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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題3 數(shù)列與不等式 教案 文
【重點知識回顧】
1. 數(shù)列在高考中,一般設(shè)計一個客觀題和一個解答題,主要考查數(shù)列和不等式部分的基本知識,對基本運算能力要求較高,解答題常常綜合考查函數(shù)、方程、不等式等知識.難度較大,尤其是數(shù)列、函數(shù)和不等式的綜合考題,又加入了邏輯推理能力的考查,成為了近幾年數(shù)列考題的新熱點.
2. 數(shù)列與不等式部分的重點為:等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前項和;不等式的性質(zhì)、解法和兩個重要不等式的應(yīng)用;該部分重點考查運算能力和邏輯推理能力,考查函數(shù)與方程思想、化歸于轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想.
【典型例題】
1.等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜
2、合
等差數(shù)列與等比數(shù)列都是高考命題的重點知識,考題經(jīng)常將它們綜合在一起綜合考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、求和公式等基礎(chǔ)知識和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用,對基本的運算要求比較高.
例1.設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列,則的前項和=( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:設(shè)數(shù)列的公差為,則根據(jù)題意得,解得或(舍去),所以數(shù)列的前項和.
例2.等比數(shù)列的前n項和為,且4,2,成等差數(shù)列.若=1,則=( )
(A)7 (B)8 (3)15 (4)16
解析:4,2,成等差數(shù)列,,
3、即,
,,因此選C.
點評:該類題目綜合考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、通項公式和等比數(shù)列的求和公式等,基礎(chǔ)性較強,綜合程度較小,要求具有較熟練的運算能力.
2.函數(shù)與不等式綜合
不等式與函數(shù)有著密切的聯(lián)系,其中線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值是近幾年高考的熱點問題之一,經(jīng)常以選擇題或填空題出現(xiàn).有不少關(guān)于最值方面的問題,通常用二次函數(shù)的配方法求最值或用均值不等式求最值,考題經(jīng)常以與不等式有關(guān)的實際應(yīng)用問題出現(xiàn).在應(yīng)用不等式解決實際問題時,要注意以下四點:
①理解題意,設(shè)變量.設(shè)變量時一般把要求最值的變量定為自變量;
②建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題;
③在定義域內(nèi)
4、,求出函數(shù)的最值;
④正確寫出答案.
x
2
2
y
O
-2
z=ax+by
3x-y-6=0
x-y+2=0
例3.設(shè)x,y滿足約束條件 ,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值為12,則的最小值為( )
A. B. C. D. 4
答案:A
解析:不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰
5、影部分,當(dāng)直線ax+by= z(a>0,b>0)過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(4,6)時,目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故選A.
點評:本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題.要求能準(zhǔn)確地畫出不等式表示的平面區(qū)域,并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值,對于形如已知2a+3b=6,求的
最小值常用乘積進(jìn)而用基本不等式解答.
例4.本公司計劃xx年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告,廣告總費用不超過9萬元,甲、乙電視臺的廣告收費標(biāo)準(zhǔn)分別為元/分鐘和200元/分鐘,規(guī)定甲、乙兩個電
6、視臺為該公司所做的每分鐘廣告,能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間,才能使公司的收益最大,最大收益是 萬元.
答案:70
0
100
200
300
100
200
300
400
500
y
x
l
M
解析:設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為分鐘和分鐘,總收益為元,由題意得
目標(biāo)函數(shù)為.
二元一次不等式組等價于
作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,即可行域.
如圖:作直線,即.
平移直線,從圖中可知,當(dāng)直線過點時,目標(biāo)函數(shù)取得最大值.
聯(lián)立解得.點的坐標(biāo)為.
(
7、元).
點評:本題是線性規(guī)劃的實際應(yīng)用問題,需要通過審題理解題意,找出各量之間的關(guān)系,找出線性約束條件,寫出所研究的目標(biāo)函數(shù),通過數(shù)形結(jié)合解答問題.用線性規(guī)劃的方法解決實際問題能提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力,隨著課改的深入,這類試題應(yīng)該是高考的熱點題型之一.
例5.設(shè)為實數(shù),函數(shù).
(1)若,求的取值范圍;
(2)求的最小值;
(3)設(shè)函數(shù),直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集.
解析:(1)若,則;
(2)當(dāng)時,,
當(dāng)時,,
綜上;
(3)時,得,
當(dāng)時,;
當(dāng)時,△>0,得:;
討論得:當(dāng)時,解集為;
當(dāng)時,解集為;
當(dāng)時,解集為.
點評:本小題
8、主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識,考查靈活運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力.
3.函數(shù)與數(shù)列的綜合
高考試題中經(jīng)常將函數(shù)與數(shù)列綜合在一起,設(shè)計綜合性較強的解答題,考查數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項及求和公式等主干知識和分析問題、解決問題的邏輯推理能力.
例6.知函數(shù).
(Ⅰ)設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列,前n項和為,其中.若點(n∈N*)在函數(shù)的圖象上,求證:點也在的圖象上;
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值.
解析:(Ⅰ)證明: 因為所以,
由點在函數(shù)的圖象上,
, 又,
所以,是的等差數(shù)列,
所以,又因為,所以,
故點也在
9、函數(shù)的圖象上.
(Ⅱ)解:,令得.
當(dāng)x變化時,﹑的變化情況如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
f(x)
+
0
-
f(x)
↗
極大值
↘
注意到,從而
①當(dāng),此時無極小值;
②當(dāng)?shù)臉O小值為,此時無極大值;
③當(dāng)既無極大值又無極小值.
點評:本小題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識,考查分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法,考查分析問題和解決問題的能力.
4.?dāng)?shù)列與不等式、簡易邏輯等的綜合
數(shù)列是培養(yǎng)推理論證能力的極好載體,將數(shù)列的知識與推理證明的方法交織在一起進(jìn)行考查,是新課程高考中的一個亮點,常常榮歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸
10、納法、分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想和方法于一體,對能力的要求較高.
例7.設(shè)若是與的等比中項,則的最小值為( )
A.8 B.4 C.1 D.
答案:B
解析:因為,所以,
,當(dāng)且僅當(dāng)即時“=”成立,故選擇B.
點評:本小題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化,以及均值不等式求最值的運用,考查了變通能力.
例8.設(shè)數(shù)列滿足為實數(shù).
(Ⅰ)證明:對任意成立的充分必要條件是;
(Ⅱ)設(shè),證明:;
(Ⅲ)設(shè),證明:.
解析: (1) 必要性: ,又 ,即.
充分性 :設(shè),對用數(shù)學(xué)歸納法證明,
當(dāng)時,.假設(shè),
11、
則,且,
,由數(shù)學(xué)歸納法知對所有成立.
(2) 設(shè) ,當(dāng)時,,結(jié)論成立.
當(dāng) 時,,
,由(1)知,所以 且 ,
,
,
.
(3) 設(shè) ,當(dāng)時,,結(jié)論成立,
當(dāng)時,由(2)知,
,
.
點評:該題綜合考查了等比數(shù)列的求和、不等式的性質(zhì)的應(yīng)用、充分必要條件和數(shù)學(xué)歸納法等,具有較高的難度,對邏輯推理能力的考查要求較高.
5.?dāng)?shù)列與概率的綜合
數(shù)列與概率的綜合考查,雖然不是經(jīng)常但很有新意,這種命題也體現(xiàn)了在知識交匯處命題的指導(dǎo)思想.
例9.將一骰子連續(xù)拋擲三次,它落地時向上的點數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為( ?。?
A.????????? B.??
12、?????? C.??????? D.
解析:一骰子連續(xù)拋擲三次得到的數(shù)列共有個,其中為等差數(shù)列有三類:
(1)公差為0的有6個;(2)公差為1或-1的有8個;(3)公差為2或-2的有4個,共有18個,成等差數(shù)列的概率為,選B.
點評:本題是以數(shù)列和概率的背景出現(xiàn),題型新穎而別開生面,有采取分類討論,分類時要做到不遺漏,不重復(fù).
【模擬演練】
1.公差不為零的等差數(shù)列的前項和為.若是的等比中項, ,則等于( )
A. 18 B. 24 C. 60 D. 90
2. 等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別用Sn
13、和Tn表示,若,則的值為( )
A B C D
3.已知函數(shù),則不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
4. 已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差數(shù)列,x,c,d,y成等比數(shù)列,則的最小值是________.
5.設(shè)數(shù)列的前項和為,點均在函數(shù)的圖象上.
則數(shù)列的通項公式為 .
6.命題實數(shù)滿足,其中,命題實數(shù)滿足或,且是的必要不充分條件,求的取值范圍.
7.已知二次函數(shù)的二次項系數(shù)為 a ,且不等式 的解集為(1 , 3).
(l)若方
14、程有兩個相等的根,求的解析式;
(2)若的最大值為正數(shù),求 a 的取值范圍.
8.圍建一個面積為360m2的矩形場地,要求矩形場地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修),其它三面圍墻要新建,在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進(jìn)出口,如圖所示,已知舊墻的維修費用為45元/m,新墻的造價為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長度為x(單位:元).
(Ⅰ)將y表示為x的函數(shù):
(Ⅱ)試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費用最小,并求出最小總費用.
【參考答案】
1.答案:C
解析:由得得,再由得:則,所以,故選C.
2.答案:A
解析: ∵;.
∴.
3. 答案:
15、C
解析:依題意得或
所以或
解得:,故選C.
4.答案:4
解析:∵=≥=4.
5.答案:
解析:由題意得,即.
當(dāng)n≥2時, ;
當(dāng)n=1時,×-2×1-1-6×1-5.
所以.
6.解析:設(shè),
=
因為是的必要不充分條件,所以,且推不出
而,
所以,則或
即或.
7.解析:(1)因為的解集為(1,3),所以且.
因而 (1)
由方程得: (2)
因為方程(2)有兩個相等的根.
所以,即.
解得:(舍去)或,
將代入(1)得的解析式為:,
(2),
有a < 0,可得的最大值為,
所以 > 0,且a < 0.
解得:,
故當(dāng)?shù)淖畲笾禐檎龜?shù)時,實數(shù)a的取值范圍是.
8.解析:(1)如圖,設(shè)矩形的另一邊長為a m,則-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360,
由已知xa=360,得a=,所以y=225x+.
(II)
.當(dāng)且僅當(dāng)225x=時,等號成立.
即當(dāng)x=24m時,修建圍墻的總費用最小,最小總費用是10440元.