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2022春八年級數(shù)學(xué)下冊 第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 第2課時(shí) 勾股定理的應(yīng)用教案 (新版)新人教版

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1、2022春八年級數(shù)學(xué)下冊 第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 第2課時(shí) 勾股定理的應(yīng)用教案 (新版)新人教版 1.熟練運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題;(重點(diǎn)) 2.掌握勾股定理的簡單應(yīng)用,探究最短距離問題.(難點(diǎn))                    一、情境導(dǎo)入 如圖,在一個(gè)圓柱石凳上,若小明在吃東西時(shí)留下了一點(diǎn)食物在B處,恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息,于是它想從A處爬向B處,你們想一想,螞蟻怎么走最近? 二、合作探究 探究點(diǎn)一:勾股定理的實(shí)際應(yīng)用 【類型一】 勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用 如圖,在離水面高度為5米的岸上,有人用繩子拉船靠岸,開

2、始時(shí)繩子BC的長為13米,此人以0.5米每秒的速度收繩.問6秒后船向岸邊移動(dòng)了多少米(假設(shè)繩子始終是直的,結(jié)果保留根號)? 解析:開始時(shí),AC=5米,BC=13米,即可求得AB的值,6秒后根據(jù)BC,AC長度即可求得AB的值,然后解答即可. 解:在Rt△ABC中,BC=13米,AC=5米,則AB==12米.6秒后,B′C=13-0.5×6=10米,則AB′==5(米),則船向岸邊移動(dòng)的距離為(12-5)米. 方法總結(jié):本題直接考查勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用,可建立合理的數(shù)學(xué)模型,將已知條件轉(zhuǎn)化到同一直角三角形中求解. 【類型二】 利用勾股定理解決方位角問題 如圖所示,在一次夏令營活動(dòng)

3、中,小明坐車從營地A點(diǎn)出發(fā),沿北偏東60°方向走了100km到達(dá)B點(diǎn),然后再沿北偏西30°方向走了100km到達(dá)目的地C點(diǎn),求出A、C兩點(diǎn)之間的距離. 解析:根據(jù)所走的方向可判斷出△ABC是直角三角形,根據(jù)勾股定理可求出解. 解:∵AD∥BE,∴∠ABE=∠DAB=60°.∵∠CBF=30°,∴∠ABC=180°-∠ABE-∠CBF=180°-60°-30°=90°.在Rt△ABC中,AB=100km,BC=100km,∴AC===200(km),∴A、C兩點(diǎn)之間的距離為200km. 方法總結(jié):先確定△ABC是直角三角形,再根據(jù)各邊長,用勾股定理可求出AC的長. 【類型三】 利用勾

4、股定理解決立體圖形最短距離問題 如圖,長方體的長BE=15cm,寬AB=10cm,高AD=20cm,點(diǎn)M在CH上,且CM=5cm,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)M,需要爬行的最短距離是多少? 解:分兩種情況比較最短距離: 如圖①所示,螞蟻爬行最短路線為AM,AM==5(cm),如圖②所示,螞蟻爬行最短路線為AM,AM==25(cm).∵5>25,∴第二種短些,此時(shí)最短距離為25cm. 答:需要爬行的最短距離是25cm. 方法總結(jié):因?yàn)殚L方體的展開圖不止一種情況,故對長方體相鄰的兩個(gè)面展開時(shí),考慮要全面,不要有所遺漏.不過要留意展開時(shí)的多種情況,雖然看似很多,但由

5、于長方體的對面是相同的,所以歸納起來只需討論三種情況:前面和右面展開,前面和上面展開,左面和上面展開,從而比較取其最小值即可. 【類型四】 運(yùn)用勾股定理解決折疊中的有關(guān)計(jì)算 如圖,四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片,將其沿MN折疊,使點(diǎn)B落在CD邊上的B′處,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A′,且B′C=3,則AM的長是(  )     A.1.5   B.2   C.2.25   D.2.5 解析:連接BM,MB′.設(shè)AM=x,在Rt△ABM中,AB2+AM2=BM2.在Rt△MDB′中,MD2+DB′2.∵M(jìn)B=MB′,∴AB2+AM2=BM2=B′M2=MD2+DB′2,即92+x2=(9

6、-x)2+(9-3)2,解得x=2,即AM=2.故選B. 方法總結(jié):解題的關(guān)鍵是設(shè)出適當(dāng)?shù)木€段的長度為x,然后用含有x的式子表示其他線段,然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答. 【類型五】 勾股定理與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 如圖,在樹上距地面10m的D處有兩只猴子,它們同時(shí)發(fā)現(xiàn)地面上C處有一筐水果,一只猴子從D處向上爬到樹頂A處,然后利用拉在A處的滑繩AC滑到C處,另一只猴子從D處先滑到地面B,再由B跑到C,已知兩猴子所經(jīng)過的路程都是15m,求樹高AB. 解析:在Rt△ABC中,∠B=90°,則滿足AB2+BC2=AC2.設(shè)BC=am,AC=bm,AD=xm,根據(jù)兩只猴

7、子經(jīng)過的路程一樣可列方程組,從而求出x的值,即可計(jì)算樹高. 解:在Rt△ABC中,∠B=90°,設(shè)BC=am,AC=bm,AD=xm.∵兩猴子所經(jīng)過的路程都是15m,則10+a=x+b=15m.∴a=5,b=15-x.又∵在Rt△ABC中,由勾股定理得(10+x)2+a2=b2,∴(10+x)2+52=(15-x)2,解得x=2,即AD=2米.∴AB=AD+DB=2+10=12(米). 答:樹高AB為12米. 方法總結(jié):勾股定理表達(dá)式中有三個(gè)量,如果條件中只有一個(gè)己知量,通常需要巧設(shè)未知數(shù),靈活地尋找題中的等量關(guān)系,然后利用勾股定理列方程求解. 探究點(diǎn)二:勾股定理與數(shù)軸 如圖所示,

8、數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a,則a的值是(  ) A.+1 B.-+1 C.-1 D. 解析:先根據(jù)勾股定理求出三角形的斜邊長,再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求出A點(diǎn)的坐標(biāo).圖中的直角三角形的兩直角邊為1和2,∴斜邊長為=,∴-1到A的距離是.那么點(diǎn)A所表示的數(shù)為-1.故選C. 方法總結(jié):本題考查的是勾股定理及兩點(diǎn)間的距離公式,解答此題時(shí)要注意,確定點(diǎn)A的位置,再根據(jù)A的位置來確定a的值. 三、板書設(shè)計(jì) 1.勾股定理的應(yīng)用 方位角問題;路程最短問題;折疊問題;數(shù)形結(jié)合思想. 2.勾股定理與數(shù)軸 本節(jié)課充分鍛煉了學(xué)生動(dòng)手操作能力、分類比較能力、討論交流能力和空間想象能力,讓學(xué)生充分體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)思想的魅力和知識創(chuàng)新的樂趣,突現(xiàn)教學(xué)過程中的師生互動(dòng),使學(xué)生真正成為主動(dòng)學(xué)習(xí)者.

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