2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 7.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題教案 理 新人教A版
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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 7.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 1.考查二元一次不等式組表示的區(qū)域面積和目標(biāo)函數(shù)最值(或取值范圍);2.考查約束條件、目標(biāo)函數(shù)中的參變量的取值范圍;3.利用線性規(guī)劃方法設(shè)計解決實際問題的最優(yōu)方案. 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.掌握確定平面區(qū)域的方法(線定界、點定域);2.理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,掌握解決線性規(guī)劃問題的方法(圖解法),注意線性規(guī)劃問題與其他知識的綜合. 1. 二元一次不等式表示的平面區(qū)域 (1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所
2、有點組成的平面區(qū)域.我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線.當(dāng)我們在坐標(biāo)系中畫不等式Ax+By+C≥0所表示的平面區(qū)域時,此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線,則把邊界直線畫成實線. (2)由于對直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(x,y),把它的坐標(biāo)(x,y)代入Ax+By+C所得到實數(shù)的符號都相同,所以只需在此直線的某一側(cè)取一個特殊點(x0,y0),由Ax0+By0+C的符號即可判斷Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=0哪一側(cè)的平面區(qū)域. 2. 線性規(guī)劃相關(guān)概念 名稱 意義 約束條件 由變量x,y組成的一次不等式 線性約束條件 由x,y的一次不等式(或方程)組成的不等式組 目
3、標(biāo)函數(shù) 欲求最大值或最小值的函數(shù) 線性目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x,y的一次解析式 可行解 滿足線性約束條件的解 可行域 所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 線性規(guī)劃問題 在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題 3. 應(yīng)用 利用線性規(guī)劃求最值,一般用圖解法求解,其步驟是: (1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域. (2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形. (3)確定最優(yōu)解:在可行域內(nèi)平行移動目標(biāo)函數(shù)變形后的直線,從而確定最優(yōu)解. (4)求最值:將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值. [難點正本 疑點清源] 1
4、. 確定二元一次不等式表示平面區(qū)域的方法與技巧
確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域時,經(jīng)常采用“直線定界,特殊點定域”的方法.
2. 求二元一次函數(shù)z=ax+by(ab≠0)的最值,將函數(shù)z=ax+by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式:y=-x+,通過求直線的截距的最值間接求出z的最值.要注意:當(dāng)b>0時,截距取最大值時,z也取最大值;截距取最小值時,z也取最小值;當(dāng)b<0時,截距取最大值時,z取最小值;截距取最小值時,z取最大值.
1. 若點(1,3)和(-4,-2)在直線2x+y+m=0的兩側(cè),則m的取值范圍是__________.
答案?。? 5、2×(-4)-2+m]<0,
即(m+5)(m-10)<0,∴-5 6、_.
答案 [-3,3]
解析 作出不等式組的可行域,如圖陰影部分所示,
作直線x-2y=0,并向左上,右下平移,當(dāng)直線過點A時,z=x-2y取最大值;當(dāng)直線過點B時,z=x-2y取最小值.
由得B(1,2),由得A(3,0).
∴zmax=3-2×0=3,zmin=1-2×2=-3,∴z∈[-3,3].
5. (xx·四川)某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克,B原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中,要求每天消耗A、B原料都不超過12千克.通過 7、合理安排生產(chǎn)計劃,從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中,公司共可獲得的最大利潤是 ( )
A.1 800 元 B.2 400 元
C.2 800 元 D.3 100 元
答案 C
解析 設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶,乙產(chǎn)品y桶,每天利潤為z元,
則z=300x+400y.
作出可行域,如圖陰影部分所示.
作直線300x+400y=0,向右上平移,過點A時,
z=300x+400y取最大值,
由得
∴A(4,4),
∴zmax=300×4+400×4=2 800.
題型一 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域
例1 若不等式組所表示的平面區(qū)域被 8、直線y=kx+分為面積相等的兩部分,則k的值是 ( )
A. B. C. D.
思維啟迪:畫出平面區(qū)域,顯然點在已知的平面區(qū)域內(nèi),直線系過定點,結(jié)合圖形尋找直線平分平面區(qū)域面積的條件即可.
答案 A
解析 不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.
由于直線y=kx+過定點.因此只有直線過AB中點時,直線y=kx+能平分平面區(qū)域.
因為A(1,1),B(0,4),所以AB中點D.
當(dāng)y=kx+過點時,=+,
所以k=.
探究提高 不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域點集的交集,畫出圖形后,面積關(guān)系可結(jié)合平面知識探求. 9、
已知關(guān)于x,y的不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為4,則k的值為 ( )
A.1 B.-3
C.1或-3 D.0
答案 A
解析 其中平面區(qū)域kx-y+2≥0是含有坐標(biāo)原點的半平面.直線kx
-y+2=0又過定點(0,2),這樣就可以根據(jù)平面區(qū)域的面積為4,確定
一個封閉的區(qū)域,作出平面區(qū)域即可求解.
平面區(qū)域如圖所示,根據(jù)平面區(qū)域面積為4,得A(2,4),代入直線方程,
得k=1.
題型二 求線性目標(biāo)函數(shù)的最值
例2 已知x,y滿足條件,求4x-3y的最大值和最小值.
思維啟迪:目標(biāo)函數(shù)z=4x-3y是直線形式, 10、可通過平行移動,求最值.
解 不等式組表示的區(qū)域如圖所示.
可觀察出4x-3y在A點取到最大值,在B點取到最小值.
解方程組
,
得,
則A(-1,-6).
解方程組,得.
則B(-3,2),因此4x-3y的最大值和最小值分別為14,-18.
探究提高 (1)線性目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值一般在可行域的頂點處取得,也可能在邊界處取得.
(2)求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解,要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義,明確和直線的縱截距的關(guān)系.
(xx·廣東)已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定.若M(x,y)為D上的動點,點A的坐標(biāo)為(,1),則z=·的最大值為 11、 ( )
A.3 B.4 C.3 D.4
答案 B
解析 由線性約束條件
畫出可行域如圖陰影部分所示,目標(biāo)函數(shù)z=·=x+y,將其化為y=-x+z,結(jié)合圖形可知,目標(biāo)函數(shù)的圖象過點(,2)時,z最大,將點(,2)的坐標(biāo)代入z=x+y得z的最大值為4.
題型三 線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用
例3 某公司計劃在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告,廣告總費(fèi)用不超過9萬元.甲、乙電視臺的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘.假定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告,能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.問該 12、公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間,才能使公司的收益最大,最大收益是多少萬元?
思維啟迪:根據(jù)線性規(guī)劃解決實際問題,要先用字母表示變量,找出各量的關(guān)系列出約束條件,設(shè)出目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題.
解 設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘,總收益為z元,由題意得
目標(biāo)函數(shù)為z=3 000x+2 000y.
二元一次不等式組等價于
作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,
即可行域,如圖:
作直線l:3 000x+2 000y=0,
即3x+2y=0.
平移直線l,從圖中可知,當(dāng)直線l過M點時,目標(biāo)函數(shù)取得最大值.
聯(lián)立
解得x=100,y= 13、200.
∴點M的坐標(biāo)為(100,200),
∴zmax=3 000x+2 000y=700 000(元).
即該公司在甲電視臺做100分鐘廣告,在乙電視臺做200分鐘廣告,公司的收益最大,最大收益是70萬元.
探究提高 解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟是:(1)分析題意,設(shè)出未知量;(2)列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù);(3)作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解;(4)作答.
(1)(xx·江西)某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜,種植面積不超過50畝,投入資金不超過54萬元,假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表
年產(chǎn)量/畝
年種植成本/畝
每噸售價
黃瓜
4噸
1.2萬元
0.5 14、5萬元
韭菜
6噸
0.9萬元
0.3萬元
為使一年的種植總利潤(總利潤=總銷售收入-總種植成本)最大,那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位:畝)分別為 ( )
A.50,0 B.30,20
C.20,30 D.0,50
(2)如果點P在平面區(qū)域上,點Q在曲線x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值為 ( )
A. B.-1
C.2-1 D.-1
答案 (1)B (2)A
解析 (1)設(shè)種植黃瓜x畝,韭菜y畝,則由題意可知求目標(biāo)函數(shù)z=x+0.9y的最大值 15、,根據(jù)題意畫可行域如圖陰影所示.
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線l向右平移,移至點A(30,20)處時,目標(biāo)函數(shù)取得最大值,即當(dāng)黃瓜種植30畝,韭菜種植20畝時,種植總利潤最大.
(2)如圖,當(dāng)P取點,Q取點(0,-1)時,|PQ|有最小值為.
利用線性規(guī)劃思想求解非線性目標(biāo)函數(shù)的最值
典例:(12分)變量x、y滿足,
(1)設(shè)z=,求z的最小值;
(2)設(shè)z=x2+y2,求z的取值范圍;
(3)設(shè)z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范圍.
審題視角 (x,y)是可行域內(nèi)的點.(1)z=可以理解為點(x,y)與點(0,0)連線的斜率.(2)x2+y2可以理解為點(x, 16、y)與點(0,0)連線距離的平方.(3)x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2可以理解為點(x,y)與(-3,2)的距離的平方.結(jié)合圖形確定最值.
規(guī)范解答
解 由約束條件,作出(x,y)的可行域如圖所示.
由,
解得A.
由,解得C(1,1).
由,解得B(5,2).[4分]
(1)∵z==.
∴z的值即是可行域中的點與原點O連線的斜率.
觀察圖形可知zmin=kOB=.[6分]
(2)z=x2+y2的幾何意義是可行域上的點到原點O的距離的平方.結(jié)合圖形可知,可行域上的點到原點的距離中,
dmin=|OC|=,dmax=|OB|=.∴2≤z≤29.[9 17、分]
(3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2的幾何意義是可行域上的點到點(-3,2)的距離的平方.結(jié)合圖形可知,可行域上的點到(-3,2)的距離中,dmin=1-(-3)=4,dmax==8.
∴16≤z≤64.[12分]
溫馨提醒 (1)本題是線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用,考查的是非線性目標(biāo)函數(shù)的最值的求法.
(2)解決這類問題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想方法,給目標(biāo)函數(shù)賦于一定的幾何意義.
(3)本題錯誤率較高.出錯原因是,很多學(xué)生無從入手,缺乏數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用意識,不知道從其幾何意義入手解題.
方法與技巧
1.平面區(qū)域的畫法:線定界、點定域(注意實虛線). 18、
2.求最值:求二元一次函數(shù)z=ax+by (ab≠0)的最值,將函數(shù)z=ax+by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式:y=-x+,通過求直線的截距的最值間接求出z的最值.最優(yōu)解在頂點或邊界取得.
3.解線性規(guī)劃應(yīng)用題,可先找出各變量之間的關(guān)系,最好列成表格,然后用字母表示變量,列出線性約束條件;寫出要研究的函數(shù),轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題.
失誤與防范
1.畫出平面區(qū)域.避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)化.
2.在通過求直線的截距的最值間接求出z的最值時,要注意:當(dāng)b>0時,截距取最大值時,z也取最大值;截距取最小值時,z也取最小值;當(dāng)b<0時,截距取最大值時,z取最小值;截距取最小值時,z 19、取最大值.
A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時間:35分鐘,滿分:57分)
一、選擇題(每小題5分,共20分)
1. 設(shè)A={(x,y)|x,y,1-x-y是三角形的三邊長},則A所表示的平面區(qū)域(不含邊界的陰影部分)是 ( )
答案 A
解析 由已知得即
2. (xx·湖北)直線2x+y-10=0與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點有
( )
A.0個 B.1個 C.2個 D.無數(shù)個
答案 B
解析 在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出直線2x+y-10=0與不等式組表示的平面區(qū)域,易知直線與 20、此區(qū)域的公共點有1個.
3. (xx·山東)設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=3x-y的取值范圍是 ( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 作出不等式組表示的可行域,如圖陰影部分所示,作直線3x-y=0,并向左上、右下平移.
由圖可得,當(dāng)直線過點A時,z=3x-y取最大值;當(dāng)直線過點B時,z=3x-y取最小值.
由解得A(2,0);
由 解得B.
∴zmax=3×2-0=6,zmin=3×-3=-.
∴z=3x-y的取值范圍是.
4. 某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品,由乙車間加工出B 21、產(chǎn)品,甲車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時10小時可加工出7千克A產(chǎn)品,每千克A產(chǎn)品獲利40元,乙車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時6小時可加工出4千克B產(chǎn)品,每千克B產(chǎn)品獲利50元.甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙兩車間耗費(fèi)工時總和不得超過480小時,甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計劃為 ( )
A.甲車間加工原料10箱,乙車間加工原料60箱
B.甲車間加工原料15箱,乙車間加工原料55箱
C.甲車間加工原料18箱,乙車間加工原料50箱
D.甲車間加工原料40箱,乙車間加工原料30箱
答案 B
解析 設(shè)甲車間加工原料x箱,
乙車間加工原料y箱,
則
22、
目標(biāo)函數(shù)z=280x+200y,
結(jié)合圖象可得:當(dāng)x=15,y=55時,z最大.
二、填空題(每小題5分,共15分)
5. (xx·陜西)如圖,點(x,y)在四邊形ABCD內(nèi)部和邊界上運(yùn)動,那么2x-y的最小值為________.
答案 1
解析 令b=2x-y,則y=2x-b,如圖所示,作斜率為2的平行線y=2x-b,
當(dāng)經(jīng)過點A時,直線在y軸上的截距最大,為-b,此時b=2x-y取得最小值,為b=2×1-1=1.
6. (xx·課標(biāo)全國)若變量x,y滿足約束條件則z=x+2y的最小值為________.
答案 -6
解析 作出不等式表示的可行域如圖(陰影部分).
23、易知直線z=x+2y過點B時,z有最小值.
由得
所以zmin=4+2×(-5)=-6.
7. 某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸;生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸.銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元、每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元,該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸、B原料不超過18噸,那么該企業(yè)可獲得的最大利潤是________萬元.
答案 27
解析 設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸、乙產(chǎn)品y噸,
則獲得的利潤為z=5x+3y.
由題意得
可行域如圖陰影所示.
由圖可知當(dāng)x、y在A點取值時,z取得最大值,此時x=3,y=4,z=5×3+3× 24、4=27(萬元).
三、解答題(共22分)
8. (10分)畫出2x-3 25、盈利率分別為100%和50%,可能的最大虧損率分別為30%和10%.若投資人計劃投資金額不超過10萬元,要求確保可能的資金虧損不超過1.8萬元,問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元,才能使可能的盈利最大?
解 設(shè)投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個項目,
由題意知目標(biāo)函數(shù)z=x+0.5y.
上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,陰影部分(含邊界)即為可行域.
將z=x+0.5y變形為y=-2x+2z,這是斜率為-2、隨z變化的一組平行線,當(dāng)直線y=-2x+2z經(jīng)過可行域內(nèi)的點M時,直線y=-2x+2z在y軸上的截距2z最大,z也最大.
這里M點是直線x+y=10和0.3x+0 26、.1y=1.8的交點.
解方程組 得x=4,y=6,
此時z=4+0.5×6=7(萬元).
∵7>0,∴當(dāng)x=4,y=6時,z取得最大值,
所以投資人用4萬元投資甲項目、6萬元投資乙項目,才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下,使可能的盈利最大.
B組 專項能力提升
(時間:25分鐘,滿分:43分)
一、選擇題(每小題5分,共15分)
1. (xx·福建)若函數(shù)y=2x圖象上存在點(x,y)滿足約束條件則實數(shù)m的最大值為 ( )
A.- B.1 C. D.2
答案 B
解析 在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=2x的圖 27、象及
所表示的平面區(qū)域,如圖陰影部分所示.
由圖可知,當(dāng)m≤1時,
函數(shù)y=2x的圖象上存在點(x,y)滿足約束條件,
故m的最大值為1.
2. (xx·課標(biāo)全國)已知正三角形ABC的頂點A(1,1),B(1,3),頂點C在第一象限,若點(x,y)在△ABC內(nèi)部,則z=-x+y的取值范圍是 ( )
A.(1-,2) B.(0,2)
C.(-1,2) D.(0,1+)
答案 A
解析 如圖,
根據(jù)題意得C(1+,2).
作直線-x+y=0,并向左上或右下平移,過點B(1,3)和C(1+,2)時,z=-x+y取范圍的邊界值,即- 28、(1+)+2 29、析 在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式表示的平面區(qū)域及直線2x-y=0,平移該直線,當(dāng)平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(2,-1)時,相應(yīng)直線在x軸上的截距最大,此時z=2x-y取得最大值,最大值是z=2×2-(-1)=5.
5. 已知變量x,y滿足條件若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(其中a>0)僅在點(3,0)處取得最大值,則a的取值范圍是__________.
答案
解析
畫出x、y滿足條件的可行域如圖所示,要使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(3,0)處取得最大值,則直線y=-ax+z的斜率應(yīng)小于直線x+2y-3=0的斜率,即-a<-,∴a>.
6. (xx·湖北改編)已知向量a=(x+z,3) 30、,b=(2,y-z),且a⊥b.若x,y滿足不等式|x|+|y|≤1,則z的取值范圍為__________.
答案 [-3,3]
解析 ∵a=(x+z,3),b=(2,y-z),且a⊥b,
∴a·b=2(x+z)+3(y-z)=0,
即2x+3y-z=0.又|x|+|y|≤1表示的區(qū)域為圖中陰影部分,
∴當(dāng)2x+3y-z=0過點B(0,-1)時,zmin=-3,當(dāng)2x+3y-z=0過點A(0,1)時,zmin=3.
∴z∈[-3,3].
三、解答題
7. (13分)某營養(yǎng)師要為某個兒童預(yù)訂午餐和晚餐.已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物,6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位 31、的維生素C;一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物,6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C.另外,該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物,42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C.如果一個單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元,那么要滿足上述的營養(yǎng)要求,并且花費(fèi)最少,應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個單位的午餐和晚餐?
解
設(shè)需要預(yù)訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個單位和y個單位,所花的費(fèi)用為z元,則依題意得:z=2.5x+4y,且x,y滿足
即
畫出可行域如圖所示.
讓目標(biāo)函數(shù)表示的直線2.5x+4y=z在可行域上平移,
2.5x+4y在(4,3)處取得最小值,由此可知z=22.
因此,應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐,就可滿足要求.
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