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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 數(shù)列02檢測試題
1.若數(shù)列滿足:對于,都有(常數(shù)),則稱數(shù)列是公差為的準等差數(shù)列.如:若 則是公差為的準等差數(shù)列.
(1)求上述準等差數(shù)列的第項、第項以及前項的和;
(2)設(shè)數(shù)列滿足:,對于,都有.求證:為準等差數(shù)列,并求其通項公式;
(3)設(shè)(2)中的數(shù)列的前項和為,若,求的取值范圍.
【答案】
解:(1), (2分)
(4分)
(2) ①
②
②-①得.
2、
所以,為公差為2的準等差數(shù)列. (2分)
當(dāng)為奇數(shù)時,; (2分)
當(dāng)為偶數(shù)時,, (2分)
(3)解一:在中,有32各奇數(shù)項,31各偶數(shù)項,
所以, (4分)
,. (2分)
解二:當(dāng)為偶數(shù)時,,,… …
將上面各式相加,得.
(4分)
,.
3、 (2分)
2.設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù),前項和為,已知
(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列,并求其通項公式;
(2)是否存在,使得,若存在,求出的值;若不存在請說明理由;
(3)證明:對任意,都有.
【答案】(文)(1)∵,∴當(dāng)時,.
兩式相減得,
∴ …………………………2分
∵,∴,又,∴
∴是以為首項,為公差的等差數(shù)列.……………………2分
∴ …………………………1分
(2) 由(1)知, …………………………2分
假設(shè)正整數(shù)滿足條件,
4、
則
∴,
解得; …………………………3分
(3) …………………………2分
于是
…………………………2分
…………………………3分
∴ …………………………1分
3.設(shè),等差數(shù)列中,,記=,令,數(shù)列的前n項和為.
(1)求的通項公式和;
(2)求證:;
(3)是否存在正整數(shù),且,使得成等
5、比數(shù)列?若存在,求出的值,若不存在,說明理由.
【答案】解:(1)設(shè)數(shù)列的公差為,由,
.解得,=3 , ……………2分
∴ ……………4分
∵, ∴Sn==. ……………6分
(2)
∴ ……………8分
∴ ……………10分
(3)由(2)知, ∴,,∵成等比數(shù)列.
∴ ……
6、………12分
即
當(dāng)時,7,=1,不合題意;當(dāng)時,,=16,符合題意;
當(dāng)時,,無正整數(shù)解;當(dāng)時,,無正整數(shù)解;
當(dāng)時,,無正整數(shù)解;當(dāng)時,,無正整數(shù)解;
……………15分
當(dāng)時, ,則,而,
所以,此時不存在正整數(shù)m,n,且1
7、…14分
,
而,
所以,此時不存在正整數(shù)m、n , 且1
8、4分)
(2)當(dāng)時,,所以.……(1分)
由,得,兩式相減,得,
故,……(2分)
所以,是首項為,公比為的等比數(shù)列,所以.……(3分)
,…………(4分)
要使是中的項,只要即可,可?。?分)
(只要寫出一個的值就給分,寫出,,也給分)
(3)由(1)知,,…………(1分)
要使,,成等差數(shù)列,必須,即
,…………(2分)
化簡得.…………(3分)
因為與都是正整數(shù),所以只能取,,.…………(4分)
當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,.…………(5分)
綜上可知,存在符合條件的正整數(shù)和,所有符合條件的有序整數(shù)對為:
,,.…………(6分)
5.等比數(shù)列滿足,,數(shù)
9、列滿足
(1)求的通項公式;(5分)
(2)數(shù)列滿足,為數(shù)列的前項和.求;(5分)
(3)是否存在正整數(shù),使得成等比數(shù)列?若存在,求出所有 的值;若不存在,請說明理由.(6分)
【答案】解:(1)解:,所以公比 2分
計算出 3分
4分
5分
(2)
10、 6分
于是 8分
= 10分
(3)假設(shè)否存在正整數(shù),使得成等比數(shù)列,則
, 12分
可得,
由分子為正,解得,
由,得,此時,
當(dāng)且僅當(dāng),時,成等比數(shù)列。 16分
6. 已知數(shù)列,記, ,
, ,并且對于任意,恒有成立.
(1)若,且對任意,三個數(shù)組成等差數(shù)
11、列,求數(shù)列的
通項公式;
(2)證明:數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是:對任意,三個數(shù)
組成公比為的等比數(shù)列.
【答案】解:(1)
,所以為等差數(shù)列。
(2)(必要性)若數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列,則,,所以A(n)、B(n)、C(n)組成公比為q的等比數(shù)列。
(充分性):若對于任意,三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列,
則,
于是得即
由有即,從而.
因為,所以,故數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列。
綜上,數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列的充要條件是對任意的,都有A(n)、B(n)、C(n)組成公比為q的等比數(shù)列。
7.對于數(shù)列,從中選取若干項
12、,不改變它們在原來數(shù)列中的先后次序,得到的數(shù)列稱為是原來數(shù)列的一個子數(shù)列. 某同學(xué)在學(xué)習(xí)了這一個概念之后,打算研究首項為,公差為的無窮等差數(shù)列的子數(shù)列問題,為此,他取了其中第一項,第三項和第五項.
(1) 若成等比數(shù)列,求的值;
(2) 在, 的無窮等差數(shù)列中,是否存在無窮子數(shù)列,使得數(shù)列為等比數(shù)列?若存在,請給出數(shù)列的通項公式并證明;若不存在,說明理由;
(3) 他在研究過程中猜想了一個命題:“對于首項為正整數(shù),公比為正整數(shù)()的無窮等比數(shù) 列,總可以找到一個子數(shù)列,使得構(gòu)成等差數(shù)列”. 于是,他在數(shù)列中任取三項,由與的大小關(guān)系去判斷該命題是否正確. 他將得到什么結(jié)論?
【答案】
13、(1)由a32=a1a5, ………… ……………………..2分
即(a1+2d)2=a1(a1+4d),得d=0. ………… …………..4分
(2) 解:an=1+3(n-1),如bn=4n-1便為符合條件的一個子數(shù)列. …… ……..7分
因為bn=4n-1=(1+3)n-1=1+3+32+…+3n-1=1+3M, ………..9分
這里M=+3+…+3n-2為正整數(shù),
所以,bn=1+3M =1+3 [(M+1)-1]是{an}中的第M+1項,得證. ……………….11分
(注:bn的通項公式不唯一)
14、(3) 該命題為假命題. ……………………….12分
由已知可得,
因此,,又,
故 , ..15分
由于是正整數(shù),且,則,
又是滿足的正整數(shù),則,
,
所以,> ,從而原命題為假命題. ……..18分
8.在平面直角坐標(biāo)系中,點滿足,且;點滿足,且,其中.
(1)求的坐標(biāo),并證明點在直線上;
(2)記四邊形的面積為,求的表達式;
(3)對于(2)中的,是否存在最小的正整數(shù),使得對任意都有成立?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)由已知條件得,,,所以……2分
,則
設(shè),則,
所以;………2分
即滿足
15、方程,所以點在直線上. ………1分
(證明在直線上也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明.)
(2)由(1)得
………1分
設(shè),則,
,所以
, 逐差累和得,,
所以………2分
設(shè)直線與軸的交點,則
,……2分
(3)由(2),
于是,, ………2分
數(shù)列中項的最大值為,則,即最小的正整數(shù)的值為,所以,存在最小的自然數(shù),對一切都有成立.……2分
9. 設(shè)數(shù)列滿足且(),前項和為.已知點,
,都在直線上(其中常數(shù)且,, ),又.
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)若,求實數(shù),的值;
(3)如果存在、,使得點和點都在直線上.問
16、
是否存在正整數(shù),當(dāng)時,恒成立?若存在,求出的最小值,若不存在,請說明理由.
【答案】(1)因為點都在直線上,
所以,得, ………2分
其中. ………3分
因為常數(shù),且,所以為非零常數(shù).
所以數(shù)列是等比數(shù)列. ………4分
(2)由,得, ………7分
所以,得.
17、 ………8分
由在直線上,得, ………9分
令得. ………10分
(3)由知恒成立等價于.
因為存在、,使得點和點都在直線上.
由與做差得:. ………12分
易證是等差數(shù)列,設(shè)其公差為,則有,因為,
所以,又由,
而
得得
即:數(shù)列是首項為正,公差為負的等差數(shù)列,所以一定存在一個最小自然數(shù),
………16
18、分
使,, 即 解得
因為,所以,
即存在自然數(shù),其最小值為,使得當(dāng) 時,恒成立. ………18分
10.已知遞增的等差數(shù)列的首項,且、、成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列對任意,都有成立,求的值.
(3)在數(shù)列中,,且滿足,求下表中前行所有數(shù)的和.
……
…… ……
【答案】(1)∵是遞增的等差數(shù)列,設(shè)公差為 ……………………1分
、、成等比數(shù)列,∴ ……………………2分
由 及得 ……………………………3分
∴
19、 ……………………………4分
(2)∵, 對都成立
當(dāng)時,得 ……………………………5分
當(dāng)時,由①,及②
①-②得,得 …………………7分
∴ …………………8分
∴ ……………10分
(3)∵ ∴
又∵ ∴ ………………………………13分
∵ ………………………………14分
∴第行各數(shù)之和
…………16分
∴表中前行所有數(shù)的和
……………………………18分