)求

10、導(dǎo),得f′(x)=3x2-2ax-3. 由f′(x)≥0,得a≤. 記t(x)=,當(dāng)x≥1時(shí),t(x)是增函數(shù), ∴t(x)min=(1-1)=0.∴a≤0. (2)由題意,得f′(3)=0,即27-6a-3=0, ∴a=4.∴f(x)=x3-4x2-3x,f′(x)=3x2-8x-3. 令f′(x)=0,得x1=-,x2=3. 當(dāng)x變化時(shí),f′(x)、f(x)的變化情況如下表: x (-∞,-) - (-,3) 3 (3,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x)  極大值  極小值  ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,[3,+∞),

11、f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為. 題型二 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 例2 已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3x+1. (1)設(shè)a=2,求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)設(shè)f(x)在區(qū)間(2,3)中至少有一個(gè)極值點(diǎn),求a的取值范圍. 思維啟迪:(1)單調(diào)區(qū)間即為f′(x)>0,f′(x)<0的解區(qū)間. (2)f′(x)的零點(diǎn)在(2,3)內(nèi)至少有一個(gè). 解 (1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x3-6x2+3x+1, f′(x)=3x2-12x+3=3(x-2+)(x-2-). 當(dāng)x∈(-∞,2-)時(shí),f′(x)>0,f(x)在(-∞,2-)上單調(diào)遞增; 當(dāng)x∈(2-,2+)時(shí),f′(x)<0,

12、f(x)在(2-,2+)上單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈(2+,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)在(2+,+∞)上單調(diào)遞增. 綜上,f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,2-)和(2+,+∞), f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(2-,2+). (2)f′(x)=3x2-6ax+3=3[(x-a)2+1-a2]. 當(dāng)1-a2≥0時(shí),f′(x)≥0,f(x)為增函數(shù),故f(x)無(wú)極值點(diǎn); 當(dāng)1-a2<0時(shí),f′(x)=0有兩個(gè)根x1=a-, x2=a+. 由題意,知2

13、值點(diǎn).所以在求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后一定要注意分析這個(gè)零點(diǎn)是不是函數(shù)的極值點(diǎn). (2)本題的易錯(cuò)點(diǎn)為不對(duì)1-a2進(jìn)行討論,致使解答不全面. (xx·安徽)設(shè)f(x)=,其中a為正實(shí)數(shù). (1)當(dāng)a=時(shí),求f(x)的極值點(diǎn); (2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍. 解 對(duì)f(x)求導(dǎo)得f′(x)=ex·.① (1)當(dāng)a=時(shí),若f′(x)=0,則4x2-8x+3=0, 解得x1=,x2=.結(jié)合①,可知 x f′(x) + 0 - 0 + f(x)  極大值  極小值  所以x1=是極小值點(diǎn),x2=是極大值點(diǎn). (2)若f

14、(x)為R上的單調(diào)函數(shù),則f′(x)在R上不變號(hào),結(jié)合①與條件a>0,知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,即Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并結(jié)合a>0,知0

15、函數(shù)f(x)的解析式. (2)列出f′(x)與f(x)的變化表,比較端點(diǎn)值和極值的大小. 解 (1)f′(x)=3x2+2ax+b. 依題意f′(1)=3,f′=0, 得解之得 所以f(x)=x3+2x2-4x+5. (2)由(1)知,f′(x)=3x2+4x-4=(x+2)(3x-2). 令f′(x)=0,得x1=-2,x2=. 當(dāng)x變化時(shí),f(x),f′(x)的變化情況如下表: x -4 (-4,-2) -2 (-2,) (,1) 1 f′(x) + 0 - 0 + f(x) -11  極大值13 極小值 4 ∴

16、f(x)在[-4,1]上的最大值為13,最小值為-11. 探究提高 在解決類似的問(wèn)題時(shí),首先要注意區(qū)分函數(shù)最值與極值的區(qū)別.求解函數(shù)的最值時(shí),要先求函數(shù)y=f(x)在[a,b]內(nèi)所有使f′(x)=0的點(diǎn),再計(jì)算函數(shù)y=f(x)在區(qū)間內(nèi)所有使f′(x)=0的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值,最后比較即得. (xx·重慶)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx+c在點(diǎn)x=2處取得極值c-16. (1)求a,b的值; (2)若f(x)有極大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值. 解 (1)因?yàn)閒(x)=ax3+bx+c,故f′(x)=3ax2+b. 由于f(x)在點(diǎn)x=2處取得極值c-16, 故

17、有即 化簡(jiǎn)得解得 (2)由(1)知f(x)=x3-12x+c, f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2). 令f′(x)=0,得x1=-2,x2=2. 當(dāng)x∈(-∞,-2)時(shí),f′(x)>0, 故f(x)在(-∞,-2)上為增函數(shù); 當(dāng)x∈(-2,2)時(shí),f′(x)<0, 故f(x)在(-2,2)上為減函數(shù); 當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),f′(x)>0, 故f(x)在(2,+∞)上為增函數(shù). 由此可知f(x)在x=-2處取得極大值f(-2)=16+c, f(x)在x=2處取得極小值f(2)=c-16. 由題設(shè)條件知16+c=28,解得c=12. 此時(shí)f(-3)=9

18、+c=21,f(3)=-9+c=3, f(2)=-16+c=-4, 因此f(x)在[-3,3]上的最小值為f(2)=-4. 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值問(wèn)題 典例:(14分)已知函數(shù)f(x)=ln x-ax (a∈R). (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)在[1,2]上的最小值. 審題視角 (1)已知函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間,實(shí)質(zhì)上是求f′(x)>0,f′(x)<0的解區(qū)間,并注意定義域.(2)先研究f(x)在[1,2]上的單調(diào)性,再確定最值是端點(diǎn)值還是極值.(3)由于解析式中含有參數(shù)a,要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論. 規(guī)范解答  解 (1)f′(x)

19、=-a (x>0),[1分] ①當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)=-a>0,即函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞).[3分] ②當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)=-a=0,可得x=, 當(dāng)00; 當(dāng)x>時(shí),f′(x)=<0, 故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為, 單調(diào)遞減區(qū)間為. [5分] (2)①當(dāng)≤1,即a≥1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù),所以f(x)的最小值是f(2)=ln 2-2a. [9分] ②當(dāng)≥2,即0

20、 .[10分] ③當(dāng)1<<2,即

21、在給定區(qū)間上的端點(diǎn)值; 第四步:將f(x)的各極值與f(x)的端點(diǎn)值進(jìn)行比較, 確定f(x)的最大值與最小值; 第五步:反思回顧:查看關(guān)鍵點(diǎn),易錯(cuò)點(diǎn)和解題規(guī)范. 溫馨提醒 (1)本題考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求函數(shù)在給定區(qū)間[1,2]上的最值,屬常規(guī)題型. (2)本題的難點(diǎn)是分類討論.考生在分類時(shí)易出現(xiàn)不全面,不準(zhǔn)確的情況. (3)思維不流暢,答題不規(guī)范,是解答中的突出問(wèn)題. 方法與技巧 1. 注意單調(diào)函數(shù)的充要條件,尤其對(duì)于已知單調(diào)性求參數(shù)值(范圍)時(shí),隱含恒成立思想. 2. 求極值、最值時(shí),要求步驟規(guī)范、表格齊全;含參數(shù)時(shí),要討論參數(shù)的大小. 3. 在實(shí)

22、際問(wèn)題中,如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn),那么只要根據(jù)實(shí)際意義判定是最大值還是最小值即可,不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值比較. 失誤與防范 1. 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)極值時(shí)要養(yǎng)成列表的習(xí)慣,可使問(wèn)題直觀且有條理,減少失分的可能. 2. 函數(shù)最值時(shí),不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn),要通過(guò)認(rèn)真比較才能下結(jié)論. 3. 題時(shí)要注意區(qū)分求單調(diào)性和已知單調(diào)性的問(wèn)題,處理好f′(x)=0時(shí)的情況;區(qū)分極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn). A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間:35分鐘,滿分:57分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1. 若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,則y=f(x)的圖象

23、可能為 (  ) 答案 C 解析 根據(jù)f′(x)的符號(hào),f(x)圖象應(yīng)該是先下降后上升,最后下降,排除A,D;從適合f′(x)=0的點(diǎn)可以排除B. 2. 設(shè)a∈R,若函數(shù)y=ex+ax,x∈R有大于零的極值點(diǎn),則 (  ) A.a(chǎn)<-1 B.a(chǎn)>-1 C.a(chǎn)>- D.a(chǎn)<- 答案 A 解析 ∵y=ex+ax,∴y′=ex+a. ∵函數(shù)y=ex+ax有大于零的極值點(diǎn), 則方程y′=ex+a=0有大于零的解, ∵x>0時(shí),-ex<-1,∴a=-ex<-1. 3. 函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,1]上的最大值是 (

24、  ) A.-2 B.0 C.2 D.4 答案 C 解析 ∵f′(x)=3x2-6x,令f′(x)=0,得x=0或x=2. ∴f(x)在[-1,0)上是增函數(shù),f(x)在(0,1]上是減函數(shù). ∴f(x)max=f(x)極大值=f(0)=2. 4. 若函數(shù)f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在區(qū)間(1,4)內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間(6,+∞)內(nèi)為增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (  ) A.a(chǎn)≤2 B.5≤a≤7 C.4≤a≤6 D.a(chǎn)≤5或a≥7 答案 B 解析 因?yàn)閒(x)=x3-ax2+(a-1)x+

25、1, 所以f′(x)=x2-ax+a-1, 由題意知當(dāng)1

26、=-37,f(2)=-5.∴最小值為-37. 6. 已知函數(shù)f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函數(shù),函數(shù)g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)m=________. 答案 -2 解析 若f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函數(shù), 則m2-4=0,m=±2. 若g′(x)=-3x2+4x+m≤0恒成立, 則Δ=16+4×3m≤0,解得m≤-,故m=-2. 7. 函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有極大值又有極小值,則a的取值范圍是________. 答案 a>2或a<-1 解析 ∵f(x)=x3+3ax2

27、+3[(a+2)x+1], ∴f′(x)=3x2+6ax+3(a+2). 令3x2+6ax+3(a+2)=0,即x2+2ax+a+2=0. ∵函數(shù)f(x)有極大值和極小值, ∴方程x2+2ax+a+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根. 即Δ=4a2-4a-8>0,∴a>2或a<-1. 三、解答題(共22分) 8. (10分)已知函數(shù)f(x)=ax2+bln x在x=1處有極值. (1)求a,b的值; (2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間. 解 (1)f′(x)=2ax+.又f(x)在x=1處有極值. 得 即解之得a=,b=-1. (2)由(1)可知f(x)=x2-ln x,其定義域

28、是(0,+∞), 且f′(x)=x-=. 由f′(x)<0,得00,得x>1. 所以函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,1), 單調(diào)增區(qū)間是(1,+∞). 9. (12分)已知函數(shù)f(x)=ln|x| (x≠0),函數(shù)g(x)=+af′(x) (x≠0). (1)求函數(shù)y=g(x)的表達(dá)式; (2)若a>0,函數(shù)y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是2,求a的值. 解 (1)因?yàn)閒(x)=ln|x|, 所以當(dāng)x>0時(shí),f(x)=ln x,當(dāng)x<0時(shí),f(x)=ln(-x). 所以當(dāng)x>0時(shí),f′(x)=, 當(dāng)x<0時(shí),f′(x)=·(-1)=.

29、所以當(dāng)x≠0時(shí),函數(shù)y=g(x)=x+. (2)由(1),知當(dāng)x>0時(shí),g(x)=x+. 所以當(dāng)a>0,x>0時(shí),g(x)≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等號(hào). 所以函數(shù)y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是2. 所以2=2.解得a=1. B組 專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間:25分鐘,滿分:43分) 一、選擇題(每小題5分,共15分) 1. (xx·重慶)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且函數(shù)f(x)在x=-2處取得極小值,則函數(shù)y=xf′(x)的圖象可能是 (  ) 答案 C 解析 ∵f(x)在x=-2處取得極小值, ∴當(dāng)x<-2時(shí),f(x)單

30、調(diào)遞減,即f′(x)<0; 當(dāng)x>-2時(shí),f(x)單調(diào)遞增,即f′(x)>0. ∴當(dāng)x<-2時(shí),y=xf′(x)>0; 當(dāng)x=-2時(shí),y=xf′(x)=0; 當(dāng)-20時(shí),y=xf′(x)>0. 結(jié)合選項(xiàng)中圖象知選C. 2. 函數(shù)y=xe-x,x∈[0,4]的最小值為 (  ) A.0 B. C. D. 答案 A 解析 y′=-e-x(x-1), y′與y隨x變化情況如下表: x 0 (0,1) 1 (1,4) 4 y′ + 0 - y

31、 0  取極大值 當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)y=xe-x取到最小值0. 3. f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)+x·f′(x)<0,且f(-4)=0,則不等式xf(x)>0的解集為 (  ) A.(-4,0)∪(4,+∞) B.(-4,0)∪(0,4) C.(-∞,-4)∪(4,+∞) D.(-∞,-4)∪(0,4) 答案 D 解析 令g(x)=x·f(x),則g(x)為奇函數(shù)且當(dāng)x<0時(shí),g′(x)=f(x)+ x·f′(x)<0, ∴g(x)的圖象的變化趨勢(shì)如圖所示: 所以xf(x)>0的解集為(

32、-∞,-4)∪(0,4). 二、填空題(每小題5分,共15分) 4. 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c (x∈[-2,2])對(duì)應(yīng)的曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),且在x=±1處切線的斜率均為-1,則f(x)的最大值和最小值之和等于________. 答案 0 解析 由曲線f(x)=x3+ax2+bx+c (x∈[-2,2])過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)可知c=0. ∵f′(x)=3x2+2ax+b,由已知得 解得a=0,b=-4, ∴f(x)=x3-4x,f(x)在x∈[-2,2]上有最大值,最小值,且函數(shù)f(x)=x3-4x為奇函數(shù),∴函數(shù)f(x)=x3-4x的最大值和最小值之和為0. 5. 設(shè)

33、函數(shù)f(x)=p-2ln x(p是實(shí)數(shù)),若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)p的取值范圍為______. 答案 [1,+∞) 解析 易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),因?yàn)閒′(x)=,要使f(x)為單調(diào)增函數(shù),須f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即px2-2x+p≥0在(0,+∞)上恒成立,即p≥=在(0,+∞)上恒成立,又≤1, 所以當(dāng)p≥1時(shí),f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù). 6. 已知函數(shù)f(x)=x3-3ax-a在(0,1)內(nèi)有最小值,則a的取值范圍是________. 答案 (0,1) 解析 f′(x)=3x2-3a=3(x2-a), 顯然a>0

34、,f′(x)=3(x+)(x-), 由已知條件0<<1,解得00時(shí),因?yàn)槎魏瘮?shù)y=ax2+(a-1)x

35、-a的圖象開口向上,而f′(0)=-a<0, 所以需f′(1)=(a-1)e<0,即00,f(x)不符合條件. 故a的取值范圍為0≤a≤1. (2)因?yàn)間(x)=(-2ax+1+a)ex, 所以g′(x)=(-2ax+1-a)ex. (i)當(dāng)a=0時(shí),g′(x)=ex>0,g(x)在x=0處取得最小值g(0)=1,在x=1處取得最大值g(1)=e. (ii)當(dāng)a=1

36、時(shí),對(duì)于任意x∈(0,1)有g(shù)′(x)=-2xex<0,g(x)在x=0處取得最大值g(0)=2,在x=1處取得最小值g(1)=0. (iii)當(dāng)00. ①若≥1,即0

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