5、D.
5.將函數(shù)y＝2sin(ω＞0)的圖象分別向左、向右各平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的兩個(gè)圖象對(duì)稱軸重合，則ω的最小值為________.
答案 2
解析 將函數(shù)y＝2sin，ω＞0的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的解析式為y＝2sin，ω＞0；向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的解析式為y＝2sin，ω＞0.因?yàn)槠揭坪蟮膶?duì)稱軸重合，所以ωx＋＝ωx－＋kπ，k∈Z，化簡(jiǎn)得ω＝2k，k∈Z.又ω＞0，所以ω的最小值為2.
考點(diǎn)二 三角函數(shù)的性質(zhì)
方法技巧 (1)整體思想研究性質(zhì)：對(duì)于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，可令t＝ωx＋φ，考慮y＝Asin t的性質(zhì).
(2)數(shù)形結(jié)合思想研究性質(zhì).
6、
6.若函數(shù)f(x)＝(1＋tan x)cos x，0≤x<，則f(x)的最大值為( )
A.1 B.2 C.＋1 D.＋2
答案 B
解析 f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x＝2sin，
∵0≤x<，∴≤x＋＜，∴f(x)max＝2.
7.設(shè)函數(shù)f(x)＝4cos(ωx＋φ)對(duì)任意的x∈R，都有f(－x)＝f ，若函數(shù)g(x)＝sin(ωx＋φ)－2，則g的值是( )
A.1 B.－5或3 C. D.－2
答案 D
解析 ∵函數(shù)f(x)＝4cos(ωx＋φ)對(duì)任意的x∈R，都有f(－x)＝f ，
∴函數(shù)f(x)＝4cos(ωx＋
7、φ)的其中一條對(duì)稱軸為x＝，
∴ω×＋φ＝kπ(k∈Z)，則g＝sin－2＝sin kπ－2＝－2.
8.使函數(shù)f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)的θ的一個(gè)值是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵函數(shù)f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin是奇函數(shù)，
∴θ＋＝kπ，k∈Z，θ＝kπ－，k∈Z.
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，令k＝2n－1，n∈Z，f(x)＝－2sin 2x，滿足在上是減函數(shù)，此時(shí)，θ＝2nπ－，n∈Z，選項(xiàng)B滿足條件.
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，令k＝2n，n∈Z，f(x)＝2sin 2x，不滿足在上是減函數(shù).
8、
綜上，只有選項(xiàng)B滿足條件.故選B.
9.(xx·豫南九校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin 2x－2cos2x，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.函數(shù)f(x)的最小正周期是π
B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱
C.函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)
D.函數(shù)f(x)的圖象可由g(x)＝2sin 2x－1的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到
答案 D
解析 f(x)＝sin 2x－2cos2x＝sin 2x－cos 2x－1＝2sin－1，所以函數(shù)f(x)的最小正周期是π，故A正確；當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)取最大值，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，故B正確；由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－
9、≤x≤kπ＋(k∈Z)，由此可知函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，故C正確；函數(shù)g(x)＝2sin 2x－1的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到φ(x)＝2sin－1的圖象，不是函數(shù)f(x)＝2sin－1的圖象，故D錯(cuò)誤.故選D.
10.關(guān)于函數(shù)f(x)＝2(sin x－cos x)cos x的四個(gè)結(jié)論：
p1：函數(shù)的最大值為；
p2：把函數(shù)g(x)＝sin 2x－1的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后可得到函數(shù)f(x)＝2(sin x－cos x) cos x的圖象；
p3：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z；
p4：圖象的對(duì)稱中心為，k∈Z.
其中正確的結(jié)論有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.
10、4個(gè)
答案 B
解析 因?yàn)閒(x)＝2sin xcos x－2cos2x＝sin 2x－cos 2x－1＝sin－1，所以函數(shù)的最大值為－1，所以p1錯(cuò)誤；
把g(x)＝sin 2x－1的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到h(x)＝sin－1＝sin－1的圖象，所以p2錯(cuò)誤；
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為，k∈Z，即，k∈Z，所以p3正確；
由2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
所以圖象的對(duì)稱中心為，k∈Z，所以p4正確，故選B.
考點(diǎn)三 三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合
要點(diǎn)重組 函數(shù)f(x)＝Asin(ωx
11、＋φ)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期，一個(gè)最高點(diǎn)和與其相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值也是半個(gè)周期，兩個(gè)相鄰的最高點(diǎn)之間的距離是一個(gè)周期，一個(gè)對(duì)稱中心和與其最近的一條對(duì)稱軸之間的距離是四分之一個(gè)周期.
11.(xx·全國(guó)Ⅱ)若將函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖象的對(duì)稱軸為( )
A.x＝－(k∈Z) B.x＝＋(k∈Z)
C.x＝－(k∈Z) D.x＝＋(k∈Z)
答案 B
解析 由題意將函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的解析式為y＝2sin，由2x＋＝kπ＋，得函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝＋(k∈Z)，故選B.
12
12、.將函數(shù)f(x)＝sin 2x的圖象向右平移φ個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象.若對(duì)滿足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，則φ等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由已知得g(x)＝sin(2x－2φ)，滿足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨設(shè)此時(shí)y＝f(x)和y＝g(x)分別取得最大值與最小值，又|x1－x2|min＝，令2x1＝，2x2－2φ＝－，此時(shí)|x1－x2|＝＝.又0＜φ＜，故φ＝，故選D.
13.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象與直線y＝a(0＜a＜A)的三個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是
13、2，4，8，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是( )
A.[6kπ，6kπ＋3]，k∈Z
B.[6kπ－3，6kπ]，k∈Z
C.[6k，6k＋3]，k∈Z
D.[6k－3，6k]，k∈Z
答案 D
解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象與直線y＝a(0＜a＜A)的三個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是2，4，8，所以T＝＝8－2＝6，且當(dāng)x＝＝3時(shí)函數(shù)取得最大值，所以ω＝，×3＋φ＝＋2nπ，n∈Z，所以φ＝－＋2nπ，n∈Z，所以f(x)＝Asin.由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，可得6k＋3≤x≤6k＋6，k∈Z.
14.(xx·云南曲靖模擬)同時(shí)具有性質(zhì)：
14、①圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離是；②在上是增函數(shù)的一個(gè)函數(shù)為( )
A.y＝sin B.y＝cos
C.y＝sin D.y＝cos
答案 C
解析 由圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離是可知，＝，T＝π，選項(xiàng)B，C滿足；
由x∈，得2x－∈，函數(shù)y＝sin為增函數(shù)，符合題意.故選C.
15.函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω>0)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)A，B是最高點(diǎn)，點(diǎn)C是最低點(diǎn)，若△ABC是直角三角形，則f ＝________.
答案
解析 由已知得△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
所以AB＝f(x)max－f(x)min＝1－(－1)＝2，
即AB＝
15、4，而T＝AB＝＝4，
解得ω＝.
所以f(x)＝sin ，
所以f ＝sin ＝.
1.已知函數(shù)f(x)＝sin(x∈R，ω＞0)的最小正周期為π，為了得到函數(shù)g(x)＝cos ωx的圖象，只要將y＝f(x)的圖象( )
A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
答案 A
解析 由題意知，函數(shù)f(x)的周期T＝π，所以ω＝2，
即f(x)＝sin，g(x)＝cos 2x.
把g(x)＝cos 2x變形得g(x)＝sin＝sin，所以只要將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到g(x)＝cos 2x的圖象，故選
16、A.
2.設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)
的最小正周期為π，且f(－x)＝f(x)，則( )
A.f(x)在上單調(diào)遞減
B.f(x)在上單調(diào)遞減
C.f(x)在上單調(diào)遞增
D.f(x)在上單調(diào)遞增
答案 A
解析 f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin，
∵f(x)的最小正周期為π，
∴＝π，即ω＝2.
又f(－x)＝f(x)，故f(x)是偶函數(shù)，
即φ＋＝＋kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ＋(k∈Z).
∵|φ|＜，取k＝0，則φ＝，∴f(x)＝cos 2x，且在上單調(diào)遞減，故選A.
3.(xx·安徽宿州一模)將函數(shù)f(x)＝
17、3sin的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象( )
A.關(guān)于點(diǎn)(－2，0)對(duì)稱 B.關(guān)于點(diǎn)(0，－2)對(duì)稱
C.關(guān)于直線x＝－2對(duì)稱 D.關(guān)于直線x＝0對(duì)稱
答案 B
解析 將函數(shù)f(x)＝3sin的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的解析式為g(x)＝3sin－4＝3sin－4＝3sin 2－4，f(x)＝3sin 2，故兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，－2)對(duì)稱，故選B.
4.若關(guān)于x的方程sin＝k在[0，π]上有兩解，則k的取值范圍是________.
答案 [1
18、，)
解析 ∵0≤x≤π，
∴－1≤sin≤，
又sin＝k在[0，π]上有兩解，
∴1≤k＜.
解題秘籍 (1)圖象平移問(wèn)題要搞清平移的方向和長(zhǎng)度，由f(ωx)的圖象得到f(ωx＋φ)的圖象平移了個(gè)單位長(zhǎng)度(ω≠0).
(2)研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)要結(jié)合圖象，對(duì)參數(shù)范圍的確定要注意區(qū)間端點(diǎn)能否取到.
1.(xx·四川)為了得到函數(shù)y＝sin的圖象，只需把函數(shù)y＝sin 2x的圖象上所有的點(diǎn)( )
A.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度
C.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度
答案 D
解析 由題可知，y＝sin＝sin，
則只需把y＝s
19、in 2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，故選D.
2.(xx·全國(guó)Ⅱ)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則( )
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝2sin D.y＝2sin
答案 A
解析 由圖可知，T＝2＝π，所以ω＝2，
由五點(diǎn)作圖法可知2×＋φ＝，所以φ＝－，
所以函數(shù)的解析式為y＝2sin，故選A.
3.先把函數(shù)f(x)＝sin的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的(縱坐標(biāo)不變)，再把新得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝g(x)的圖象，當(dāng)x∈時(shí)，函數(shù)g(x)的值域?yàn)? )
A. B. C. D.
答案 A
解析 依題意得g(
20、x)＝sin＝sin，當(dāng)x∈時(shí)，2x－∈，sin∈，即g(x)的值域是.
4.如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y＝3sin＋k，據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深(單位：m)的最大值為( )
A.5 B.6 C.8 D.10
答案 C
解析 由題干圖易得ymin＝k－3＝2，則k＝5.
∴ymax＝k＋3＝8.
5.已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)等于( )
A. B. C. D.1
答案 B
解析 由題圖可知，＝－＝，則T＝π，ω＝2，
又＝，所以f(
21、x)的圖象過(guò)點(diǎn)，
即sin＝1，又|φ|＜，可得φ＝，
所以f(x)＝sin.
由f(x1)＝f(x2)，x1，x2∈，可得x1＋x2＝－＋＝，
所以f(x1＋x2)＝f?＝sin＝sin＝.
6.函數(shù)y＝sin在x＝2處取得最大值，則正數(shù)ω的最小值為( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵函數(shù)y＝sin在x＝2處取得最大值，
∴2ω＋＝2kπ＋，k∈Z，
∴ω＝kπ＋，k∈Z.
∴正數(shù)ω的最小值為，故選D.
7.設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)，且其圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，則( )
A.y＝f(x)的最小正周期為π，且在上單
22、調(diào)遞增
B.y＝f(x)的最小正周期為π，且在上單調(diào)遞減
C.y＝f(x)的最小正周期為，且在上單調(diào)遞增
D.y＝f(x)的最小正周期為，且在上單調(diào)遞減
答案 B
解析 f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sin，因?yàn)槠鋱D象關(guān)于x＝0對(duì)稱，
所以＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝＋kπ(k∈Z).
又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝2cos 2x.
其最小正周期T＝＝π，且在上單調(diào)遞減.
8.(xx·安徽江南十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為4π，且對(duì)任意x∈R，都有f(x)≤f 成立，則f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)是( )
A
23、. B. C. D.
答案 A
解析 由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為4π，得ω＝.∵f(x)≤f 恒成立，∴f(x)max＝f ，則×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ(k∈Z).由|φ|＜，得φ＝，故f(x)＝sin.令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)圖象的對(duì)稱中心為(k∈Z)，當(dāng)k＝0時(shí)，f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)為，故選A.
9.已知函數(shù)f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分圖象如圖所示，則f ＝____.
答案
解析 如圖所示，可知＝－＝，所以T＝，
所以＝，所以ω＝2.因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)，
所以Ata
24、n＝0，即tan＝0.又|φ|＜，
所以φ＝.又圖象過(guò)點(diǎn)(0，1)，Atan＝1，
所以A＝1，所以f(x)＝tan.
所以f ＝tan＝tan ＝.
10.設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期為π，且滿足f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.
答案 (k∈Z)
解析 因?yàn)閒(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sin的最小正周期為π，且滿足f(－x)＝－f(x)，所以ω＝2，φ＝－，所以f(x)＝2sin 2x，令2x∈(k∈Z)，可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).
11.已知函數(shù)y＝co
25、s x與函數(shù)y＝sin(2x＋φ)(0≤φ＜π)，它們的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為的交點(diǎn)，則φ的值是________.
答案
解析 由題意cos ＝sin，
即sin＝，＋φ＝kπ＋(－1)k·(k∈Z)，因?yàn)?≤φ＜π，所以φ＝.
12.(xx·吉林市普通中學(xué)調(diào)研)已知f(x)＝sin xcos x－sin2x，把f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝g(x)的圖象.若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有g(shù)(a－x)＝g(a＋x)成立，則g＋g＝________.
答案 4
解析 因?yàn)閒(x)＝sin xcos x－sin2x＝sin 2x－＝sin－，
把f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝g(x)＝sin＋＝sin 2x＋.
若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有g(shù)(a－x)＝g(a＋x)成立，
則y＝g(x)的圖象關(guān)于x＝a對(duì)稱，
所以2a＝＋kπ，k∈Z，故可取a＝，
有g(shù)＋g＝sin＋＋sin ＋＝4.
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