2022年高三數(shù)學總復習 平面與平面垂直教案 理 教材分析 兩個平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理是平面與平面位置關(guān)系的重要內(nèi)容．通過這節(jié)的學習可以發(fā)現(xiàn)：直線與直線垂直、直線與平面垂直及平面與平面垂直的判定和性質(zhì)定理形成了一套完整的證明體系，而且可以實現(xiàn)利用低維位置關(guān)系推導高維位置關(guān)系，利用高維位置關(guān)系也能推導低維位置關(guān)系，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的重要地位．這節(jié)課的重點是判定定理及性質(zhì)定理，難點是定理的發(fā)現(xiàn)及證明． 教學目標 1. 掌握兩平面垂直的有關(guān)概念，以及兩個平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，能運用概念和定理進行有關(guān)計算與證明． 2. 培養(yǎng)學生的空間想象能力，邏輯思維能力，知識遷移能力，運用數(shù)學知識和數(shù)學方法觀察、研究現(xiàn)實現(xiàn)象的能力，整理知識、解決問題的能力． 3. 通過對實際問題的分析和探究，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生認真參與、積極交流的主體意識和樂于探索、勇于創(chuàng)新的科學精神． 任務分析 判定定理證明的難點是畫輔助線．為了突破這一難點，可引導學生這樣分析：在沒有得到判定定理時，只有根據(jù)兩平面互相垂直的定義來證明，那么，哪個平面與這兩個平面都垂直呢？對性質(zhì)定理的引入，不是采取平鋪直敘，而是根據(jù)數(shù)學定理的教學是由發(fā)現(xiàn)與論證這兩個過程組成的，所以應把“引出命題”和“猜想”作為本部分的重要活動內(nèi)容． 教學設計 一、問題情境 1. 建筑工人在砌墻時，常用一根鉛垂的線吊在墻角上，這是為什么？（為了使墻面與地面垂直） 2. 什么叫兩個平面垂直？怎樣判定兩平面垂直，兩平面垂直有哪些性質(zhì)？ 二、建立模型 如圖19-1，兩個平面α，β相交，交線為CD，在CD上任取一點B，過點B分別在α，β內(nèi)作直線BA和BE，使BA⊥CD，BE⊥CD．于是，直線CD⊥平面ABE． 容易看到，∠ABE為直角時，給我們兩平面垂直的印象，于是有定義： 如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，并且這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直，就稱這兩個平面互相垂直． 平面α，β互相垂直，記作α⊥β． ［問　題］ 1. 建筑工人在砌墻時，鉛垂線在墻面內(nèi)，墻面與地面就垂直嗎？ 如圖19-1，只要α經(jīng)過β的垂線BA，則BA⊥β，∴BA⊥BE，∠ABE＝Rt∠．依定義，知α⊥β．于是，有判定定理： 定理　如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則兩個平面互相垂直． 2. 如果交換判定定理中的條件“BA⊥β”和結(jié)論“α⊥β”．即，也就是從平面與平面垂直出發(fā)，能否推出直線與平面垂直？ 平面α內(nèi)滿足什么條件的直線才能垂直于平面β呢？讓學生用教科書、桌面、筆擺模型．通過模型發(fā)現(xiàn)：當α⊥β時，只有在一個平面（如α）內(nèi)，垂直于兩平面交線的直線（如BA）才會垂直于另一個平面（如β）． 于是，有定理： 定理　如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面． （先分析命題的條件和結(jié)論，然后畫出圖形，再結(jié)合圖形，寫出已知，求證） 已知：如圖，α⊥β，α∩β＝CD，ABα，AB⊥CD，求證：AB⊥β． 分析：要證AB⊥β，只需在β內(nèi)再找一條直線與ＡＢ 垂直，但β內(nèi)沒有這樣的直線，如何作出這條直線呢？因為α⊥β，所以可根據(jù)二面角的定義作出這個二面角的平面角．在平面β內(nèi)過點B作BE⊥CD．因為AB⊥CD，所以∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，并且∠ABE＝90°，即AB⊥BE．又因為CDβ，BEβ，所以AB⊥β． 三、解釋應用 ［例　題］ 1. 已知：如圖，平面α⊥平面β，在α與β的交線上取線段AB＝4cm，AC，BD分別在平面α和平面β內(nèi)，它們都垂直于交線AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD長． 解：連接BC． 因為AC⊥AB， 所以AC⊥β，AC⊥BD． 因為BD⊥AB， 所以BD⊥α，BD⊥BC． 所以，△CBD是直角三角形． 在Rt△BAC中，BC＝＝5（cm）， 在Rt△CBD中，CD＝＝13（cm）． 2. 已知：在Rt△ABC中，AB＝AC＝ａ，AD是斜邊BC的高，以AD為折痕使∠BDC折成直角（如圖19-4）． 求證：（1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC． （2）∠BAC＝60°． 證明：（1）如圖19-4（2）， 因為AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC． 因為平面ABD和平面ACD都過AD， 所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC． （2）如圖19-4（1），在Rt△BAC中， 因為AB＝AC＝ａ， 所以BC＝ａ，BD＝DC＝． 如圖19-4（2），△BDC是等腰直角三角形， 所以BC＝BD＝2×＝ａ． 得AB＝AC＝BC．所以∠BAC＝60°． ［練　習］ 1. 如圖19-5，有一個正三棱錐體的零件，P是側(cè)面ACD上一點．問：如何在面ACD上過點P畫一條與棱AB垂直的線段？試說明理由． 2. 已知：如圖19-6，在空間四邊形ABCD中，AC＝AD，BC＝BD，E是CD 的中點． 求證：（1）平面ABE⊥平面BCD．（2）平面ABE⊥平面ACD． 四、拓展延伸 能否將平面幾何中的勾股定理推廣到立體幾何學中去？試寫一篇研究性的小論文． 點　評 這篇案例結(jié)構(gòu)完整，構(gòu)思新穎．案例開始以一個生活中常見的例子引入問題，得到了兩平面垂直的定義．還是這個例子，改變了問法又得到了兩平面垂直的判定定理．即把學科理論和學生的生活實際相結(jié)合，激起了學生探索問題的熱情．對性質(zhì)定理和判定定理的引入和證明也不是平鋪直敘，而是充分展現(xiàn)了定理的發(fā)現(xiàn)和形成過程．通過學生的認真參與，師生之間的民主交流，培養(yǎng)了學生的主體意識和樂于探索、勇于創(chuàng)新的科學精神．