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1、2022年高考數學 中等生百日捷進提升系列（綜合提升篇）專題07 選講內容（含解析） 幾何證明選講 【背一背重點知識】 1、比例線段有關定理 （1）平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。 推理1：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。 推理2：經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰。 （2）平分線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例。 2、相似三角形的判定及性質 （1）相似三角形

2、的判定： 定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似三角形對應邊的比值叫做相似比（或相似系數）。 判定定理1：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似。 判定定理2：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。 判定定理3：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似。簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似。 （2）

3、相似三角形的性質： 性質1：相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應平分線的比都等于相似比； 性質:2：相似三角形周長的比等于相似比； 性質3：相似三角形面積的比等于相似比的平方。 注：相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。 3、直角三角形的射影定理 射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。 4、圓周角定理 圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓周角的一半。 圓心角定理：圓心角的度數等于它所對弧的度數。 推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相

4、等的圓周角所對的弧相等。 推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。 5、圓內接四邊形的性質與判定定理 定理1：圓的內接四邊形的對角互補。 定理2：圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角。 圓內接四邊形判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓。 推論：如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓。 6、圓的切線的性質及判定定理 切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑。 推論1：經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點。 推論2：經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心。 切線的判定定理：經過半徑的外

5、端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。 7、弦切角的性質 弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。 8、與圓有關的比例線段（圓冪定理） 相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。 割線定理：從園外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。 切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。 【講一講提高技能】 1、 相似三角形的判定與性質的應用 （1） 判定兩個三角形相似的方法：兩角對應相

6、等，兩三角形相似；兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似；三邊對應成比例，兩三角形相似；相似三角形的定義． （2） 證明線段成比例，若已知條件中沒有平行線，但有三角形相似的條件(如角相等，有相等的比例式等)，?？紤]相似三角形的性質構造比例式或利用中間比求解． (3)相似三角形的性質應用可用來考查與相似三角形相關的元素，如兩個三角形的高、周長、角平分線、中線、面積、外接圓的直徑、內切圓的面積等． 例1如圖3，在平行四邊形中，點在上且，與交于點，則 . 【解析】 2、四點共圓的證明方法 （1）求證四邊形的一個外角等于與它不相鄰的內角

7、；（2）當它們在一條線段同側時，可證它們對此線段張角相等，也可以證明它們與某一定點距離相等；如兩點在一條線段異側，則證明它們與線段兩端點連成的凸四邊形對角互補。 例2如圖，在正中，點分別在邊上，且，相交于點．求證： （Ⅰ）四點共圓； （Ⅱ）． 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析． 【解析】 平面幾何中有關角與比例線段問題的求解方法 （1）與切線有關的角度問題，應考慮應用弦切角的性質定理求解； （2）與切線有關的比例式或線段問題，應注意利用弦切角，確定三角形相似的條件，若條件不明顯需添加輔助線． （3）與圓有關的等積線段或成比例的線段，常利用圓周角或弦切角證明三

8、角形相似，在相似三角形中尋找比例線段；也可以利用相交弦定理、切割線定理證明線段成比例，在實際應用中，一般涉及兩條相交弦應首先考慮相交弦定理，涉及兩條割線就要想到割線定理，見到切線和割線時要注意應用切割線定理． 例3過點作圓的割線與切線為切點，連接，的平分線與，分別交于點． （1）求證：； （2）若求的大小． 【答案】（1）見解析；（2） 【解析】 【練一練提升能力】 1. 如圖，為⊙的兩條切線，切點分別為，過的中點作割線交⊙于兩點，若則 . 分析：根據切割線定理得，變形即得. 【解析】由切割線定理得，所以，所以. 2. 如圖，為⊙外一點，交⊙于，

9、，切⊙于為線段的中點，交⊙于，線段的延長線與⊙交于，連接．求證： （Ⅰ）∽； （Ⅱ）． 【答案】詳見解析． 【解析】 極坐標與參數方程 【背一背重點知識】 1.平面直角坐標系中的伸縮變換： 2.極坐標系 （1）極坐標系的概念：平面內取一個定點,叫做極點,自極點引一條射線,叫做極軸;再選定一個長度單位,一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐標系.設M是平面內一點,極點與點M的距離|OM|叫做點M的極徑,記為;以極軸為始邊,射線為終邊的角叫做點M的極角,記為.有序數對叫做點M的極坐標,記作. （2）直角坐標與極

10、坐標的互化：把直角坐標系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位.設是坐標平面內任意一點,它的直角坐標是,極坐標是,則極坐標與直角坐標的互化公式如表: 點 直角坐標 極坐標 互化公式 （3） 常見曲線的極坐標方程： 曲線 圖形 極坐標方程 圓心在極點,半徑為的圓 圓心為,半徑為的圓 圓心為,半徑為的圓 過極點,傾斜角為的直線 (1) (2) 過點,與極軸垂直的直線 過點,與極軸平行的直線 3、參數方程 （1）參數方程的概念：一般地,在平面直角坐標系中,如果曲

11、線上任意一點的坐標都是某個變數的函數①,并且對于的每一個允許值,由方程組①所確定的點都在這條曲線上,那么方程①就叫做這條曲線的參數方程,聯系變數的變數叫做參變數,簡稱參數,相對于參數方程而言,直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程. （2）參數方程和普通方程的互化：曲線的參數方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地可以通過消去參數而從參數方程得到普通方程.在參數方程與普通方程的互化中,必須使的取值范圍保持一致. （3）常見曲線的參數方程： ①圓的參數方程為 （為參數）； ②橢圓的參數方程為 （為參數）； ③雙曲線的參數方程 （為參數）； ④拋物線參數方程 為參數）； ⑤

12、過定點、傾斜角為的直線的參數方程（為參數）。 【講一講提高技能】 1、 極坐標方程與直角坐標方程的互化方法 若極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與軸正半軸重合，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，則極坐標方程與直角坐標方程可以互化，極坐標方程化為直角坐標方程時通常通過構造的形式，其中方程兩邊同乘以或同時平方是常用的變形方法，要注意變形的等價性。 例1以為極點的極坐標系中，圓和直線相交于兩點．若是等邊三角形，則的值為___________． 分析：根據極坐標與直角坐標的互化公式，得到圓、直線的直角坐標方程，由是等邊三角形，得到其中一個交點坐標為，代入圓的方程即得. 【

13、解析】 2、參數方程與普通方程的互化方法 ①將參數方程化為普通方程，需要根據參數方程的結構特征，選取適當的消參方法．常見的消參方法有：代入消參法、加減消參法，平方消參法等，對于含三角函數的參數方程，常利用同角三角函數關系式消參如sin2θ＋cos2θ＝1等；②將參數方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解． 例2在直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線過點的直線（為參數）與曲線相交于點兩點． （1）求曲線的平面直角坐標系方程和直線的普通方程； （2）若成等比數列，求實數的值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 3、利用參數方程解決

14、問題的方法 ①過定點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線參數方程的標準式為 (t為參數)，t的幾何意義是直線上的點P到點P0(x0，y0)的數量，即t＝|PP0|時為距離．使用該式時直線上任意兩點P1、P2對應的參數分別為t1、t2，則|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中點對應的參數為(t1＋t2)． ②對于形如 (t為參數)，當a2＋b2≠1時，應先化為標準形式后才能利用t的幾何意義解題． ③解決直線與圓、圓錐曲線的參數方程有關的綜合問題時，要注意普通方程與參數方程的互化公式，主要是通過互化解決與圓、圓錐曲線上動點有關的問題，如最值、范圍等． 例3在極坐標系中，已知曲線，為曲線

15、上的動點，定點． （1）將曲線的方程化成直角坐標方程，并說明它是什么曲線； （2）求、兩點的最短距離． 【答案】（1）曲線的直角坐標方程為：且曲線是以為圓心，為半徑的圓；（2）． 【解析】 【練一練提升能力】 1. 在直角坐標系xoy中，以坐標原點為極點，x軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為， . （Ⅰ）求C的參數方程； （Ⅱ）設點D在C上，C在D處的切線與直線垂直，根據（Ⅰ）中你得到的參數方程，確定D的坐標. 【答案】（Ⅰ）是參數，；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）設點M是C上任意一點，則由可得C的普通方程為：， 即， 所以C的參數方程為是參數，. （Ⅱ）設D點坐

16、標為，由（Ⅰ）知C是以G（1，0）為圓心，1為半徑的上半圓， 因為C在點D處的切線與垂直，所以直線GD與的斜率相同，，， 故D點的直角坐標為，即. 2. 已知曲線，直線：（為參數）. （I）寫出曲線的參數方程，直線的普通方程； （II）過曲線上任意一點作與夾角為的直線，交于點，的最大值與最小值． 【答案】（I）；（II）最大值為，最小值為. 【解析】 不等式選講 【背一背重點知識】 1． 三個正數的算術——幾何平均不等式： (1)定理3：如果a，b，c∈　，那么，當且僅當時，等號成立． 即三個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數

17、． (2) 基本不等式的推廣：對于n個正數a1，a2，…，an，它們的算術平均數不小于它們的幾何平均數，即，當且僅當a1＝a2＝…＝an 時，等號成立． 2. 柯西不等式： (1)二維形式：若a，b，c，d都是實數，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥ (ac＋bd)2，當且僅當 時，等號成立． (2)向量形式：設α、β是兩個向量，則|α·β|≤|α||β|，當且僅當β是向量或存在實數k使α＝kβ時等號成立． (3)一般形式：設a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實數，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當且僅當＝

18、0 (i＝1,2，…，n)或存在一個實數k，使得 (i＝1,2，…，n)時，等號成立． (4)二維形式的柯西不等式變式：①·≥|ac＋bd|； ②·≥|ac|＋|bd|. 3. 排序不等式： (1) 亂序和、反序和與順序和：設a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn∈R，且a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn，設c1，c2，c3，…，cn是數組b1，b2，b3，…，bn的任意一個排列，則分別將S＝a1c1＋a2c2＋a3c3＋…＋ancn，S1＝a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2

19、＋…＋anb1，S2＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn稱為數組(a1，a2，a3，…，an)和數組(b1，b2，b3，…，bn)的亂序和,反序和，與順序和． (2)排序不等式(又稱排序原理)：設a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn為兩組實數，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，則a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，當且僅當a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn時，反序和等于亂序和等于順序和. 4. 絕對值不等式： (1)定理1：如果a，b是實數，則|a＋b|≤|a|＋|b|

20、，當且僅當ab≥0時，等號成立． (2)定理2：如果a，b，c是實數，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當且僅當 時，等號成立． 【講一講提高技能】 1、 絕對值不等式的解法 （1） |ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c(c>0)－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c(c>0)ax＋b≥c或ax＋b≤－c。 （2） 、|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法：①分段討論法：利用絕對值號內式子對應方程的根，將數軸分為(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此處設a<

21、b)三個部分，在每個部分上去掉絕對值號分別列出對應的不等式求解，然后取各個不等式解集的并集；②幾何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的幾何意義：數軸上到點x1＝a和x2＝b的距離之和大于c的全體，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|；③圖象法：作出函數y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的圖象，結合圖象求解．注意求解的過程中應同解變形 . 例1設 （Ⅰ）當，解不等式； （Ⅱ）當時，若，使得不等式成立，求實數的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ． 【解析】 絕對值不等式的證明 含絕對值不等式的證明題主要分兩類：一類是比較簡單的不等式，往往可通過

22、公式法、平方法、換元法等去掉絕對值轉化為常見的不等式證明題，或利用絕對值三角不等式性質定理： ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通過適當的添、拆項證明；另一類是綜合性較強的函數型含絕對值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立則特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法來證明． 例2已知函數． （1）當時，求不等式的解集； （2）若的解集包含，求實數的取值范圍． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 3、不等式證明的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。 例3已知，證明 分析：直接利用算術－幾何平均不等式可得，，兩式相乘即得要證不等式． 【

23、解析】∵，∴,, ∴. 【練一練提升能力】 1. 已知，函數的最小值為4． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最小值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 2.設a，b，c均為正數，且a＋b＋c＝1，證明： (1)＋＋≤； (2). 【答案】（略） 【解析】(1)由， 得. 由題設得，即. 所以3()1，即. (2)因為，，， 故≥2(a＋b＋c)， 即≥a＋b＋c. 所以≥1. 解答題（共10題） 1.如圖，是的一條切線，切點為B，ADE，CFD和CGE都是的割線，． （1）證明：； （2）證明： 【答案】（1）證明略；（2

24、）證明略． 【解析】 （2）由（1）知， 又 ，∴ ，∴ 又四邊形DEGF為圓內接四邊形，∴ ， ∴，∴ ． 2.如圖,已知切⊙于點E,割線PBA交⊙于A、B兩點,∠APE的平分線和AE、BE分別交于點C、D. 求證:(Ⅰ); (Ⅱ). 【解析】 3、如圖,垂直于于,垂直于,連接.證明: (I) (II) 【解析】 4、已知曲線的參數方程為（其中為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為． （1）分別寫出曲線與曲線的普通方程； （2）若曲線與曲線交于兩點，求線段的長． 【答案】（1），；（2

25、）． 【解析】 試題分析：（1）利用同角三角函數關系消去參數，得曲線，利用，得曲線； （2）把曲線和曲線聯立消去得，結合弦長公式即可求得弦的長． 試題解析： （1）曲線， 曲線． （2）聯立，得， 設，則，， 于是． 故線段的長為． 5、已知動點都在曲線為參數上,對應參數分別為與,為的中點. (Ⅰ)求的軌跡的參數方程; (Ⅱ)將到坐標原點的距離表示為的函數,并判斷的軌跡是否過坐標原點. 【解析】 6、在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）．在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標中，圓的方程為． （1）寫出直線的普通方程和圓的直角坐標方程； （2

26、）若點坐標為，圓與直線交于兩點，求的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 試題分析：（1)將參數方程轉化為直角坐標系下的普通方程，需要根據參數方程的結構特征，選取恰當的消參方法，常見的消參方法有：代入消參法、加減消參法、平方消參法；(2）將參數方程轉化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解、漏解，若有范圍限制，要標出的取值范圍；（2）直角坐標方程化為極坐標方程，只需把公式及直接代入并化簡即可；而極坐標方程化為極坐標方程要通過變形，構造形如，，的形式，進行整體代換，其中方程的兩邊同乘以（或同除以）及方程的兩邊平方是常用的變形方法． 7、設不等式的解集為,且,. (1)

27、求的值; (2)求函數的最小值. 【解析】(Ⅰ)因為,且,所以,且 解得,又因為,所以 (Ⅱ)因為 當且僅當,即時取得等號,所以的最小值為 8、已知函數,,． （1）當時,解不等式: ； （2）若且,證明：，并求在等號成立時的取值范圍． 【解析】（1）因為, 9、設函數． （1）當時，解不等式； （2）若的解集為，，求證：． 【答案】（1）；（2）見解析． 【解析】 試題分析：（1）當時，對原函數進行分情況解不等式，得到原不等式的解集；（2）根據的解集為，得到，所以，所以， 利用均值不等式得到，結論得證． 10、已知函數,其中. (I)當時,求不等式的解集; (II)已知關于的不等式的解集為,求的值. 【解析】當時，。，即。 當時，，即，解得； 當時，，即，不成立； 當時，，即，解得。 所以不等式的解集為。…………………………4分 （Ⅱ）解：記，則。