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1、2022年高中數(shù)學(xué) 階段性測試題2 新人教B版選修1-1 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．平面上有兩個定點A、B及動點P，命題甲：“|PA|－|PB|是定值”，命題乙“點P的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線”，則甲是乙的(　　) A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　B [解析]　當(dāng)|PA|－|PB|＝|AB|時，點P的軌跡是一條射線，故甲?/ 乙，而乙?甲，故選B. 2．如果雙曲線經(jīng)過點(6，)，且它的兩條漸近線方程是y＝±x，那么雙

2、曲線方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D.－＝1 [答案]　C [解析]　設(shè)雙曲線方程為＝λ將點(6，)代入求出λ即可．答案C. 3．雙曲線與橢圓＋y2＝1共焦點，且一條漸近線方程是x－y＝0，則此雙曲線方程是(　　) A．y2－＝1 B.－x2＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1 [答案]　C [解析]　∵橢圓＋y2＝1的焦點為(±2,0)， ∴雙曲線的焦點為(±2,0)，排除A、B. 又選項D的漸近線為y＝±x，故選C. 4．若方程－＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則下列關(guān)系成立的是(　　) A.> B.< C.>

3、 D.< [答案]　A [解析]　方程－＝1表示焦點在y軸上的橢圓，∴b<0，∴>. 5．設(shè)雙曲線焦點在x軸上，兩條漸近線為y＝±x，則該雙曲線的離心率為(　　) A．5 B. C. D. [答案]　C [解析]　∵＝，∴＝＝＝e2－1＝，∴e2＝，e＝. 6．在下列各對雙曲線中，既有相同的離心率又有相同的漸近線的是(　　) A.－y2＝1和－＝1 B.－y2＝1和x2－＝1 C．y2－＝1和x2－＝1 D.－y2＝1和－＝1 [答案]　A [解析]　A中離心率都為，漸近線都為y＝±x. 7．若不論k為何值，直線y＝k(x－2)＋b與曲線x2－y

4、2＝1總有公共點，則b的取值范圍是(　　) A．(－，) B．[－，] C．(－2,2) D．[－2,2] [答案]　B [解析]　由直線過點(2，b)，因為x＝2時，y2＝x2－1＝3，所以y＝±，所以b∈[－，]，故選B. 8．已知以F1(－2,0)、F2(2,0)為焦點的橢圓與直線x＋y＋4＝0有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為(　　) A．3 B．2 C．2 D．4 [答案]　C [解析]　設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)， 由，得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋16b2－a2b2＝0，可得a2＝7，∴2a＝2. 9．A(x1，y1)，B，

5、C(x2，y2)為橢圓＋＝1上三點，若F(0,4)與三點A、B、C的距離為等差數(shù)列，則y1＋y2的值為(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　＝，即|AF|＝5－y1，＝，即|CF|＝5－y2，|BF|＝＝. 由題意知2|BF|＝|AF|＋|CF|，所以5－y1＋5－y2＝，所以y1＋y2＝. 10．a(chǎn)≠0，b≠0，則方程ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab表示的曲線可能是(　　) [答案]　C [解析]　由圖象可知選C. 11．已知雙曲線－＝1和橢圓＋＝1(a>0，m>b>0)的離心率互為倒數(shù)，那么a，b，m為邊長的三角形一定是(　　) A

6、．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形 [答案]　B [解析]　雙曲線－＝1的離心率e1＝，橢圓＋＝1的離心率為e2＝， 由e1·e2＝1得·＝1， ∴a2＋b2＝m2，∴a，b，m為邊長的三角形一定是直角三角形． 12．已知F(c,0)是橢圓＋＝1(a>b>0)的一個焦點，F(xiàn)與橢圓上點的距離的最大值為m，最小值為n，則橢圓上與點F的距離為的點是(　　) A．(c，±) B．(c，±) C．(0，±b) D．不存在 [答案]　C [解析]　在橢圓中，＝＝a，而a2＝b2＋c2，所以短軸端點(0，±b)與F的距離為a. 二、填空

7、題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．將正確的答案填在題中橫線上) 13．已知橢圓的兩個焦點與它的短軸的兩個端點是一個正方形的四個頂點，則橢圓的離心率為________． [答案]　 [解析]　由題意a2＋a2＝4c2，所以e＝＝. 14．(xx·遼寧)已知F是雙曲線－＝1的左焦點，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動點，則|PF|＋|PA|的最小值為________． [答案]　9 [解析]　設(shè)右焦點為F′，由題意知F′(4,0)．由雙曲線定義，|PF|－|PF′|＝4，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|，∴要使|PF|＋|PA|最小，只需|PF′|＋|PA|最小即

8、可，|PF′|＋|PA|最小需P，F(xiàn)′，A三點共線，最小值即4＋|F′A|＝4＋＝4＋5＝9. 15．與橢圓＋＝1有公共焦點，且兩條漸近線互相垂直的雙曲線方程為__________． [答案]　－＝1 [解析]　∵雙曲線的兩漸近線互相垂直， ∴雙曲線為等軸雙曲線，又c2＝5，∴a2＝b2＝. 16．點P是雙曲線－y2＝1上的一動點，O為坐標(biāo)原點，M為線段OP的中點，則點M的軌跡方程是________． [答案]　x2－4y2＝1 [解析]　設(shè)P(x0，y0)，M(x，y)，由中點坐標(biāo)公式可得x0＝2x，y0＝2y，代入雙曲線方程得－＝1，即x2－4y2＝1. 三、解答題(本大題

9、共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分12分)已知雙曲線E的中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，離心率e＝，且雙曲線過點P(2，3)，求雙曲線E的方程． [解析]　當(dāng)雙曲線的焦點在x軸上時，設(shè)雙曲線方程為：－＝1(a>0，b>0)， ∵e＝＝，∴c2＝a2，b2＝a2， 又點P(2,3)在雙曲線上，解得a2＝－32(舍去)． 當(dāng)雙曲線的焦點在y軸上時，設(shè)雙曲線方程為： －＝1(a>0，b>0)，同理解得a2＝10，b2＝5， ∴雙曲線E的方程為：－＝1. 18．(本題滿分12分)已知橢圓4x2＋y2＝1及直線y＝x＋m. (1)當(dāng)直線和橢圓有

10、公共點時，求實數(shù)m的取值范圍． (2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程． [解析]　(1)聯(lián)立，得5x2＋2mx＋m2－1＝0. 因為直線與橢圓有公共點． 所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤. (2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0， 由韋達(dá)定理，得x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)． 所以|AB|＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 所以當(dāng)m＝0時，|AB|最大，此時直線方程為y＝x. 19．(本題滿分12分)在面積為1的△PMN中，tan∠PMN＝，tan∠MNP＝－2，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求以M，N

11、為焦點且過點P的雙曲線方程． [解析]　以MN所在直線為x軸，MN的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x0，y0)，M(－c,0)，N(c,0)(y0>0，c>0)，如圖所示， 則有解得設(shè)雙曲線的方程為－＝1，將P(，)代入，可得a2＝，所以所求雙曲線的方程為－＝1. 20．(本題滿分12分)橢圓的中心在原點，它在x軸上的一個焦點F與短軸兩端點B1、B2的連線互相垂直，且此焦點與較近的長軸端點A的距離為－，求橢圓方程． [解析]　設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)， 由橢圓的定義知Rt△B2OF中，有|B2F|＝a＝|B1F|， 又△B2FB1為等腰直角三角形， 則|OB2|＝

12、|OF|＝b，∴a＝c， 由已知|FA|＝a－c，則有 解之得c＝，故b＝，a＝. ∴所求橢圓方程為＋＝1. 21．(本題滿分12分)已知α∈，試討論當(dāng)α的值變化時，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示曲線的形狀． [解析]　當(dāng)α＝0時，sinα＝0，cosα＝1， 方程x2sinα＋y2cosα＝1化為y2＝1，即y＝±1，方程表示兩條直線， 當(dāng)0<α<時，0

13、<α<時，sinα>cosα>0， 方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦點在y軸上的橢圓； 當(dāng)α＝時，sinα＝1，cosα＝0， 方程x2sinα＋y2cosα＝1化為x＝±1， ∴方程表示兩條直線． 22．(本題滿分14分)已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，過其右焦點F作傾斜角為的直線，交橢圓于P、Q兩點，若OP⊥OQ，求此橢圓的離心率e. [解析]　設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線方程為y＝x－c， 由　得， (a2＋b2)x2－2a2cx＋a2c2－a2b2＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， 又y1＝x1－c，y2＝x2－c， ∴y1y2＝x1x2－c(x1＋x2)＋c2＝， ∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0， ∴＋＝0， 又b2＝a2－c2， 化簡得c4－4a2c2＋2a4＝0， ∴e4－4e2＋2＝0，e2＝2－，e＝.