《2022年高二數(shù)學(xué) 1、3-4生活中的優(yōu)化問題舉例同步練習(xí) 新人教A版選修1-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高二數(shù)學(xué) 1、3-4生活中的優(yōu)化問題舉例同步練習(xí) 新人教A版選修1-1（7頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高二數(shù)學(xué) 1、3-4生活中的優(yōu)化問題舉例同步練習(xí) 新人教A版選修1-1 一、選擇題 1．將8分解為兩個非負(fù)數(shù)之和，使其立方之和為最小，則分法為(　　) A．2和6　　　　　　　 B．4和4 C．3和5 D．以上都不對 [答案]　B [解析]　設(shè)一個數(shù)為x，則另一個數(shù)為8－x，則y＝x3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4. 當(dāng)0≤x<4時(shí)，y′<0；當(dāng)40，所以x＝4時(shí)，y最小． 2．某箱子的容積與底面邊長的關(guān)系為V(x)＝x2(0

2、箱子底面邊長為(　　) A．30 B．40 C．50 D．以上都不正確 [答案]　B 3．用邊長為48cm的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒．所做的鐵盒容積最大時(shí)，在四角截去的正方形的邊長為(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 [答案]　B [解析]　設(shè)截去的小正方形的邊長為xcm，鐵盒的容積為Vcm3，由題意，得V＝x(48－2x)2(0

3、4．內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為(　　) A．R B．2R C.R D.R [答案]　C [解析]　設(shè)圓錐高為h，底面半徑為r， 則R2＝(R－h(huán))2＋r2，∴r2＝2Rh－h(huán)2， ∴V＝πr2h＝h(2Rh－h(huán)2)＝πRh2－h(huán)3， ∴V′＝πRh－πh2，令V′＝0得h＝R， 當(dāng)00；當(dāng)R

4、．圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，為了使所用材料最省，它的高與底半徑應(yīng)為(　　) A．h＝2R B．h＝R C．h＝R D．h＝ [答案]　A 7．以長為10的線段AB為直徑畫半圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為(　　) A．10 B．15 C．25 D．50 [答案]　C [解析]　如圖，設(shè)∠NOB＝θ，則矩形面積S＝5sinθ·2·5cosθ＝50sinθ·cosθ＝25sin2θ，故Smax＝25. 8．設(shè)圓柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)，底面半徑為(　　) A. B. C. D．2 [答案]　

5、D [解析]　設(shè)底面圓半徑為x，高為h，則V＝πr2h， ∴h＝.∴S表＝2S底＋S側(cè)＝2πr2＋2πr·h＝2πr2＋2πr·＝2πr2＋. ∴S表′＝4πr－，∴V＝， 又當(dāng)x∈(0，)時(shí)，S表′<0；當(dāng)x∈(，V)時(shí)，S表′>0，∴當(dāng)r＝時(shí)，表面積最?。? 9．福建煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x小時(shí)時(shí)，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是(　　) A．8 B. C．－1 D．－8 [答案]　C [解析]　瞬時(shí)變化率即為f′(x)＝x2－2x為二次函數(shù)，且f′

6、(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]， 故x＝1時(shí)，f′(x)min＝－1. 10．若一球的半徑為r，作內(nèi)接于球的圓柱，則其圓柱側(cè)面積最大為(　　) A．2πr2 B．πr2 C．4πr2 D.πr2 [答案]　A [解析]　設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r1，高為t， 則S＝2πr1t＝2πr12＝4πr1. ∴S＝4π. 令(r2r－r)′＝0得r1＝r. 此時(shí)S＝4π·r· ＝4π·r·r＝2πr2. 二、填空題 11．把長為60cm的鐵絲圍成矩形，長為________，寬為________時(shí)，矩形的面積最大． [答案]　15cm　15cm

7、 [解析]　設(shè)長為xcm，則寬為(30－x)cm，此時(shí)S＝x·(30－x)＝30x－x2，S′＝30－2x＝0，所以x＝15.所以長為15cm，寬為15cm時(shí)，矩形的面積最大． 12．將長為l的鐵絲剪成2段，各圍成長與寬之比為21及32的矩形，則面積之和的最小值為________． [答案]　l2 [解析]　設(shè)前者寬為x，面積之和為y，則 y＝2x·x＋(l－6x)·(l－6x) ＝x2－lx＋l2， y′＝x－l，令y′＝0得，x＝l， ∴ymin＝l2. 13．做一個容積為256的方底無蓋水箱，它的高為________時(shí)最省料． [答案]　4 [解析]　設(shè)底面邊長為

8、x，則高為h＝，其表面積為S＝x2＋4××x＝x2＋，S′＝2x－，令S′＝0，則x＝8，則當(dāng)高h(yuǎn)＝＝4時(shí)S取得最小值． 14．做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27π，且用料最小，則圓柱的底面半徑為________． [答案]　3 [解析]　設(shè)圓柱的底面半徑為R，母線長為L，則V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只需使圓柱形表面積最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π， ∴S′(R)＝2πR－＝0，令S′＝0得R＝3， ∴當(dāng)R＝3時(shí)，S表最小． 三、解答題 15．某公司規(guī)定：對于小于或等于150件的訂購合同，每件售價(jià)為200元，對于多于150件的訂購合同，每超

9、過一件，則每件的售價(jià)比原來減少1元，試問訂購多少件的合同將會使公司的收益最大？ [解析]　設(shè)x表示銷售的件數(shù)，R表示公司的收益，則R等于每件的售價(jià)x×銷售件數(shù)，當(dāng)x>150時(shí)，則R＝[200－(x－150)]x＝350x－x2為公司收益，先求R′(x)＝350－2x，令R′(x)＝0，得x＝175時(shí)，R有最大值．最大收益為R＝350×175－(175)2＝30625，而當(dāng)一份合同訂購的件數(shù)超過175時(shí)，則公司的收益開始減?。? 16．如圖，水渠橫斷面為等腰梯形，水的橫斷面面積為S，水面的高為h，問側(cè)面與地面成多大角度時(shí)，才能使橫斷面被水浸濕的長度最?。? [解析]　設(shè)浸濕的長度為l，

10、AB＝CD＝x， 則l＝BC＋2x＝－xcosθ＋2x＝＋(2－cosθ)·x ＝＋(2－cosθ)·， ∴l(xiāng)′＝h·＝h·. 令l′＝0，即h·＝0，解得cosθ＝. ∴θ＝60°.∵l只有一個極值，∴它是最小值． 將θ＝60°代入l＝＋(2－cosθ)·， 解得lmin＝＋h. ∴當(dāng)側(cè)面與地面成60°角時(shí)，才能使橫斷面被水浸濕的長度最?。? 17．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本(固定投入)為2500元，已知每生產(chǎn)x件這樣的產(chǎn)品需要再增加可變成本C(x)＝200x＋x3(元)，若生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能以每件500元售出，要使利潤最大，該廠應(yīng)生產(chǎn)多少件這種產(chǎn)品？最大利潤是多少？ [解析

11、]　設(shè)該廠生產(chǎn)x件這種產(chǎn)品利潤為L(x) 則L(x)＝500x－2500－C(x) ＝500x－2500－ ＝300x－x3－2500(x∈N) 令L′(x)＝300－x2＝0，得x＝60(件) 又當(dāng)0≤x<60時(shí)，L′(x)>0 x>60時(shí)，L′(x)<0 所以x＝60是L(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)． 所以當(dāng)x＝60時(shí)，L(x)＝9500元． 18．用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為21，問該長方體的長、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？ [解析]　設(shè)長方體的寬為xm，則長為2xm，高為h＝＝4.5－3x(m)，故長方體的體積為V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3. 因?yàn)閂′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，令V′(x)＝0，所以x＝0(舍)或x＝1. 當(dāng)00，當(dāng)1