2022年高二數(shù)學(xué) 直線 平面 簡(jiǎn)單幾何 二面角 平面圖形的“翻折”問(wèn)題同步教案 新人教A版 【教學(xué)內(nèi)容、目標(biāo)】 第九章 直線 平面 簡(jiǎn)單幾何 1、二面角的概念及大小的計(jì)算 2、平面圖形的“翻折”問(wèn)題 【知識(shí)重點(diǎn)與難點(diǎn)】 1、掌握作二面角大1小的常用方法 關(guān)鍵是直接作出或找出二面角的平面角，經(jīng)證明后再進(jìn)行計(jì)算。一般有以下三種方法：①定義法 當(dāng)點(diǎn)A在二面角α-l-β的棱l上時(shí)，可過(guò)A分別在α、β內(nèi)作棱 l的垂線AB、AC，由定義可知∠BAC即為二面角α-l-β的平面 角。 ②三垂線法 當(dāng)點(diǎn)A在二面角α-l-β的一個(gè)面α內(nèi)時(shí)，可作AO⊥β于O，再 作OB⊥l于B，連結(jié)AB，由三垂線定理可得AB⊥l，故∠ABO 即為二面角α-l-β的平面角。 ③垂面法 當(dāng)點(diǎn)A在二面角α-l-β內(nèi)時(shí)，可作AB⊥α于B，AC⊥β于C， 設(shè)1過(guò)AB、AC的平面與l交于點(diǎn)O，連結(jié)OB、OC，可證平面ABOC 是l的垂面，則l⊥OB，l⊥OC，∠BOC即為二面角α-l-β的平 面角。 2、解平面圖形的“翻折”問(wèn)題時(shí)，通常同時(shí)畫(huà)出折前的平面圖形和折后的空間圖形，進(jìn)行對(duì)照分析。凡在折后的圖形中添加的輔助線，都應(yīng)在折前的平面圖形中相應(yīng)畫(huà)出，這樣，容易對(duì)有關(guān)線段、角的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系作出正確判斷。 【典型例題】 例1：過(guò)60°的二面角α-MN-β的棱上一點(diǎn)O，分別在α、β內(nèi)引兩條射線OP、OQ，使∠PON和∠QON都是45°角，求∠POQ的余弦值。 分析：關(guān)鍵作出二面角α-MN-β的平面角。為給已知的兩個(gè)45°的角及所求的∠POQ構(gòu)造三角形，用定義法在MN上取一點(diǎn)A，作出二面角的平面角。 解：在MN上取一點(diǎn)A，過(guò)A分別在α、β內(nèi)作MN的垂線，與OP、OQ分別交于點(diǎn)P、Q，連結(jié)PQ，則∠PAQ即為二面角α-MN-β的平面角，∠PAQ=60°。 設(shè)OA=a，則Rt△PAO中，PA=OA=a，PO=a 同理：Rt△QAO中，QA=OA=a， ∵△PAQ中，PA=QA=a，∠PAQ=60° ∴PQ=a △POQ中，cos∠POQ= ∴∠POQ的余弦值為11 例2：P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，且MN⊥平面PCD，求二面角P-CD-B的大小。 分析：關(guān)鍵求二面角的平面角，先在圖中現(xiàn)有的角中找，發(fā)現(xiàn)AD⊥DC，若能證明PD⊥DC，則∠PDA即為所求。 解：∵PA⊥平面ABCD，AD⊥DC ∴由三垂線定理得：PD⊥DC ∴∠PDA即為二面角P-CD-B的平面角。 連結(jié)PM、CM ∵M(jìn)N⊥平面PCD，PC平面PCD ∴MN⊥PC 又N是PC中點(diǎn) ∴PM=CM 由Rt△PMA≌Rt△CMB ∴PA=BC 又BC=AD 1 ∴PA=AD ∴Rt△PAD中，∠PDA=45° ∴二面角P-CD-B的大小為45°。 點(diǎn)評(píng)：在找二面角的平面角時(shí)，若有線面垂直的條件，則應(yīng)想到三垂線定理或其逆定理。找到后，一般在平面角所在三角形中利用三角函數(shù)或平幾知識(shí)進(jìn)行計(jì)算。 例3：在120°的二面角α-l-β內(nèi)有一點(diǎn)P，PA⊥α于A，PB⊥β于B，PA=2，PB=3，求①AB的長(zhǎng)；②P到棱l上的距離。 分析：先作出表示120°的二面角的平面角。 解：①設(shè)平面PAB交棱l于C。 連結(jié)AC、BC ∵PA⊥α，lα ∴l(xiāng)⊥平面PAB 又∵AC平面PAB，11BC平面PAB ∴l(xiāng)⊥AC，l⊥BC ∠BCA即為二面角α-l-β的平面角，∠BCA=120° 平面四邊形PACB中，∠PAC=∠PBC=90° ∴∠ACB+∠P=180° ∴∠P=60° ∵△PAB中，AB2=PA2+PB2-2PA·PBcos∠P=4+9-12 ∴AB= ②連結(jié)PC ∵①中已證l⊥平面PAB，PC平面PAB ∴l(xiāng)⊥PC，PC即為P到l的距離 ∵P、A、C、B四點(diǎn)共圓，PC為直徑 ∴由正弦定理，PC ∴AB的長(zhǎng)為，P到l的距離為 例4：①長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，設(shè)二面角A- B1C1- A1大小為θ，求證： 證明：∵B1C1⊥平面AB1，平面AB1平面AB1 ∴B1C1⊥AB1 又∵A1B1⊥B1 C1 ∴AB1A1即為二面角的平面角 ∠A B1 A1=θ11 ∵S△A1B1C1= S△AB1C1= ∴ 點(diǎn)評(píng)：題中，△A1B1C1為△AB1C1在底面的射影，此題的結(jié)論可以推廣：設(shè)平面α內(nèi)的一個(gè)封閉幾何圖形面積為S，此幾何圖形在β內(nèi)的射影面積為S’，二面角α-l-β的大小為θ，可以證明，由于運(yùn)用了射影，因此該方法也稱(chēng)為射影法。 ②若正方體ABCD-A1B1C1D1，E為棱CC1的中點(diǎn)，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。 分析：題中△AB1E在1底面的射影為△AB1C1，因此由公式可得。 但是由于對(duì)使用此公式的合法性有爭(zhēng)議，因此我們?cè)诖箢}目的書(shū)寫(xiě)過(guò)程中要謹(jǐn)慎使用。在這里我們還是作出二面角的棱，并利用三垂法定理作出平面角。 解：連結(jié)AE并延長(zhǎng)交A1C1的延長(zhǎng)線于F，作直線B1F，在底面A1B1C1D1內(nèi)作C1H⊥B1F于H，A1G⊥B1F于G，連結(jié)EH、AG ∵EC1⊥底面A1B1C1D1 ∴由三垂線定理可得EH⊥B1F ∠EHC1為二面角A-B1F-A1的平面角，設(shè)為θ 同理：∠AGA1=θ ∵S△A1B1C1= S△A1B1F- S△C1B1F=B1F·A1G-B1F·C1H S△AB1E= S△AB1F- S△EB1F= B1F·AG-B1F·EH ∴ 設(shè)棱長(zhǎng)為2，則AE=3，AB1=,B1E= ∵cos∠B1AE= ∴∠B1AE=45° ∴S△B1AE= 而S△B1A1C1=211 ∴平面AB1E與底面A1B1C1D1所成角θ的余弦值為：cosθ= 例5：在正方形紙片ABCD的四邊AB、AD、CD、CB上，分別取E、F、G、H四個(gè)點(diǎn)，使AE：EB=AF：FD=CG：GD=CH：HB=1：2，將紙片沿對(duì)角線BD折起，①試證EFGH是矩形；②求當(dāng)二面角 A-BD-C為多少度時(shí)EFGH是正方形。 ①證明：∵AE:EB=AF:FD=1:2 ∴EF ∴ 翻折之前1，圖①中，EH∩BD=K，連結(jié)AC 由BE:BA=BH:BC=2:3 可得EH//AC ∵AC⊥BD ∴EH⊥BD 翻折之后圖②中，BD⊥EK，BD⊥HK，EK∩HK=K ∴BD⊥平面EKH，EH平面EKH ∴BD⊥EH 又∵BD//HG ∴HG⊥EH 又∵ ∴EFGH是矩形 設(shè)AB=a，則HG= ②要使EFGH是正方形，只需使EH=HG= 在圖（2）中，連結(jié)AC，則EH 折起使 取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO、CO，則AO⊥BD，CO⊥BD ∠AOC為A-BD-C的平面角，且AO=CO= 當(dāng)∠AOC=60°時(shí)，AC= ∴當(dāng)二面角A-BD-C為60°時(shí)，EFGH是正方形。 點(diǎn)評(píng)：在翻折問(wèn)題中，一定要弄清翻折前后，哪些關(guān)系未變，哪些關(guān)系有變化。翻折前后，始終處于同一平面內(nèi)的。關(guān)系不會(huì)改變。如本題中，EK、HK始終垂直于BD，但EH垂直于BD就需證明，并且EH的長(zhǎng)度變化了。 例6:已知四邊形ABCD中,∠B=∠D=90°,AC=2,∠BAC=30°,∠CAD=45°，沿AC將四邊形ABCD折起，使B點(diǎn)在平面ACD上的射影F恰在CD邊上。 （1）求證：平面ABD⊥1平面BCD （2）求二面角B-AC-D的余弦值及二面角A-BC-D的余弦值。 分析：翻折后原△ABC及△ADC內(nèi)的邊角關(guān)系未變，把這些轉(zhuǎn)移到圖（2）中，圖（2）中多了BF⊥平面ACD這個(gè)條件。 ①要證面面垂直，應(yīng)在其中一個(gè)面中找到另一個(gè)面的垂線，本題中發(fā)現(xiàn)AD⊥DC且AD⊥BF，得證。 ②要找B-AC-D的平面角，由于BF⊥平面ACD，因此利用三垂線定理“一作一連”（過(guò)F作棱AC的垂線，連結(jié)B與垂足）即可得。 解：①∵F是B在平面ACD內(nèi)的射影 ∴BF⊥平面ACD 又∵AD平面ACD ∴BF⊥AD 又∵AD⊥DC，DC∩BF=F ∴AD⊥平面BCD1 AD平面ABD ∴平面ADB⊥平面BCD ②在平面ACD內(nèi)作FE⊥AC于E，連結(jié)BE ∵BF平面ACD ∴由三垂線定理得AC⊥BE ∠BEF即為二面角B-AC-D的平面角 Rt△ABC中，BE= ∵AD⊥平面BCD，BC平面BCD ∴AD⊥BC 又BC⊥AB，AB∩AD=A ∴BC⊥平面ABD Rt△BCD中，BC=1，DC= ∴△BCD為等腰直角三角形 ∴BF=1 Rt△BFE中,sin∠BEF= cos∠BEF= ∵BC⊥平面ABD ∴∠ABD即為二面角A-BC-D的平面角 △ABD中，AB= cos∠ABD= 【同步練習(xí)】 一、選擇題： 1、已知二面角α-a1-β的大小為θ（），ABα，CDβ，且AB⊥a，CD⊥a，若AB與CD所成的角為φ，則（ ） A、φ=θ B、φ=θ- C、φ=θ+ D、φ=π-θ 2、已知直線m平面α，二面角α-l-β的大小為φ，且m與β所成角為θ，則 （ ） A、φθ B、φ<θ 1 C、當(dāng)φ>時(shí)，φ>θ;當(dāng)φ時(shí)，φθ D、φ與θ的大小關(guān)系不能確定 3、在正方體ABCD-1A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值等于（ ） A、 B、 C、 D、 4、在二面角α-l-β中，AB⊥β于B，BC⊥α于C，若AB=6，BC=3，則二面角α-l-β的平面角的大小為（ ） A、30° B、60° C、30°或150° D、60°或120° 5、過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段AP⊥平面ABCD，且AP=AB，則半平面ABP與半平面CDP所成二面角的度數(shù)是（ ） 1 A、30° B、45° C、60° D、90° 二、填空題： 6、有一山坡，傾斜角為30°，若在斜坡平面內(nèi)沿著一條與斜坡底線成45°角的直線前進(jìn)1公里，則升高了 米。 7、將銳角∠QMN=60°，邊長(zhǎng)MN=a的菱形MNPQ沿對(duì)角線NQ折成60°的二面角，11則MP與NQ間的距離為 。 8、已知Rt△ABC的斜邊AB在平面α內(nèi)，AC、BC分別和α成30°、45°角，則平面ABC與平面α相交所成四個(gè)兩面角大小為 。 三、解答題： 9、在等腰梯形ABCD中，AB||CD，AB=20cm，CD=12cm，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，MN=，沿MN把它折成120°的二面角后，求BD。 101、已知α-l-β是60°的二面角，Aα，Bβ，AB=20cm,A、B到l的距離分別為5cm和8cm，求A、B在棱l上射影之間的距離。 11、已知△ABC所在平面外一點(diǎn)P，平面PBC⊥平面ABC，△PBC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，∠ACB=90°，∠BAC=30°，M是BC的中點(diǎn)，求二面角C-PA-M的正弦值。 12、已知Rt△ABC的兩直角邊AB=2，BC=3，P為斜邊AC上的點(diǎn)，以BP為棱折成直二面角A-BP-C，后AC=，求二面角P-AB-C的正切值。 【參考答案】 一、選擇題： 1、D 兩1直線AB、CD所成角 過(guò)C作CE||AB，∠DCE=θ，φ=π-θ 2、A 當(dāng)φ≥時(shí)，θ∈[0，]，φ≥θ 當(dāng)φ<時(shí)，①m與l不垂直時(shí)，AC⊥β于C，CD⊥l于D ∠ADC =φ，∠ABC=θ tan∠ADC= tan∠ABC= ∵Rt△BCD中，CD<BC ∴tan∠ADC>tan∠ABC tanφ>tanθ φ、θ銳角 ∴φ>θ ②m與l垂直時(shí)，φ=θ 得上：φ≥θ 3、C 法一：取BD中點(diǎn)O 連結(jié)A1O,AO 可證：BD⊥AO，BD⊥A1O, ∠A1OA即為所求二面角的平面角 tan∠A1OA= 法二1：利用公式cosθ= 設(shè)棱長(zhǎng)為a，S△ABD= S△A1BD== cosθ= tanθ= 4、D ①當(dāng)二面角α-l-β是銳角時(shí)，連結(jié)AC并延長(zhǎng)交l于D 連結(jié)B1D， ∵AB⊥β，lβ ∴AB⊥l 同理：BC⊥l ∴l(xiāng)⊥平面ABC，AD平面ABC，BD平面ABC ∴l(xiāng)⊥AD，l⊥BD ∴∠ADB為二面角的平面角 ∠ADB=90°-∠BAD Rt∠ABC中，sin∠BAD=，∠BAD=30° ∴∠ADB=60° ②當(dāng)二面角α-l-β是鈍角時(shí)，如圖:則二面角α-l-β的平面角是∠ADB的補(bǔ)角120° 5、B 方法一：證明DA⊥平面PAB，CB⊥平面PAB △PAB11是△PDC在平面PAB內(nèi)的射影 設(shè)二面角大小為θ PA=AB=a S△PAB= 可證DC⊥PD，S△PDC=DC·PD=·a·a= cosθ= θ=45° 方法二：把幾何體補(bǔ)形成正方體ABCD-PB1C1D1，平面ABP與平面CDP所成二面角即為C- PB1-B，平面角為∠DPA=45° 二、填空1題： 6、250米 過(guò)B作BC⊥β于C，過(guò)C在β內(nèi)作CD⊥l于D，連結(jié)BD 由三垂線定1理，∠BDC為二面角的平面角，∠BDC=30° Rt△ABD中，BD=AB·sin45°=500 Rt△BCD中，BC=BD·sin30°=250 7、 a 折后△PNQ，△MNQ是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形。 △ PNM，△PQM是腰為a的等腰三角形。 取QN中點(diǎn)O，PM中點(diǎn)K，連結(jié)OK △QKN中，KO⊥NQ，△OPM中，OK⊥PM OK為MP與NQ之間的距離，且∠POM為二面角的平面角∠POM=60°1，△POM為等邊三角形，Rt△QPO中，OP=a·sin60°=， Rt△POK中，OK=OPsin60°= a 8、60°或120° 作CO⊥α于O，連結(jié)OA、OB 在α內(nèi)作OH⊥AB于H，連結(jié)CH。 則∠CAO=30°，∠CBO=45° ∠CHO為二面角C-AB-O的平面角， 設(shè)CO=1，OA=，AC=2，BO=1，BC= Rt△ABC中，1AB=，CH= sin∠CHO= ∵平面α被AB分成兩個(gè)半平面 ∴平面ABC與平面α所成的四個(gè)二面角大小為60°或120° 9、18cm 過(guò)D作DH⊥AM于H，連結(jié)B′H ∵M(jìn)N⊥AM，MN⊥BM ∴MN⊥平面AMB′ ∠AMB′為二面角的平面角 ∠AMB′=120° △HMB′中，HM=6，MB′=10 HB′2=HM2+B′M2-2HM·B′Mcos120° =196 DH⊥平面AMB′,Rt△DH B′中，DB′2=DH2+B′H2 =324 DB′=1811 10、3 解：在α內(nèi)作AC⊥l于C，則AC=5， 在β內(nèi)作BD⊥l于D，則BD=8 A、B在棱l上射影之間的距離即為CD 在β內(nèi)過(guò)C作CEBD，連結(jié)AE、BE ∵BD⊥l，CE//BD ∴CE⊥l，又AC⊥l ∴∠ACE即為α-l-β的平面角 ∠ACE=60° ∵BD1CE ∴ BECD ∴BECD ∵CD⊥AC，CD⊥CE，AC∩CE=C ∴CD⊥平面ACE ∴BE⊥平面ACE、AE平面ACE 1∴BE⊥AE ∵△ACE中，AC=5、CE=8，∠ACE=60° ∴AE2=AC2+EC2-2AC·EC·cos60°=25+64-2×5×8×=49 ∴AE=7 ∵Rt△ABE中，AB=20，AE=7，∴BE= ∴CD=3 ∴A、B在棱l上射影之間距離為3cm 11、 解：∵1平面PBC⊥平面ABC，交線為BC，M是正三角形PBC的邊BC上的中點(diǎn)，△PBC是正三角形，有PM⊥BC ∴PM⊥平面ABC 又AC平面ABC1 ∴PM⊥AC 又∵AC⊥BC ∴AC⊥平面PBC 進(jìn)而平面PAC⊥平面PBC1 作MH⊥PC于H，則MH⊥平面PAC1 作MD⊥PA于D，連結(jié)DH，由三垂線逆定理知 DH⊥PA，∠MDH為二面角C-PA-M的平面角， 正△PBC中，邊長(zhǎng)為a，則PM= Rt△ACB中, ∠BAC=30°，BC=a，AC=，MA= PA= ∴MD=11 Rt△MHD中，sin∠MDH= 12、1 過(guò)A、C分別作直線BP的垂線交BP于E、F，連結(jié)EC ∵二面角A-BP-C為直二面角 ∴AE⊥平面BCP，CF⊥平面ABP 作FD⊥AB于D，連結(jié)CD，則CD⊥AB ∴∠FDC為二面角P-AB-C的1平面角 設(shè)∠ABP=θ，則AE=2sinθ，BE=2cosθ ∠FCB=∠ABE=θ，F(xiàn)C=3co sθ,BF=3 sinθ EF=|3sinθ-2cosθ| EC2=EF2+FC2=(3sinθ-2cosθ)2+(3cosθ)2 由AE2+EC2=AC2 (2sinθ)2+ (3sinθ-2cosθ)2+(3cosθ)2=7 sin2θ=1 θ=45° FC=1 tan∠FDC= 即：1二面角P-AB-C的正切值為