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1、2022年高考數(shù)學(xué) 第四篇 第6講 正弦定理和余弦定理限時訓(xùn)練 新人教A版
一、選擇題(每小題5分,共20分)
1.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若a2-b2=bc,sin C=2sin B,則A= ( ).
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析 由a2-b2=bc,sin C=2sin B,得a2=bc+b2,=2.由余弦定理,得cos A===-=-=,所以A=30°,故選A.
答案 A
2.(xx·四川)如圖,正方形ABCD的邊長為1,延長BA至E,使AE=1,連結(jié)EC、ED,則s
2、in∠CED=( ).
A. B.
C. D.
解析 依題意得知,CD=1,CE==,DE==,cos∠CED==,所以sin∠CED==,選B.
答案 B
3.在△ABC中,角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,若角A,B,C依次成等差數(shù)列,且a=1,b=,則S△ABC= ( ).
A. B. C. D.2
解析 ∵A,B,C成等差數(shù)列,∴A+C=2B,∴B=60°.
又a=1,b=,∴=,
∴sin A==×=,
∴A=30°,∴C=90°.∴S△ABC=×1×=.
答案 C
4.(xx·湖南)在△ABC中,
3、AC=,BC=2,B=60°,則BC邊上的高等于 ( ).
A. B. C. D.
解析 設(shè)AB=c,BC邊上的高為h.
由余弦定理,得AC2=c2+BC2-2BC·ccos 60°,即7=c2+4-4ccos 60°,即
c2-2c-3=0,∴c=3(負(fù)值舍去).
又h=c·sin 60°=3×=,故選B.
答案 B
二、填空題(每小題5分,共10分)
5.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若(a2+c2-b2)·tan B=ac,則角B的值為________.
解析 由余弦定理,得=cos B,結(jié)合已知等式得
cos B·tan B
4、=,∴sin B=,∴B=或.
答案 或
6.(xx·福建)已知△ABC的三邊長成公比為的等比數(shù)列,則其最大角的余弦值為________.
解析 依題意得,△ABC的三邊長分別為a,a,2a(a>0),則最大邊2a所對的角的余弦值為:=-.
答案?。?
三、解答題(共25分)
7.(12分)(xx·遼寧)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.角A,B,C成等差數(shù)列.
(1)求cos B的值;
(2)邊a,b,c成等比數(shù)列,求sin Asin C的值.
解 (1)由已知2B=A+C,三角形的內(nèi)角和定理A+B+C=180°,解得B=60°,所以cos B=cos 60°
5、=.
(2)由已知b2=ac,據(jù)正弦定理,得sin2B=sin Asin C,
即sin Asin C=sin2B=1-cos2B=.
8.(13分)(xx·浙江)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知cos A=,sin B=cos C.
(1)求tan C的值;
(2)若a= ,求△ABC的面積.
解 (1)因?yàn)?<A<π,cos A=,
得sin A= =.
又cos C=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C
=cos C+sin C.
所以tan C=.
(2)由tan C=,得sin C=,cos C=.
6、于是sin B=cos C=.
由a= 及正弦定理=,得c= .
設(shè)△ABC的面積為S,則S=acsin B=.
B級 能力突破(時間:30分鐘 滿分:45分)
一、選擇題(每小題5分,共10分)
1.在△ABC中,A=60°,且最大邊長和最小邊長是方程x2-7x+11=0的兩個根,則第三邊的長為 ( ).
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 由A=60°,不妨設(shè)△ABC中最大邊和最小邊分別為b,c,故b+c=7,bc=11.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos 60°=(b+c)2-3bc=72-3×11=16,
7、∴a=4.
答案 C
2.(xx·豫北六校聯(lián)考)已知△ABC的面積為,AC=,∠ABC=,則△ABC的周長等于 ( ).
A.3+ B.3
C.2+ D.
解析 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即a2+c2-ac=3.又△ABC的面積為acsin =,即ac=2,所以a2+c2+2ac=9,所以a+c=3,即a+c+b=3+,故選A.
答案 A
二、填空題(每小題5分,共10分)
3.在Rt△ABC中,C=90°,且A,B,C所對的邊a,b,c滿足a+b=cx,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________.
解析 x=
8、==sin A+cos A=sin.又A∈,∴c2,則C<
②若a+b>2c,則C<
③若a3+b3=c3,則C<
④若(a+b)c<2ab,則C>
⑤若(a2+b2)c2<2a2b2,則C>
解析?、儆蒩b>c2,得-c2>-ab,由余弦定理可知cos C=>=,因?yàn)镃∈(0,π),函數(shù)y=cos x在(0,π)上是減函數(shù),所以C<,即①正確.②由余弦定理可知cos C=>
9、==≥=,所以C<,即②正確.③若C是直角或鈍角,則a2+b2≤c2,即2+2≤1,而,∈(0,1),而函數(shù)y=ax(0c2,轉(zhuǎn)化為命題①,故④錯誤.⑤因?yàn)?a2+b2)c2<2a2b2,所以c2<≤=ab,即ab>c2,轉(zhuǎn)化為命題①,故⑤錯誤.
答案 ①②③
三、解答題(共25分)
5.(12分)(xx·鄭州三模)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,點(diǎn)(a,b)在直線x(sin A-sin B)+ysin B=csi
10、n C上.
(1)求角C的值;
(2)若a2+b2=6(a+b)-18,求△ABC的面積.
解 (1)由題意得a(sin A-sin B)+bsin B=csin C,
由正弦定理,得a(a-b)+b2=c2,
即a2+b2-c2=ab,
由余弦定理,得cos C==,
結(jié)合0
11、=;
(2)若a= ,求△ABC的面積.
(1)證明 由bsin-csin=a應(yīng)用正弦定理,得sin Bsin-sin Csin=sin A,
sin B-sin C=,
整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,即sin(B-C)=1.
由于0<B,C<π,從而B-C=.
(2)解 B+C=π-A=,因此B=,C=.
由a= ,A=,
得b==2sin ,c==2sin ,
所以△ABC的面積S=bcsin A= sinsin
= cossin=.
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