2、 B．1個 C．2個 D．3個
解析：∵a，b，c是不全相等的正數(shù)，故①正確．③錯誤；對任意兩個數(shù)a，b，a＞b與a＜b及a＝b三者必有其一正確，故②正確．
3．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(n·a－b)＋c對一切n∈N*成立，那么(A)
A．a(chǎn)＝，b＝c＝ B．a(chǎn)＝b＝c＝
C．a(chǎn)＝0，b＝c＝ D．不存在這樣的a，b，c
解析：代入n＝1，2，3，聯(lián)立關(guān)于a，b，c的方程組可得，也可通過驗證法求解．
4．已知f(x＋1)＝，f(1)＝1 (x∈N*)，猜想f(x)的表達式為(B)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x
3、)＝ D．f(x)＝
5．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通過計算a2，a3，a4，猜想an＝(B)
A. B.
C. D.
解析：由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1，
∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an，
∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an，
∴an＋1＝an(a≥2)．
當(dāng)n＝2時，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，
∴a2＝＝，a3＝a2＝，a4＝a3＝.
由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.
猜想an＝.
二、填空題
6. (xx·福建卷)若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，
4、4}，且下列四個關(guān)系：
①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數(shù)組(a，b，c，d)的個數(shù)是________個．
解析：由于題意是只有一個是正確的所以①不成立，否則②成立，即可得a≠1，由b≠1即b＝2，3，4，可得b＝2，c＝1，d＝4，a＝3；b＝3，c＝1，d＝4，a＝2，兩種情況．
由c＝2，d＝4，a＝3，b＝1，所以有一種情況．
由d≠4，即d＝1，2，3，可得d＝2，a＝3，b＝1，c＝4；d＝2，a＝4，b＝1，c＝3；d＝3，a＝2，b＝1，c＝4，共三種情況．
綜上共6種．
答案：6
7．(xx·福建卷)一個二元碼是由
5、0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1，2，…，n)稱為第k位碼元．二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤(即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?)．
已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗方程組：
其中運算⊕定義為：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.
現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定k等于________．
解析：因為x2⊕x3⊕x6⊕x7＝0，所以x2，x3，x6，x7都正確．又因為x4⊕x5⊕x6⊕x7＝1，x1⊕x3⊕x5⊕x7＝1，故x1和x4都
6、錯誤，或僅x5錯誤．因為條件中要求僅在第k位發(fā)生碼元錯誤，故只有x5錯誤．
答案：5
8. (xx·陜西卷) 觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：
多面體
面數(shù)(F)
頂點數(shù)(V)
棱數(shù)(E)
三棱錐
5
6
9
五棱錐
6
6
10
立方體
6
8
12
解析：①三棱錐：F＝5，V＝6，E＝9，得F＋V－E＝5＋6－9＝2；
②五棱錐：F＝6，V＝6，E＝10，得F＋V－E＝6＋6－10＝2；
③立方體：F＝6，V＝8，E＝12，得F＋V－E＝6＋8－12＝2；
所以歸納猜想一般凸多面體中，F(xiàn)，V，E所滿足的等式是：F＋V－E＝2.故答案為F＋V－E＝2.
7、
答案：F＋V－E＝2
三、解答題
9．觀察下表：
1，
2，3，
4，5，6，7，
8，9，10，11，12，13，14，15，
…
問：(1)此表第n行的最后一個數(shù)是多少？
(2)此表第n行的各個數(shù)之和是多少？
(3)2 011是第幾行的第幾個數(shù)？
(4)是否存在n∈N*，使得第n行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為227－213－120？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由．
解析：(1)∵第n＋1行的第1個數(shù)是2n，
∴第n行的最后一個數(shù)是2n－1.
(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)
＝＝3·22n－3－2n－2.
8、
(3)∵210＝1 024，211＝2 048，1 024＜2 011＜2 048，∴2 011在第11行，該行第1個數(shù)是210＝1 024，由2 011－1 024＋1＝988，知2 011是第11行的第988個數(shù)．
(4)設(shè)第n行的所有數(shù)之和為an，第n行起連續(xù)10行的所有數(shù)之和為Sn.
則an＝3·22n－3－2n－2，an＋1＝3·22n－1－2n－1，
an＋2＝3·22n＋1－2n，…，an＋9＝3·22n＋15－2n＋7，
∴Sn＝3(22n－3＋22n－1＋…＋22n＋15)－(2n－2＋2n－1＋…＋2n＋7)＝3·－＝22n＋17－22n－3－2n＋8＋2n－2
9、，
當(dāng)n＝5時，S5＝227－128－213＋8＝227－213－120.
∴存在n＝5使得第5行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為227－213－120.
10．蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，下圖為一組蜂巢的截面圖．其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數(shù)．
(1)試給出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表達式(不要求證明)；
(2)證明：＋＋＋…＋＜.
解析：(1)f(4)＝37，f(5)＝61.
由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，
f(3)－f(2)＝1
10、9－7＝2×6，
f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，
f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，
…
因此，當(dāng)n≥2時，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，
所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.
又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，
所以f(n)＝3n2－3n＋1(直接給出結(jié)果也可)．
(2)當(dāng)n≥2時，
＝＜＝.
當(dāng)n＝1時，顯然結(jié)論成立，
當(dāng)n≥2時，＋＋＋…＋＜1＋[＋(－)＋…＋(－)]＝1＋＜1＋＝.
綜上，結(jié)論成立．
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