2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示教案 理 新人教A版
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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考 1.考查平面向量基本定理的應(yīng)用;2.考查向量的坐標(biāo)表示和向量共線的應(yīng)用. 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.理解平面向量基本定理的意義、作用;2.運(yùn)用定理表示向量,然后再進(jìn)行向量運(yùn)算. 1. 平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 其中,不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底. 2. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模 設(shè)a=
2、(x1,y1),b=(x2,y2),則 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2), λa=(λx1,λy1),|a|=. (2)向量坐標(biāo)的求法 ①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo). ②設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1),||=. 3. 平面向量共線的坐標(biāo)表示 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.a∥b?x1y2-x2y1=0. [難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源] 1. 基底的不唯一性 只要兩個(gè)向量不共線,就可以作為平面的一組基底,對(duì)基底的選取不唯一,平面內(nèi)任意向量a都可被這個(gè)平面的一組基底
3、e1,e2線性表示,且在基底確定后,這樣的表示是唯一的. 2. 向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別 在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量=a,點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定,此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x,y),但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別,如點(diǎn)A(x,y),向量a==(x,y). 當(dāng)平面向量平行移動(dòng)到時(shí),向量不變即==(x,y),但的起點(diǎn)O1和終點(diǎn)A1的坐標(biāo)都發(fā)生了變化. 1. 在平行四邊形ABCD中,E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn),若=λ+μ,其中λ,μ∈R,則λ+μ=________. 答案 解析 因?yàn)椋剑?,又=+? =+, 所以=λ+μ=+, 得到λ+μ=1,λ+μ=1,兩
4、式相加得λ+μ=. 2. 在?ABCD中,AC為一條對(duì)角線,=(2,4),=(1,3),則向量的坐標(biāo)為__________. 答案 (-3,-5) 解析 ∵+=,∴=-=(-1,-1), ∴=-=-=(-3,-5). 3. 已知向量a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b與b平行,則k=________. 答案 0 解析 由ka+b與b平行得-3(2k+2)=2(k-3),∴k=0. 4. 若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),則c等于 ( ) A.3a+b B.3a-b C.-a+3b D.a(chǎn)+3b 答案
5、 B 解析 由已知可設(shè)c=xa+yb, 則,∴. 5. (xx·廣東)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ為實(shí)數(shù),(a+λb)∥c,則λ等于( ) A. B. C.1 D.2 答案 B 解析 a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),而c=(3,4),由(a+λb)∥c得4(1+λ)-6=0,解得λ=. 題型一 平面向量基本定理的應(yīng)用 例1 已知點(diǎn)G為△ABC的重心,過G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn),且=x,=y(tǒng),求+的值. 思維啟迪:以,為基底來表示向量,建立x,y的關(guān)系. 解 根據(jù)題意知G
6、為三角形的重心, 故=(+), =-=(+)-x =+, =-=y(tǒng)- =y(tǒng)-(+) =-, 由于與共線,根據(jù)共線向量定理知 =λ?+ =λ, ∵,不共線, ∴?= ?x+y-3xy=0, 兩邊同除以xy得+=3. 探究提高 利用基底表示未知向量,實(shí)質(zhì)就是利用向量的加、減法及數(shù)乘進(jìn)行線性運(yùn)算;向量的表示是向量應(yīng)用的前提. 如圖,在△ABC中,=,P是BN上的一點(diǎn),若 =m+,則實(shí)數(shù)m的值為_____. 答案 解析 設(shè)||=y(tǒng),||=x, 則=+=-,① =+=+,② ①×y+②×x得=+, 令=,得y=x,代入得m=. 題型二 向量坐標(biāo)的基本
7、運(yùn)算 例2 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).設(shè)=a,=b,=c,且=3c,=-2b, (1)求3a+b-3c; (2)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n; (3)求M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo). 解 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n), ∴解得 (3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),∵=-=3c, ∴=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). ∴M(0,20)
8、.又∵=-=-2b, ∴=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ∴N(9,2).∴=(9,-18). 探究提高 向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行.若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo),解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則. 已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(4,2),B(5,7),C(-3,4),則第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是__________________. 答案 (-4,-1)或(12,5)或(-2,9) 解析 設(shè)頂點(diǎn)D(x,y). 若平行四邊形為ABCD,則由=(1,5), =(-3-x,4-y),得所以 若平行四邊
9、形為ACBD,則由=(-7,2), =(5-x,7-y),得所以 若平行四邊形為ABDC,則由=(1,5), =(x+3,y-4),得所以 綜上所述,第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-4,-1)或(12,5)或(-2,9). 題型三 共線向量的坐標(biāo)表示 例3 平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),請(qǐng)解答下列問題: (1)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求實(shí)數(shù)k; (3)若d滿足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=,求d. 思維啟迪:(1)向量相等對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等,列方程解之. (2)由兩向量平行的條件列方程解之.
10、 (3)設(shè)出d=(x,y),由平行關(guān)系列方程,由模為列方程,聯(lián)立方程組求解. 解 (1)由題意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1), 所以,得. (2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∵(a+kc)∥(2b-a), ∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0, ∴k=-. (3)設(shè)d=(x,y),d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4), 由題意得, 解得或, ∴d=(3,-1)或d=(5,3). 探究提高 (1)運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示,使向量的運(yùn)算完全代數(shù)化,將數(shù)與形有機(jī)的結(jié)合. (2)根據(jù)平行的條件建立方程求參數(shù),是解決這類題目的
11、常用方法,充分體現(xiàn)了方程思想在向量中的應(yīng)用. (xx·北京)已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,).若(a-2b)與c共線,則k=________. 答案 1 解析 a-2b=(,1)-2(0,-1)=(,3), 又∵(a-2b)與c共線,∴(a-2b)∥c, ∴×-3×k=0,解得k=1. 忽視平面向量基本定理的使用條件致誤 典例:(12分)已知=a,=b,=c,=d,=e,設(shè)t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),那么t為何值時(shí),C,D,E三點(diǎn)在一條直線上? 易錯(cuò)分析 本題可以根據(jù)向量共線的充要條件列出等式解決,但在得出等式后根據(jù)平面向
12、量基本定理列式解決時(shí),容易忽視平面向量基本定理的使用條件,出現(xiàn)漏解,漏掉了當(dāng)a,b共線時(shí),t可為任意實(shí)數(shù)這個(gè)解. 規(guī)范解答 解 由題設(shè),知=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k,使得=k,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb, 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.[4分] ①若a,b共線,則t可為任意實(shí)數(shù);[7分] ②若a,b不共線,則有 解之得t=.[10分] 綜上,可知a,b共線時(shí),t可為任意實(shí)數(shù); a,b不共線時(shí),t=.[12分] 溫馨提醒 平面向量基本定理是平面向量知識(shí)體系的基石,在解題中有至關(guān)重要
13、的作用,在使用時(shí)一定要注意兩個(gè)基向量不共線這個(gè)條件. 方法與技巧 1.平面向量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則,將向量進(jìn)行分解. 2.向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示,其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵,通過坐標(biāo)運(yùn)算可將一些幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題處理,從而向量可以解決平面解析幾何中的許多相關(guān)問題. 3.在向量的運(yùn)算中要注意待定系數(shù)法、方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用. 失誤與防范 1.要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)的不同,向量的坐標(biāo)等于表示向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減始點(diǎn)坐標(biāo);向量坐標(biāo)中既有大小的信息,又有方向的信息. 2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充
14、要條件不能表示成=,因?yàn)閤2,y2有可能等于0,所以應(yīng)表示為x1y2-x2y1=0. A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間:35分鐘,滿分:57分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1. 與向量a=(12,5)平行的單位向量為 ( ) A. B. C.或 D. 答案 C 解析 設(shè)e為所求的單位向量, 則e=±=±. 2. 如圖,在△OAB中,P為線段AB上的一點(diǎn),=x+y,且 =2,則 ( ) A.x=,y= B.x=,y= C.x=,y= D.x=,y= 答案 A 解析 由題意知=+,又=2
15、,所以=+=+(-)=+,所以x=,y=. 3. 已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),則c等于 ( ) A.-a+b B.a-b C.-a-b D.-a+b 答案 B 解析 設(shè)c=λa+μb, ∴(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1), ∴,∴,∴c=a-b. 4. 在△ABC中,點(diǎn)P在BC上,且=2,點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn),若=(4,3),=(1,5),則等于 ( ) A.(-2,7) B.(-6,21) C.(2,-7) D.(6,-21) 答案 B
16、解析 =3=3(2-)=6-3 =(6,30)-(12,9)=(-6,21). 二、填空題(每小題5分,共15分) 5. 若三點(diǎn)A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab≠0)共線,則+的值為________. 答案 解析?。?a-2,-2),=(-2,b-2), 依題意,有(a-2)(b-2)-4=0, 即ab-2a-2b=0,所以+=. 6. 已知向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且u∥v,則實(shí)數(shù)x的值為________. 答案 解析 因?yàn)閍=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b, 所以u(píng)=(1,2)+2(x,
17、1)=(2x+1,4), v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3), 又因?yàn)閡∥v,所以3(2x+1)-4(2-x)=0, 即10x=5,解得x=. 7. 在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A、B、C三點(diǎn)滿足=+,則=________. 答案 解析 ∵OC=+, ∴-=-+=(-), ∴=,∴=. 三、解答題(共22分) 8. (10分)已知a=(1,2),b=(-3,2),是否存在實(shí)數(shù)k,使得ka+b與a-3b共線,且方向相反? 解 若存在實(shí)數(shù)k, 則ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2). a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-
18、4). 若向量ka+b與向量a-3b共線,則必有(k-3)×(-4)-(2k+2)×10=0,解得k=-. 這時(shí)ka+b=,所以ka+b=-(a-3b). 即兩個(gè)向量恰好方向相反,故題設(shè)的實(shí)數(shù)k存在. 9. (12分)如圖所示,M是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且滿足條件+2+3=0, 延長(zhǎng)CM交AB于N,令=a,試用a表示. 解 因?yàn)椋剑?,=+? 所以由+2+3=0,得 (+)+2(+)+3=0, 所以+3+2+3=0. 又因?yàn)锳,N,B三點(diǎn)共線,C,M,N三點(diǎn)共線, 由平面向量基本定理,設(shè)=λ,=μ, 所以λ+3+2+3μ=0. 所以(λ+2)+(3+3μ)=0. 由于和不
19、共線,由平面向量基本定理, 得所以 所以=-=,=+=2=2a. B組 專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間:25分鐘,滿分:43分) 一、選擇題(每小題5分,共15分) 1. 若平面向量b與向量a=(1,-2)的夾角是180°,且|b|=3,則b等于 ( ) A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3) 答案 A 解析 方法一 設(shè)b=(x,y),由已知條件 整理得 解得 ∴b=(-3,6). 方法二 設(shè)b=(x,y),由已知條件 解得或(舍去),∴b=(-3,6). 方法三 ∵|a|=,∴a=, 則b=-3=(-3,6)
20、. 2. 已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,則2a+3b等于 ( ) A.(-2,-4) B.(-3,-6) C.(-4,-8) D.(-5,-10) 答案 C 解析 由a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,得1×m=2×(-2)?m=-4,從而b=(-2,-4),那么2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8). 3. 已知A(-3,0),B(0,2),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)C在∠AOB內(nèi),|OC|=2,且∠AOC=,設(shè)= λ+(λ∈R),則λ的值為 ( ) A.1 B.
21、C. D.
答案 D
解析 過C作CE⊥x軸于點(diǎn)E(圖略).
由∠AOC=,知|OE|=|CE|=2,
所以=+=λ+,
即=λ,
所以(-2,0)=λ(-3,0),故λ=.
二、填空題(每小題5分,共15分)
4. △ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),且p∥q,則角C=________.
答案 60°
解析 因?yàn)閜∥q,則(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,
所以a2+b2-c2=ab,=,
結(jié)合余弦定理知,cos C=,
又0° 22、,4),直線y=ax與線段AB交于C,且=2,則實(shí)數(shù)a=________.
答案 2
解析 設(shè)C(x,y),則=(x-7,y-1),=(1-x,4-y),
∵=2,∴,解得.
∴C(3,3).又∵C在直線y=ax上,
∴3=a·3,∴a=2.
6. 設(shè)=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若A、B、C三點(diǎn)共線,則+的最小值是________.
答案 8
解析 據(jù)已知得∥,
又∵=(a-1,1),=(-b-1,2),
∴2(a-1)-(-b-1)=0,∴2a+b=1,
∴+=+
=4++≥4+2=8,
當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=,b=時(shí)取 23、等號(hào),
∴+的最小值是8.
三、解答題
7. (13分)已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),A(0,2),B(4,6),=t1+t2.
(1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件;
(2)求證:當(dāng)t1=1時(shí),不論t2為何實(shí)數(shù),A、B、M三點(diǎn)都共線;
(3)若t1=a2,求當(dāng)⊥且△ABM的面積為12時(shí)a的值.
(1)解?。絫1+t2=t1(0,2)+t2(4,4)
=(4t2,2t1+4t2).
當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí),有
故所求的充要條件為t2<0且t1+2t2≠0.
(2)證明 當(dāng)t1=1時(shí),由(1)知=(4t2,4t2+2).
∵=-=(4,4),
=-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2,
∴A、B、M三點(diǎn)共線.
(3)解 當(dāng)t1=a2時(shí),=(4t2,4t2+2a2).
又=(4,4),⊥,∴4t2×4+(4t2+2a2)×4=0,
∴t2=-a2,故=(-a2,a2).
又||=4,點(diǎn)M到直線AB:x-y+2=0的距離
d==|a2-1|.∵S△ABM=12,
∴|AB|·d=×4×|a2-1|=12,
解得a=±2,故所求a的值為±2.
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