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1、2022年高考數(shù)學二輪專題復習 第二周 星期四 函數(shù)與導數(shù)習題 理
函數(shù)與導數(shù)知識(命題意圖:考查含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解,考查應用導數(shù)解決方程解的個數(shù)問題以及不等式恒成立問題等.)
已知函數(shù)f(x)=ex+mx-2,g(x)=mx+ln x.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當m=-1時,試推斷方程|g(x)|=+是否有實數(shù)解;
(3)證明:在區(qū)間(0,+∞)上,函數(shù)y=f(x)的圖象恒在函數(shù)y=g(x)的圖象的上方.
(1)解 由題意可得:f′(x)=ex+m.
當m≥0時,f′(x) >0,
所以當m≥0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,+∞).
當m<0時
2、,令f′(x)>0,
即ex+m>0,
可得x>ln(-m);
令f′(x)<0,即ex+m<0,
可得x<ln(-m).
所以當m<0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[ln(-m),+∞),
單調(diào)減區(qū)間為(-∞,ln(-m)].
(2)解 當m=-1時,g(x)=-x+ln x(x>0),
易得g′(x)=-1.
令g′(x)>0,可得0<x<1,
令g′(x)<0,可得x>1.
故g(x)在x=1處取得極大值,亦即最大值.
即g(x)≤g(1)=-1,∴|g(x)|≥1.
令h(x)=+,
所以h′(x)=.
令h′(x)>0,可得0<x<e,
令h′(x)<
3、0,可得x>e,
故h(x)在x=e取得極大值,亦即最大值.
∴h(x)≤h(e)=+<1.
所以方程|g(x)|=+無實數(shù)解.
(3)證明 由題意可知本題即證:當x∈(0,+∞)時,
f(x)>g(x)恒成立.
令F(x)=f(x)-g(x)=ex-ln x-2(x>0),
則F′(x)=ex-=.
令H(x)=xex-1,
則H′(x)=ex+xex=ex(x+1).
又x∈(0,+∞),
∴H′(x)>0,
∴函數(shù)H(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
∴H(0)=-1.
又H(1)=e-1>0,設x0為函數(shù)H(x)的零點,
則x0∈(0,1),
即H(x0)=x0ex0-1=0,
即x0ex0=1,∴x0==e-x0,ex0=,
∴當x∈(0,x0)時,H(x)<0,
即x∈(0,x0)時,函數(shù)F(x)單調(diào)遞減,
當x∈(x0,+∞)時,H(x)>0,
即x∈(x0,+∞)時,函數(shù)F(x)單調(diào)遞增.
∴x0為函數(shù)F(x)的極小值點,亦即最小值點,
∴F(x)≥F(x0)=ex0-ln x0-2=
+x0-2>2-2=0,
∴F(x)>0,即x∈(0,+∞)時,f(x)>g(x),
∴原題得證.