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2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 2.7函數(shù)的圖象教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 2.7函數(shù)的圖象教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考 1.考查基本初等函數(shù)的圖象;2.考查圖象的性質(zhì)及變換;3.考查圖象的應(yīng)用. 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.會(huì)畫一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象;2.掌握常見的平移、伸縮、對(duì)稱三種圖象變換;3.利用圖象解決一些方程解的個(gè)數(shù),不等式解集等問題,鞏固數(shù)形結(jié)合思想. 1. 描點(diǎn)法作圖 方法步驟:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)化簡函數(shù)的解析式;(3)討論函數(shù)的性質(zhì)即奇偶性、 周期性、單調(diào)性、最值(甚至變化趨勢);(4)描點(diǎn)連線,畫出函數(shù)的圖象. 2. 圖象變換 (1)平移變換

2、 (2)對(duì)稱變換 ①y=f(x)y=-f(x); ②y=f(x)y=f(-x); ③y=f(x)y=-f(-x); ④y=ax (a>0且a≠1)y=logax(a>0且a≠1). (3)翻折變換 ①y=f(x)y=|f(x)|. ②y=f(x)y=f(|x|). (4)伸縮變換 ①y=f(x) y=f(ax). ②y=f(x)y=af(x). [難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源] 1. 數(shù)形結(jié)合的思想方法是學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容的一條主線,也是高考考查的熱點(diǎn).作函數(shù)圖象首 先要明確函數(shù)圖象的形狀和位置. 2. 圖象的每次變換都針對(duì)自變量而言,如從f(-2x)的圖象到f(-2x+1)的圖

3、象是向右平移個(gè)單位.其中的x變成x-. 3. 要理解一個(gè)函數(shù)和圖象自身的對(duì)稱性和兩個(gè)不同函數(shù)圖象對(duì)稱關(guān)系的不同. 1. 函數(shù)y=1-的圖象是 (  ) 答案 B 解析 將y=-的圖象向右平移1個(gè)單位,再向上平移一個(gè)單位,即可得到函數(shù)y=1 -的圖象. 2. 已知圖①中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=f(x),則圖②的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為 (  )                    A.y=f(|x|) B.y=|f(x

4、)| C.y=f(-|x|) D.y=-f(|x|) 答案 C 解析 y=f(-|x|)=. 3. 函數(shù)y=2x-x2的圖象大致是 (  ) 答案 A 解析 由于2x-x2=0在x<0時(shí)有一解;在x>0時(shí)有兩解,分別為x=2和x=4.因此函數(shù)y=2x-x2有三個(gè)零點(diǎn),故應(yīng)排除B、C.又當(dāng)x→-∞時(shí),2x→0,而x2→+∞,故y=2x-x2→-∞,因此排除D.故選A. 4. (xx·湖北)已知定義在區(qū)間[0,2]上的函數(shù)y=f(x)的圖象如圖

5、所示,則y=-f(2-x)的圖象為 (  ) 答案 B 解析 當(dāng)x=1時(shí),y=-f(1)=-1,排除A、C. 當(dāng)x=2時(shí),y=-f(0)=0,故選B. 5. 若直線y=x+b與曲線y=3-有公共點(diǎn),則b的取值范圍是 (  ) A. B. C. D. 答案 C 解析 由y=3-, 得(x-2)2+(y-3)2=4(1≤y≤3). ∴曲線

6、y=3-是半圓,如圖中實(shí)線所示. 當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí), =2. ∴b=1±2. 由圖可知b=1-2. ∴b的取值范圍是. 題型一 作函數(shù)圖象 例1 分別畫出下列函數(shù)的圖象: (1)y=|lg x|;    (2)y=2x+2; (3)y=x2-2|x|-1; (4)y=. 思維啟迪:根據(jù)一些常見函數(shù)的圖象,通過平移、對(duì)稱等變換可以作出函數(shù)圖象. 解 (1)y=圖象如圖①. (2)將y=2x的圖象向左平移2個(gè)單位.圖象如圖②. (3)y=.圖象如圖③. (4)因y=1+,先作出y=的圖象,將其圖象向右平移1個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,即得y=的圖象,

7、如圖④. 探究提高 (1)熟練掌握幾種基本函數(shù)的圖象,如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、形如y=x+的函數(shù);(2)掌握平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧,來幫助我們簡化作圖過程. 作出下列函數(shù)的圖象: (1)y=|x-2|(x+1);(2)y=10|lg x|. 解 (1)當(dāng)x≥2,即x-2≥0時(shí), y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=2-; 當(dāng)x<2,即x-2<0時(shí), y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-2+. ∴y= 這是分段函數(shù),每段函數(shù)的圖象可根據(jù)二次函數(shù)圖象作出(如圖). (2)當(dāng)x≥1時(shí),l

8、g x≥0,y=10|lg x|=10lg x=x; 當(dāng)0

9、增函數(shù),顯然,A項(xiàng)中單調(diào)遞增的函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(1,0),而不是(1,1),故不滿足; 函數(shù)g(x)=21-x=2×x,其圖象經(jīng)過(0,2)點(diǎn),且為單調(diào)減函數(shù),B項(xiàng)中單調(diào)遞減的函 數(shù)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),故不滿足;D項(xiàng)中兩個(gè)函數(shù)都是單調(diào)遞增的,故也不滿足.綜 上所述,排除A,B,D.故選C. 探究提高 函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手: (1)從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置;從函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置; (2)從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢; (3)從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對(duì)稱性; (4)從函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù); (5)從函數(shù)的特征點(diǎn),排除不合要求

10、的圖象.  (1)(xx·泰安模擬)函數(shù)y=x+cos x的大致圖象是 (  ) (2) 定義在R上的偶函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示,則在(-2,0)上,下列函數(shù)中與f(x)的單調(diào)性不同的是 (  ) A.y=x2+1 B.y=|x|+1 C.y= D.y= 答案 (1)B (2)C 解析 (1)∵y′=1-sin x≥0, ∴函數(shù)y=x+cos x為增函數(shù),排除C. 又當(dāng)x=0時(shí),y=1,排除A, 當(dāng)x=時(shí),y=,排除D

11、.∴選B. (2)f(x)在(-2,0)上為減函數(shù),可逐個(gè)驗(yàn)證. 題型三 函數(shù)圖象的應(yīng)用 例3 已知函數(shù)f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,并指出其增減性; (2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四個(gè)不相等的實(shí)根}. 思維啟迪:利用函數(shù)的圖象可直觀得到函數(shù)的單調(diào)性,方程解的問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象 交點(diǎn)的問題. 解 f(x)= 作出函數(shù)圖象如圖. (1)函數(shù)的增區(qū)間為[1,2],[3,+∞); 函數(shù)的減區(qū)間為(-∞,1],[2,3]. (2)在同一坐標(biāo)系中作出y=f(x)和y=m的圖象,使兩函數(shù)圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)(如圖). 由圖知0<

12、m<1,∴M={m|0

13、=1與曲線y=x2-|x|+a有四個(gè)交點(diǎn),則a的取值范圍是________. 答案 (1)A (2)1

14、 求解策略 策略一 (函數(shù)性質(zhì)法) 函數(shù)f(x)滿足x+1>0,ln(x+1)-x≠0,即x>-1且ln(x+1)-x≠0,設(shè)g(x)=ln(x+1)-x,則g′(x)=-1=.由于x+1>0,顯然當(dāng)-10,當(dāng)x>0時(shí), g′(x)<0,故函數(shù)g(x)在x=0處取得極大值,也是最大值,故g(x)≤g(0)=0,當(dāng)且僅當(dāng) x=0時(shí),g(x)=0,故函數(shù)f(x)的定義域是(-1,0)∪(0,+∞),且函數(shù)g(x)在(-1,0)∪(0, +∞)上的值域?yàn)?-∞,0),故函數(shù)f(x)的值域也是(-∞,0),且在x=0附近函數(shù)值無 限小,觀察各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)圖象,只有

15、選項(xiàng)B中的圖象符合要求. 策略二 (特殊值檢驗(yàn)法) 當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)無意義,排除選項(xiàng)D中的圖象, 當(dāng)x=-1時(shí),f==-e<0,排除選項(xiàng)A、C中的圖象,故 只能是選項(xiàng)B中的圖象. (注:這里選取特殊值x=∈(-1,0),這個(gè)值可以直接排除選項(xiàng)A、C,這種取特值的技巧在解題中很有用處) 解后反思 (1)確定函數(shù)的圖象,要從函數(shù)的性質(zhì)出發(fā),利用數(shù)形結(jié)合的思想. (2)對(duì)于給出圖象的選擇題,可以結(jié)合函數(shù)的某一性質(zhì)或特殊點(diǎn)進(jìn)行排除. 二、函數(shù)圖象的變換問題 典例:若函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=-f(x+1)的圖象大致為 (  )

16、 考點(diǎn)分析 本題考查圖象的變換問題,函數(shù)圖象的變換有平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變 換,要理解函數(shù)圖象變換的實(shí)質(zhì),每一次變換都針對(duì)自變量“x”而言. 求解策略 要想由y=f(x)的圖象得到y(tǒng)=-f(x+1)的圖象,需要先將y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱得到y(tǒng)=-f(x)的圖象,然后再向左平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=-f(x+1)的圖象,根據(jù)上述步驟可知C正確. 答案 C 解后反思 對(duì)圖象的變換問題,從f(x)到f(ax+b),可以先進(jìn)行平移變換,也可以先進(jìn)行伸縮變換,要注意變換過程中兩者的區(qū)別. 三、圖象應(yīng)用 典例:討論方程|1-x|=kx的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù). 考點(diǎn)分析 本題考查絕對(duì)值的意義,

17、考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想. 求解策略 可以利用函數(shù)圖象確定方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù). 設(shè)y=|1-x|,y=kx,則方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)y=|1-x|的圖象與y=kx的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).由右邊圖象可知:當(dāng)-1≤k<0時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根;當(dāng)k=0或k<-1或k≥1 時(shí),方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根; 當(dāng)0

18、象向左平移1個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式是 (  ) A.y=(x-3)2+3 B.y=(x-3)2+1 C.y=(x-1)2+3 D.y=(x-1)2+1 答案 C 解析 函數(shù)y=(x-2)2+2的圖象向左平移1個(gè)單位,將其中的x換為x+1,得到函數(shù)y=(x-1)2+2的圖象;再向上平移1個(gè)單位,變成y=(x-1)2+3的圖象. 2. 若函數(shù)f(x)=loga(x+b)的

19、大致圖象如圖,其中a,b (a>0且a≠1)為常數(shù),則函數(shù)g(x)=ax+b的大致圖象是 (  ) 答案 B 解析 由f(x)=loga(x+b)的圖象知0

20、(x)是偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以A、C錯(cuò) 誤;由于f(x+2)=f(x),所以T=2是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)周期,D錯(cuò)誤.所以選B. 4. (xx·北京)函數(shù)f(x)=x-x的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 (  ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 解析 將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題來求解. 在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出y1=x與y2=x的圖象如圖所 示,易知,兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn). 因此函數(shù)f(x)=x-x只有1個(gè)零點(diǎn). 二、填空

21、題(每小題5分,共15分) 5. 已知下列曲線: 以及編號(hào)為①②③④的四個(gè)方程: ①-=0;②|x|-|y|=0;③x-|y|=0;④|x|-y=0. 請按曲線A、B、C、D的順序,依次寫出與之對(duì)應(yīng)的方程的編號(hào)________. 答案?、堍冖佗? 解析 按圖象逐個(gè)分析,注意x、y的取值范圍. 6. 如圖所示,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,M,N分 別在AD1,BC上移動(dòng),始終保持MN∥平面DCC1D1,設(shè)BN=x,MN =y(tǒng),則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是________. 答案?、? 解析 過M作ME⊥AD于E,連接EN. 則BN=

22、AE=x,ME=2x,MN2=ME2+EN2, 即y2=4x2+1,y2-4x2=1 (0≤x≤1,y≥1),圖象應(yīng)是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的一部分. 7. (xx·北京)已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí) 根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________. 答案 (0,1) 解析 畫出分段函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,結(jié)合圖象可以看出,若f(x)=k有兩個(gè)不同的 實(shí)根,也即函數(shù)y=f(x)的圖象與y=k有兩個(gè)不同的交點(diǎn),k的 取值范圍為(0,1). 三、解答題(共25分) 8. (12分)已知函數(shù)f(x)=. (1)畫出f(x)的草圖;(2)指出f(x)的單調(diào)

23、區(qū)間. 解  (1)f(x)==1-,函數(shù)f(x)的圖象是由反比例函數(shù)y=-的圖象向左平移1個(gè)單 位后,再向上平移1個(gè)單位得到,圖象如圖所示. (2)由圖象可以看出,函數(shù)f(x)有兩個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間: (-∞,-1),(-1,+∞). 9. (13分)已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)=x++2的圖象關(guān)于點(diǎn)A(0,1)對(duì)稱. (1)求f(x)的解析式; (2)若g(x)=f(x)+,且g(x)在區(qū)間(0,2]上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解 (1)設(shè)f(x)圖象上任一點(diǎn)P(x,y),則點(diǎn)P關(guān)于(0,1)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P′(-x,2-y)在h(x) 的圖象上, 即2-y

24、=-x-+2,∴y=f(x)=x+ (x≠0). (2)g(x)=f(x)+=x+,g′(x)=1-. ∵g(x)在(0,2]上為減函數(shù), ∴1-≤0在(0,2]上恒成立,即a+1≥x2在(0,2]上恒成立,∴a+1≥4,即a≥3,故 a的取值范圍是[3,+∞). B組 專項(xiàng)能力提升 一、選擇題(每小題5分,共15分) 1. (xx·廈門模擬)函數(shù)f(x)=則y=f(x+1)的圖象大致是 (  ) 答案 B 解析 將f(x)的圖象向左平移一個(gè)單位即得到y(tǒng)=f(x+1)的圖象. 2. 函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖象如圖 則函數(shù)y=f(x)·

25、g(x)的圖象可能是 (  ) 答案 A 解析 從f(x)、g(x)的圖象可知它們分別為偶函數(shù)、奇函數(shù),故f(x)·g(x)是奇函數(shù),排除 B項(xiàng).又g(x)在x=0處無意義,故f(x)·g(x)在x=0處無意義,排除C、D兩項(xiàng). 3. (xx·課標(biāo)全國)函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=2sin πx (-2≤x≤4)的圖象所有交點(diǎn)的橫 坐標(biāo)之和等于 (  ) A.2 B

26、.4 C.6 D.8 答案 D 解析 令1-x=t,則x=1-t. 由-2≤x≤4,知-2≤1-t≤4,所以-3≤t≤3. 又y=2sin πx=2sin π(1-t)=2sin πt. 在同一坐標(biāo)系下作出y=和y=2sin πt的圖象. 由圖可知兩函數(shù)圖象在[-3,3]上共有8個(gè)交點(diǎn),且這8個(gè)交點(diǎn)兩兩關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 因此這8個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和為0,即t1+t2+…+t8=0. 也就是1-x1+1-x2+…+1-x8=0, 因此x1+x2+…+x8=8. 二、填空題(每小題4分,共12分) 4. (xx·課標(biāo)

27、全國改編)當(dāng)02,解得 a>,∴0,二次函數(shù)y=ax2+bx+a2-1的圖象為下

28、列之一,則a的值為________. 答案?。? 解析 本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),先根據(jù)條件對(duì)圖象進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵.因 為b>0,所以對(duì)稱軸不與y軸重合,排除圖象①②;對(duì)第三個(gè)圖象,開口向下,則a<0, 對(duì)稱軸x=->0,符合條件,圖象④顯然不符合.根據(jù)圖象可知,函數(shù)過原點(diǎn),故f(0) =0,即a2-1=0,又a<0,故a=-1. 三、解答題(13分) 7. 已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,并對(duì)一切實(shí)數(shù)x,都滿足f(2+x)=f(2-x). (1)證明:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱; (2)若f(x)是偶函數(shù),且x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-1,

29、 求x∈[-4,0]時(shí)f(x)的表達(dá)式. (1)證明 設(shè)P(x0,y0)是函數(shù)y=f(x)圖象上任一點(diǎn), 則y0=f(x0),點(diǎn)P關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)為P′(4-x0,y0). 因?yàn)閒(4-x0)=f[2+(2-x0)] =f[2-(2-x0)]=f(x0)=y(tǒng)0, 所以P′也在y=f(x)的圖象上, 所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱. (2)解 當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),-x∈[0,2], 所以f(-x)=-2x-1.又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù), 所以f(x)=f(-x)=-2x-1,x∈[-2,0]. 當(dāng)x∈[-4,-2]時(shí),4+x∈[0,2], 所以f(4+x)=2(4+x)-1=2x+7, 而f(4+x)=f(-x)=f(x), 所以f(x)=2x+7,x∈[-4,-2]. 所以f(x)=

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