《2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 14.2矩陣與變換試題 理 蘇教版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 14.2矩陣與變換試題 理 蘇教版(6頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 14.2矩陣與變換試題 理 蘇教版
1. 正如矩陣A=,向量β=.
求向量α,使得A2α=β.
解 ∵A2==設(shè)α=,由A2α=β,得=
∴解得
∴α=.
2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)橢圓4x2+y2=1在矩陣A=對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線F,求F的方程.
解 設(shè)P(x0,y0)是橢圓上任意一點(diǎn),點(diǎn)P(x0,y0)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)P′(x′0,y′0)則有
= ,即∴
又∵點(diǎn)P在橢圓上,故4x+y=1,從而x+y=1.
∴曲線F的方程是x2+y2=1.
3.已知矩陣M=,N=,且MN=.
(1)求實(shí)數(shù)a、b、c、d的值;
(
2、2)求直線y=3x在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像的方程.
解 (1)由題設(shè)得:解得
(2)∵矩陣M對(duì)應(yīng)的線性變換將直線變成直線(或點(diǎn)),
∴可取直線y=3x上的兩點(diǎn)(0,0),(1,3),
由 =, =,
得點(diǎn)(0,0),(1,3)在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像是點(diǎn)(0,0),(-2,2).
從而,直線y=3x在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像的方程為y=-x.
4.若點(diǎn)A(2,2)在矩陣M=對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B(-2,2),求矩陣M的逆矩陣.
解 由題意,知M=,
即=,
∴解得
∴M=.
由M-1M=,解得M-1=.
5.已知二階矩陣A=,矩陣A屬
3、于特征值λ1=-1的一個(gè)特征向量為a1=,屬于特征值λ2=4的一個(gè)特征向量為a2=,求矩陣A.
解 由特征值、特征向量定義可知,Aa1=λ1a1,
即=-1×,得
同理可得解得a=2,b=3,c=2,d=1.
因此矩陣A=.
6.已知矩陣M=,求M的特征值及屬于各特征值的一個(gè)特征向量.
解 由矩陣M的特征多項(xiàng)式f(λ)==
(λ-3)2-1=0,解得λ1=2,λ2=4,即為矩陣M的特征值.
設(shè)矩陣M的特征向量為,
當(dāng)λ1=2時(shí),由M=2,可得
可令x=1,得y=1,
∴α1=是M的屬于λ1=2的特征向量.
當(dāng)λ2=4時(shí),由M=4,可得
取x=1,得y=-1,
∴α2
4、=是M的屬于λ2=4的特征向量.
7.求曲線C:xy=1在矩陣M=
對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線C1的方程.
解 設(shè)P(x0,y0)為曲線C:xy=1上的任意一點(diǎn),
它在矩陣M=對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)Q(x,y)
由 =,得
解得
因?yàn)镻(x0,y0)在曲線C:xy=1上,所以x0y0=1.
所以×=1,即x2-y2=4.
所以所求曲線C1的方程為x2-y2=4.
8.已知矩陣A=,B=,求(AB)-1.
解 AB= =.
設(shè)(AB)-1=,
則由(AB)·(AB)-1=,
得 =,即=,
所以解得故(AB)-1=.
9.設(shè)矩陣M=(其中a>0,b>0).
(1
5、)若a=2,b=3,求矩陣M的逆矩陣M-1;
(2)若曲線C:x2+y2=1在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′:+y2=1,求a、b的值.
解 (1)設(shè)矩陣M的逆矩陣M-1=,
則MM-1=.
又M=.∴ =.
∴2x1=1,2y1=0,3x2=0,3y2=1,
即x1=,y1=0,x2=0,y2=,
故所求的逆矩陣M-1=.
(2)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y),它在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)P′(x′,y′),則 =,即又點(diǎn)P′(x′,y′)在曲線C′上,
∴+y′2=1.則+b2y2=1為曲線C的方程.
又已知曲線C的方程為x2+y2=1,故
又a>
6、0,b>0,∴
10.已知梯形ABCD,其中A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先將梯形作關(guān)于x軸的反射變換,再將所得圖形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°.
(1)求連續(xù)兩次變換所對(duì)應(yīng)的變換矩陣M.
(2)求點(diǎn)A,B,C,D在TM作用下所得到的結(jié)果.
解 (1)關(guān)于x軸的反射變換矩陣為M1=,
逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的變換矩陣為
M2==
故M=M2M1==.
(2)A′:=,即A′(0,0).
B′:=,即B′(0,3).
C′:=,即C′(2,2).
D′:=,即D′(2,1).
11.已知二階矩陣M有特征值λ=8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1=,并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變
7、換將點(diǎn)(-1,2)變換成(-2,4).
(1)求矩陣M;
(2)求矩陣M的另一個(gè)特征值,及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e2的坐標(biāo)之間的關(guān)系;
(3)求直線l:x-y+1=0在矩陣M的作用下的直線l′的方程.
解 (1)設(shè)M=,則 =8=,
故因 =,故
聯(lián)立以上兩方程組解得a=6,b=2,c=4,d=4,
故M=.
(2)由(1)知,矩陣M的特征多項(xiàng)式為
f(λ)=(λ-6)(λ-4)-8=λ2-10λ+16,
故其另一個(gè)特征值為λ=2.
設(shè)矩陣M的另一個(gè)特征向量是e2=,
則Me2==2,解得2x+y=0.
(3)設(shè)點(diǎn)(x,y)是直線l上的任一點(diǎn),其在矩陣M的變換下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的
8、坐標(biāo)為(x′,y′),則=,
即x=x′-y′,y=-x′+y′,代入直線l的方程后并化簡(jiǎn)得x′-y′+2=0,即x-y+2=0.
12.已知矩陣A=,A的一個(gè)特征值λ=2,其對(duì)應(yīng)的特征向量是α1=.
(1)求矩陣A;
(2)若向量β=,計(jì)算A5β的值.
解 (1)A=.
(2)矩陣A的特征多項(xiàng)式為f(λ)==λ2-5λ+6=0,得λ1=2,λ2=3,當(dāng)λ1=2時(shí),α1=,當(dāng)λ2=3時(shí),
得α2=.
由β=mα1+nα2,得解得m=3,n=1.
∴A5β=A5(3α1+α2)=3(A5α1)+A5α2=3(λα1)+λα2=3×25+35=.
13.設(shè)矩陣M=(其中a>0,b>0)
①若a=2,b=3,求M的逆矩陣M-1;
②若曲線C:x2+y2=1,在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′:+y2=1,求a,b的值.
解 ①設(shè)M-1=,則MM-1=又M=,∴=.
∴2x1=1,2y1=0,3x2=0,3y2=1.
即x=,y1=0,x2=0,y2=.
∴M-1=.
②設(shè)C上任一點(diǎn)P(x,y),在M作用下得點(diǎn)P′(x′,y′),
則=,
∴,
又點(diǎn)P′(x′,y′)在C′上,所以+y′2=1.
即+b2y2=1為曲線C的方程.
又C的方程為x2+y2=1,∴
又a>0,b>0,所以