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1、2022年高二數(shù)學(xué) 橢圓的幾何性質(zhì)知識精講 新人教版（文） 【本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 橢圓的幾何性質(zhì) 二. 本周教學(xué)重、難點(diǎn)： 1. 重點(diǎn)： 橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓的第二定義。 2. 難點(diǎn)： 焦半徑，焦點(diǎn)三角形 三. 知識梳理： 【典型例題】 [例1] 設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，若，，求橢圓的離心率為多少？ 解：方法一：∵ 又 ∵ ∴ ∴ ∴ 方法二：∵ ∴ ∴ 又 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ [例2] 過點(diǎn)M

2、（1，1）作直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，M恰為AB中點(diǎn)，求直線方程。 解：設(shè)A（）B（） ∴ ① ② ①－②： ∴ ∴ ∴ ∴ 即 [例3] 橢圓，，P為任一點(diǎn)，當(dāng)最大時，是否存在一直線過點(diǎn)（）交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且A、B在以P為圓心的圓上。 解：設(shè)A（），B（），直線AB的斜率為，線段AB中點(diǎn)M（） ∴ ① ② ①－②： ∴ ∴ ③ 又 ∵ PM⊥AB ∴ ④ ∴ ⑤ 又 ∵ ∴ 設(shè)，， 聯(lián)立③、④、⑤ ∴ ∴ 這樣的直線存在 方程為 [例4] 已知橢圓

3、的對稱軸是坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個焦點(diǎn)，A是一個頂點(diǎn)，若橢圓的長軸長是6，且，求橢圓的方程。 解：∵ 橢圓的長軸長是6， ∴ 點(diǎn)A不是長軸的端點(diǎn)（是短軸的端點(diǎn)） ∴ ， ∴ ∴ ， ∴ 橢圓的方程是或 [例5] 已知點(diǎn)A（1，2）在橢圓內(nèi)，F(xiàn)的坐標(biāo)為（2，0），在橢圓上求一點(diǎn)P使最小。 解：∵ ， ∴ ， ∴ F為橢圓的右焦點(diǎn)，并且離心率為 設(shè)P到右準(zhǔn)線的距離為，則， ∴ 由幾何性質(zhì)可知，當(dāng)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)（橫坐標(biāo)大于零）與A點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同時，最小。 把代入，得（負(fù)舍之），即P（）為所求 [例6] 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在軸上，離心

4、率，已知點(diǎn)P（0，）到這個橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)。 解法一：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為（其中，） 由，得 設(shè)橢圓上的點(diǎn)（）到點(diǎn)P的距離為 則 如果，即 那么當(dāng)時，取得最大值 由此得，與矛盾 因此必有 此時當(dāng)時，取得最大值 解得， 所求橢圓的參數(shù)方程是 由，求得橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)是（）與（） 解法二：設(shè)所求橢圓的方程為（） 由 解得 設(shè)橢圓上的點(diǎn)（）到點(diǎn)P的距離為 則 其中。如果，則當(dāng)時，取得最大值 解得，與矛盾 故必有 當(dāng)時，取得最大值 解

5、得， 所求橢圓方程為 由可求得到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)為（） [例7] 已知P點(diǎn)在橢圓上，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（），求的最大值和最小值。 解：∵ P點(diǎn)在橢圓上 ∴ 可設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（） 即， ∴ ∴ 當(dāng)時，最大，其最大值為 當(dāng)（）時，最小，其最小值為 [例8] 已知橢圓 （1）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程； （2）過A（2，1）的直線與橢圓相交，求被截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程； （3）過點(diǎn)P（）且被P點(diǎn)平分的弦所在直線的方程。 解： （1）設(shè)斜率為2的直線的方程為 由 得 由得 設(shè)平行弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為（）、（） ，

6、設(shè)弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（），則 ，代入，得為所求軌跡方程 （2）設(shè)與橢圓的交點(diǎn)為（）、（） 弦的中點(diǎn)為（），則， 兩式相減并整理得 又 ∵ ， ∴ ∴ ① 由題意知 代入①得=0 化簡得 ∴ 所求軌跡方程為（夾在橢圓內(nèi)的部分） （注：設(shè)的方程為，仿（1）的解法也可） （3）將，代入 得。故所求的直線方程為 【模擬試題】（答題時間：60分鐘） 一. 選擇： 1. 橢圓與的關(guān)系為（ ） A. 有相等的長、短軸 B. 有相等的焦距 C. 有相同的焦點(diǎn) D. 有相同的準(zhǔn)線 2. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，若長軸長為18，且兩個

7、焦點(diǎn)恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 橢圓的一個頂點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則此橢圓的離心率是（ ） A. B. C. D. 4. F（）是橢圓的一個焦點(diǎn)，F(xiàn)與橢圓上點(diǎn)的距離的最大值為，最小值為， 則橢圓上與點(diǎn)F距離為的點(diǎn)是（ ） A. B. C. D. 不存在 5. 橢圓上有一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為，那么P到右焦點(diǎn)的距離為（ ） A. 8 B. C. D. 6. 已知點(diǎn)P在橢圓上，并且P到直線：的距離最小

8、，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） A. B. C. D. 7. 曲線（為參數(shù)）的準(zhǔn)線方程是（ ） A. B. C. D. 8. 過橢圓左焦點(diǎn)作弦AB，以AB為直徑的圓與橢圓左準(zhǔn)線（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相離 D. 位置關(guān)系不確定 二. 填空： 1. P是橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是兩個焦點(diǎn)，則的最大值與最小值之差是 。 2. 一廣告氣球被一束平行光線投射到水平面上，其投影為橢圓，離心率是，則這束光線對于水平平面的入射角為 。 3. P點(diǎn)在橢圓

9、上運(yùn)動，點(diǎn)Q、R分別在圓，上運(yùn)動，則的最大值是 。 4. 橢圓，P為橢圓上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 。 三. 解答題： 1. 已知點(diǎn)A（）及橢圓，在橢圓上求一點(diǎn)P使的值最大。 2. 橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為和，過中心O作直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若的面積為20，求直線AB的方程。 3. 是橢圓的長軸，CD是垂直于長軸的弦，求直線和的交點(diǎn)P的軌跡方程。 4. 如下圖，A、B是兩個定點(diǎn)，，動點(diǎn)M到A點(diǎn)的距離是6，線段MB的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，直線垂直于AB，且B到的距離是。若以AB所在直線為軸，AB的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系。 （1）求證：點(diǎn)P

10、到點(diǎn)B的距離與直線的距離之比為定值。 （2）若P點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離之積為，當(dāng)取最大值時，求P點(diǎn)的坐標(biāo)。 （3）設(shè)直線與點(diǎn)P所在曲線相交于不同兩點(diǎn)C、D，定點(diǎn)G（），則使的正數(shù)是否存在？若存在，則求出其取值范圍；若不存在，請說明理由。 【試題答案】 一. 1. B 2. A 3. D 4. C 5. A 6. A 7. A 8. C 二. 1. 1 2. 3. 6 4. 三. 1. 解：∵ 點(diǎn)P在橢圓上 ∴ 設(shè)P的坐標(biāo)為 ∴ ∴ 當(dāng)時，最大，此時 ∴ P點(diǎn)的坐標(biāo)為（） 2. 解：

11、 設(shè)A（） ∵ AB過橢圓中心 ∴ B的坐標(biāo)為（） ∵ ∴ ，即 ∴ ，代入橢圓的方程得 ∴ 直線AB的方程為 3. 解：設(shè)P（），C（），D（） 由、、共線得 ① 由D、A、P共線得 ② 由①②聯(lián)立求出代入 得 整理得 4. （1）證明：A（），B（），： 由題意，且 ∴ 點(diǎn)P在橢圓上 ∴ ：為橢圓的右準(zhǔn)線，且右焦點(diǎn)為B（2，0），若到的距離為 則為定值 （2）解： 當(dāng)，即或時，取最大值 （3）解：設(shè)存在直線與P點(diǎn)所在曲線交于C（）、D（）兩點(diǎn)，CD中點(diǎn)為N（） 則， 即GN為CD的中垂線， 由得 由得 ① 又， ∴ ② 由①②得 ∴ 但由②得，二者矛盾，故這樣的正數(shù)不存在