2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 集合的概念和表示方法教案 理 教材分析 集合概念的基本理論，稱為集合論．它是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要基礎(chǔ)．一方面，許多重要的數(shù)學(xué)分支，如數(shù)理邏輯、近世代數(shù)、實變函數(shù)、泛函分析、概率統(tǒng)計、拓?fù)涞?，都建立在集合理論的基礎(chǔ)上．另一方面，集合論及其反映的數(shù)學(xué)思想，在越來越廣泛的領(lǐng)域中得到應(yīng)用．在小學(xué)和初中數(shù)學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)接觸過集合，對于諸如數(shù)集（整數(shù)的集合、有理數(shù)的集合）、點集（直線、圓）等，有了一定的感性認(rèn)識．這節(jié)內(nèi)容是初中有關(guān)內(nèi)容的深化和延伸．首先通過實例引出集合與集合元素的概念，然后通過實例加深對集合與集合元素的理解，最后介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法，描述法，還給出了畫圖表示集合的例子．本節(jié)的重點是集合的基本概念與表示方法，難點是運用集合的兩種常用表示方法———列舉法與描述法正確表示一些簡單的集合． 教學(xué)目標(biāo) 1. 初步理解集合的概念，了解有限集、無限集、空集的意義，知道常用數(shù)集及其記法． 2. 初步了解“屬于”關(guān)系的意義，理解集合中元素的性質(zhì)． 3. 掌握集合的表示法，通過把文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言（集合語言），培養(yǎng)學(xué)生的理解、化歸、表達(dá)和處理問題的能力． 任務(wù)分析 這節(jié)內(nèi)容學(xué)生已在小學(xué)、初中有了一定的了解，這里主要根據(jù)實例引出概念．介紹集合的概念采用由具體到抽象，再由抽象到具體的思維方法，學(xué)生容易接受．在引出概念時，從實例入手，由具體到抽象，由淺入深，便于學(xué)生理解，緊接著再通過實例理解概念．集合的表示方法也是通過實例加以說明，化難為易，便于學(xué)生掌握． 教學(xué)設(shè)計 一、問題情境 1. 在初中，我們學(xué)過哪些集合？ 2. 在初中，我們用集合描述過什么？ 學(xué)生討論得出： 在初中代數(shù)里學(xué)習(xí)數(shù)的分類時，學(xué)過“正數(shù)的集合”，“負(fù)數(shù)的集合”；在學(xué)習(xí)一元一次不等式時，說它的所有解為不等式的解集． 在初中幾何里學(xué)習(xí)圓時，說圓是到定點的距離等于定長的點的集合．幾何圖形都可以看成點的集合． 3. “集合”一詞與我們?nèi)粘Ｉ钪械哪男┰~語的意義相近？ 學(xué)生討論得出： “全體”、“一類”、“一群”、“所有”、“整體”，…… 4. 請寫出“小于10”的所有自然數(shù)． 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．這些可以構(gòu)成一個集合． 5. 什么是集合？ 二、建立模型 1. 集合的概念（先具體舉例，然后進(jìn)行描述性定義） （1）某種指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集． （2）集合中的每個對象叫作這個集合的元素． （3）集合中的元素與集合的關(guān)系： a是集合A中的元素，稱a屬于集合A，記作a∈A； a不是集合A中的元素，稱a不屬于集合A，記作aA． 例：設(shè)B＝｛1，2，3｝，則1∈B，4B． 2. 集合中的元素具備的性質(zhì) （1）確定性：集合中的元素是確定的，即給定一個集合，任何一個對象是否屬于這個集合的元素也就確定了．如上例，給出集合B，4不是集合的元素是可以確定的． （2）互異性：集合中的元素是互異的，即集合中的元素是沒有重復(fù)的． 例：若集合A＝｛a，b｝，則a與b是不同的兩個元素． （3）無序性：集合中的元素?zé)o順序． 例：集合｛1，2｝與集合｛2，1｝表示同一集合． 3. 常用的數(shù)集及其記法 全體非負(fù)整數(shù)的集合簡稱非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N． 非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集合簡稱正整數(shù)集，記作N*或N+； 全體整數(shù)的集合簡稱整數(shù)集，記作Z； 全體有理數(shù)的集合簡稱有理數(shù)集，記作Q； 全體實數(shù)的集合簡稱實數(shù)集，記作R． 4. 集合的表示方法 ［問　題］ 如何表示方程x2－3x＋2＝0的所有解？ （1）列舉法 列舉法是把集合中的元素一一列舉出來的方法． 例：x2－3x＋2＝0的解集可表示為｛1，2｝． （2）描述法 描述法是用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法． 例：①x2－3x＋2＝0的解集可表示為｛x｜x2－3x＋2＝0｝． ②不等式x－3＞2的解集可表示為｛x｜x－3＞2｝． ③Venn圖法 例：x2－3x＋2＝0的解集可以表示為（1，2）． 5. 集合的分類 （1）有限集：含有有限個元素的集合．例如，A＝｛1，2｝． （2）無限集：含有無限個元素的集合．例如，N． （3）空集：不含任何元素的集合，記作．例如，｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝＝． 注：對于無限集，不宜采用列舉法． 三、解釋應(yīng)用 ［例　題］ 1. 用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希? （1）由1，2，3這三個數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字（沒有重復(fù)）所組成的一切自然數(shù)． （2）平面內(nèi)到一個定點O的距離等于定長l（l＞0）的所有點P． （3）在平面a內(nèi)，線段AB的垂直平分線． （4）不等式2x－8＜2的解集． 2. 用不同的方法表示下列集合． （1）｛2，4，6，8｝． （2）｛x｜x2＋x－1＝0｝． （3）｛x∈N｜3＜x＜7｝． 3. 已知A＝｛x∈N｜66－x∈N｝．試用列舉法表示集合A． （A＝｛0，3，5｝） 4. 用描述法表示在平面直角坐標(biāo)中第一象限內(nèi)的點的坐標(biāo)的集合． ［練　習(xí)］ 1. 用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希? （1）構(gòu)成英語單詞mathematics（數(shù)字）的全體字母． （2）在自然集內(nèi)，小于1000的奇數(shù)構(gòu)成的集合． （3）矩形構(gòu)成的集合． 2. 用描述法表示下列集合． （1）｛3，9，27，81，…｝． （2） 四、拓展延伸 把下列集合“翻譯”成數(shù)學(xué)文字語言來敘述． （1）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝． （2）｛y｜y＝x2＋1，x∈R｝． （3）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝． （4）｛x｜y＝x2＋1，y∈N*｝． 點　評 這篇案例注重新、舊知識的聯(lián)系與過渡，以舊引新，從學(xué)生的原有知識、經(jīng)驗出發(fā)，創(chuàng)設(shè)問題情境；從實例引出集合的概念，再結(jié)合實例讓學(xué)生進(jìn)一步理解集合的概念，掌握集合的表示方法．非常注重實例的使用是這篇案例的突出特點．這樣做，通俗易懂，使學(xué)生便于學(xué)習(xí)和掌握．例題、練習(xí)由淺入深，對培養(yǎng)學(xué)生的理解能力、表達(dá)能力、思維能力大有裨益．拓展延伸注重數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化和訓(xùn)練，注重區(qū)分形似而質(zhì)異的數(shù)學(xué)問題，加強了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和認(rèn)識．