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2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 專題突破篇 專題五 解析幾何專題限時訓(xùn)練15 文

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 專題突破篇 專題五 解析幾何專題限時訓(xùn)練15 文 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(xx·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)過三點(diǎn)A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M,N兩點(diǎn),則|MN|=(  ) A.2 B.8 C.4 D.10 答案:C 解析:設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0, 則解得 ∴ 圓的方程為x2+y2-2x+4y-20=0. 令x=0,得y=-2+2或y=-2-2, ∴ M(0,-2+2),N(0,-2-2)或M(0,-2-2),N(0,-2+2),∴ |MN|=4.故選C. 2.(xx·重

2、慶卷)已知直線l:x+ay-1=0(a∈R)是圓C:x2+y2-4x-2y+1=0的對稱軸.過點(diǎn)A(-4,a)作圓C的一條切線,切點(diǎn)為B,則|AB|=(  ) A.2 B.4 C.6 D.2 答案:C 解析:由于直線x+ay-1=0是圓C:x2+y2-4x-2y+1=0的對稱軸,∴ 圓心C(2,1)在直線x+ay-1=0上,∴ 2+a-1=0,∴ a=-1,∴ A(-4,-1). ∴ |AC|2=36+4=40.又r=2,∴ |AB|2=40-4=36.∴ |AB|=6. 3.(xx·廣東卷)平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是(  ) A

3、.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+=0或2x+y-=0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+=0或2x-y-=0 答案:A 解析:∵ 所求直線與直線2x+y+1=0平行,∴ 設(shè)所求的直線方程為2x+y+m=0.∵ 所求直線與圓x2+y2=5相切,∴ =,∴ m=±5.即所求的直線方程為2x+y+5=0或2x+y-5=0. 4.已知過點(diǎn)P(2,2)的直線與圓(x-1)2+y2=5相切,且與直線ax-y+1=0垂直,則a=(  ) A.- B.1 C.2 D. 答案:C 解析:因為點(diǎn)P(2,2)為圓(x-1)2+y2=5上的點(diǎn),

4、由圓的切線性質(zhì)可知,圓心(1,0)與點(diǎn)P(2,2)的連線與過點(diǎn)P(2,2)的切線垂直.因為圓心(1,0)與點(diǎn)P(2,2)的連線的斜率k=2,故過點(diǎn)P(2,2)的切線斜率為-,所以直線ax-y+1=0的斜率為2,因此a=2. 5.已知函數(shù)f(x)=x+sin x(x∈R),且f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,則當(dāng)y≥1時,的取值范圍是(  ) A. B. C. D. 答案:A 解析:因為f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x), 且f′(x)=1+cos x≥0, 所以函數(shù)為奇函數(shù),且在R上是增函數(shù), 所以,由f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤

5、0得f(y2-2y+3)≤f(-x2+4x-1),y2-2y+3≤-x2+4x-1.即x2+y2-4x-2y+4≤0,(x-2)2+(y-1)2≤1,其表示圓(x-2)2+(y-1)2=1及其內(nèi)部. 表示滿足的點(diǎn)P與定點(diǎn)A(-1,0)連線的斜率. 結(jié)合圖形分析可知,直線AC的斜率為=最小,切線AB的斜率為tan∠BAx=tan 2∠PAx===最大. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.(xx·湖北卷)直線l1:y=x+a和l2:y=x+b將單位圓C:x2+y2=1分成長度相等的四段弧,則a2+b2=________. 答案:2 解析:由題意得,直線l1截圓所得的劣弧長為,則圓

6、心到直線l1的距離為,即=?a2=1,同理可得b2=1,則a2+b2=2. 7.(xx·湖北卷)如圖,圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0),與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B(B在A的上方),且|AB|=2. (1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________________________; (2)過點(diǎn)A任作一條直線與圓O:x2+y2=1相交于M,N兩點(diǎn),下列三個結(jié)論: ①=;②-=2; ③+=2. 其中正確結(jié)論的序號是________.(寫出所有正確結(jié)論的序號) 答案:(1)(x-1)2+(y-)2=2 (2)①②③ 解析:(1)取AB的中點(diǎn)D,連接CD,則CD⊥AB. 由題意|AD|=|

7、CD|=1, 故|AC|==,即圓C的半徑為. 又因為圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0),所以圓心C的坐標(biāo)為(1,),故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-)2=2. (2)在(x-1)2+(y-)2=2中,令x=0,得y=±1, 故A(0,-1),B(0,+1). 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), 當(dāng)直線MN斜率不存在時,令M(0,-1),N(0,1), 則==-1,==-1. ∴ =. 當(dāng)直線MN斜率存在時,設(shè)直線MN的方程為y=kx+-1, 由得 (1+k2)x2+2(-1)kx+2(1-)=0, 則x1+x2=,x1x2=, kBM+kNB=+ =+ =

8、+ =-+2k =-+2k=0, 所以kBM=-kNB, 所以∠MBA=∠NBA,BA是∠MBN的角平分線. 由內(nèi)角平分線定理得=,即=. 故=恒成立. 當(dāng)k=0時,可求得=-1, 故=-1為定值. 所以-=-(-1)=2, +=+-1=2, 故①②③都正確. 8.直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn)(其中a,b是實數(shù)),且△AOB是直角三角形(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),則點(diǎn)P(a,b)與點(diǎn)(0,1)之間距離的最小值為________. 答案: 解析:根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示,過點(diǎn)O作OC⊥AB于C,因為△AOB為等腰直角三角形,所以C為弦AB的中點(diǎn),又|O

9、A|=|OB|=1,根據(jù)勾股定理得|AB|=, 所以|OC|=|AB|=. 所以圓心到直線的距離為=, 即2a2+b2=2,即a2=-b2+1≥0. 所以-2≤b≤,則點(diǎn)P(a,b)與點(diǎn)(0,1)之間距離d== =. 設(shè)f(b)=b2-2b+2=(b-2)2,此函數(shù)為對稱軸為b=2的開口向上的拋物線,所以當(dāng)-≤b≤<2時,函數(shù)為減函數(shù). 因為f()=3-2, 所以d的最小值為==-1. 三、解答題(9題12分,10題、11題每題14分,共40分) 9.(xx·河南豫西五校聯(lián)考)已知M為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點(diǎn),且點(diǎn)Q(-2,3). (1)求|

10、MQ|的最大值和最小值; (2)若M(m,n),求的最大值和最小值. 解:(1)由題意知,圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-7)2=8, ∴圓心C的坐標(biāo)為(2,7),半徑r=2, 又|QC|==4>2, |MQ|max=4+2=6,|MQ|min=4-2=2. (2)因為表示直線MQ的斜率, 所以設(shè)直線MQ的方程為y-3=k(x+2), 即kx-y+2k+3=0. 由題意知直線MQ與圓C有交點(diǎn), 所以≤2, 解得2-≤k≤2+, 所以的最大值為2+,最小值為2-. 10.(xx·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知點(diǎn)P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過點(diǎn)P的動直線l與圓C交

11、于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求M的軌跡方程; (2)當(dāng)|OP|=|OM|時,求l的方程及△POM的面積. 解:(1)圓C的方程可化為x2+(y-4)2=16,所以圓心為C(0,4),半徑為4. 設(shè)M(x,y),則=(x,y-4),=(2-x,2-y).由題設(shè)知·=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部,所以M的軌跡方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心,為半徑的圓. 由于|OP|=|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上,又P在圓N上,從而

12、ON⊥PM. 因為ON的斜率為3,所以l的斜率為-, 故l的方程為y=-x+. 又|OM|=|OP|=2,O到l的距離為,|PM|=,所以△POM的面積為. 11.(xx·廣東卷)已知過原點(diǎn)的動直線l與圓C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A,B. (1)求圓C1的圓心坐標(biāo); (2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程; (3)是否存在實數(shù)k,使得直線L:y=k(x-4)與曲線C只有一個交點(diǎn)?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由. 解:(1)把圓C1的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x-3)2+y2=4, ∴ 圓C1的圓心坐標(biāo)為C1(3,0). (2)設(shè)M(x,y),∵

13、A,B為過原點(diǎn)的直線l與圓C1的交點(diǎn),且M為AB的中點(diǎn), ∴ 由圓的性質(zhì)知:MC1⊥MO,∴ ·=0. 又∵ =(3-x,-y),=(-x,-y), ∴ 由向量的數(shù)量積公式得x2-3x+y2=0. 易知直線l的斜率存在,∴ 設(shè)直線l的方程為y=mx, 當(dāng)直線l與圓C1相切時,d==2, 解得m=±. 把相切時直線l的方程代入圓C1的方程化簡得9x2-30x+25=0,解得x=. 當(dāng)直線l經(jīng)過圓C1的圓心時,M的坐標(biāo)為(3,0). 又∵ 直線l與圓C1交于A,B兩點(diǎn),M為AB的中點(diǎn),∴

14、 (3)由題意知直線L表示過定點(diǎn)(4,0),斜率為k的直線, 把直線L的方程代入軌跡C的方程x2-3x+y2=0,其中0時, ①若x=3是方程的解,則f(3)=0?k=0?另一根為x=0<,故在區(qū)間上有且僅有一個根,滿足題意. ②若x=是方程的解,則f=0?k=±?另外一根為x=,<≤3,故在區(qū)間上有且僅有一個根,滿足題意. ③若x=3和x=均不是方程的解,則方程在區(qū)間上有且僅有一個根,只需f·f(3)<0?-

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