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1、2022年高三數學一輪總復習 專題八 數列（含解析） 抓住5個高考重點 重點1 數列的概念與通項公式 1.數列的定義 2.通項與前項和的關系： 3.數列的一般性質：（1）單調性；（2）周期性-若，則為周期數列，為的一個周期. 4.數列通項公式的求法：觀察、歸納與猜想 [高考?？冀嵌萞 角度1 已知數列滿足，則 解析：主要考查對數列中項數的分析處理能力， 角度2 已知數列的前項和為第項滿足則（ ） A. B. C. D. 解析：當時，；當時，，故 由，故選B

2、 重點2等差數列及其前項和 1.等差數列的通項公式： 2.等差數列的前項和公式：，為常數 3.等差數列的性質與應用：也成等差數列 4.等差數列前項和的最值：（1）若，數列的前幾項為負數，則所有負數項或零項之和為最?。? （2）若，數列的前幾項為正數，則所有正數項或零項之和為最大； （3）通過用配方法或導數求解. 5等差數列的判定與證明：（1）利用定義，（2）利用等差中項， （3）利用通項公式為常數，（4）利用前項和，為常數 [高考?？冀嵌萞 角度1在等差數列中，，則__________ 解析：由等差數列的性質知. 角度2已知為等差數列，其公差為，且是與的等比

3、中項，為的前項和，，則的值為（ ） A． 　　 B． 　　 C． 　 D． 解析：∵，∴，解之得， ∴. 故選D. 角度3設等差數列的前項和為,若,,則當取最小值時等于（ ） A． B． C． D． 解析：設該數列的公差為，則，解得， 所以，所以當時，取最小值.選A 角度4已知數列滿足對任意的，都有，且． （1）求，的值； （2）求數列的通項公式； （3）設數列的前項和為，不等式對任意的正整數恒成立，求實數的取值范圍． 解：（1）當時，有，由于，所以．

4、 當時，有，將代入上式，由于，所以． （2）由于， ① 則有． ② ②－①，得， 由于，所以． ③ 同樣有，， ④ ③－④，得． 所以． 由于，即當時都有，所以數列是首項為1，公差為1的等差數列． 故． （3） 數列是遞增數列，故 要使不等式對任意的正整數恒成立 只須，又 故 所以 實數的取值范圍是 角度5 （xx.福建）已知等差數列中，，． （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ

5、）若數列的前項和，求的值． 解析：（Ⅰ）設等差數列的公差，則， 由題設，，所以．． （Ⅱ）因為， 所以，解得或．因為，所以． 重點3 等比數列及其前項和 1.等比數列的通項公式： 2.等比數列的前項和公式： 3.等比數列的性質與應用: 也成等比數列 4.等比數列的判定與證明：（1）利用定義為常數（2）利用等比中項， [高考?？冀嵌萞 角度1若等比數列滿足，則公比為（ ） A. B. C. D. 解析：由題有，故選擇B. 角度2在等比數列中，若則公比 ；

6、 . 解析：由已知得；所以. 角度3設數列的前項和為 已知 （Ⅰ）設，證明數列是等比數列 （Ⅱ）求數列的通項公式。 解析：（Ⅰ）由及，有 由，………………………① 　 則當時，有……….② ②－①得 ， 又， 是首項，公比為2的等比數列． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， （如果不這樣，就要用到累差法了） 　　　數列是首項為，公差為的等比數列． 　　　， 故 角度4等比數列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數，且中的任何兩個數不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14

7、 第三行 9 8 18 （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）若數列滿足：，求數列的前項和. 解析：（Ⅰ）當時，不合題意；當時，不合題意. 當時，當且僅當時，符合題意；因此 故 （Ⅱ）因為 重點4 數列的求和 1.數列求和的注意事項：（1）首項：從哪項開始相加；（2）有多少項求和；（3）通項的特征決定求和的方法 2.常見的求和技巧：（1）公式法，利用等差數列、等比數列的求和公式； （2）倒序相加法； （3）錯位相減法； （4）分組求和法； （5）裂項法； （6）并項法 [高考?？冀嵌萞 角度1若數列的通項公式是,則（

8、 ） A. B. C. D. 解析:方法一：分別求出前10項相加即可得出結論； 方法二：，故.故選A. 角度2 已知數列，求此數列的前項和 解析：由 角度3數列為等差數列，為正整數，其前項和為，數列為等比數列，且， 數列是公比為64的等比數列，. （1）求； （2）求證. 解：設{}公差為，由題意易知，且 則{}通項，前項和 再設{}公比為，則{}通項 由可得 ① 又{}為公比為64的等比數列，∴，∴ ② 聯立①、②及，且可解

9、得 ∴{}通項， 的通項， （2）由（1）知， ∴ 角度4 設若，則________ 解析： 由得 ， 角度5 設數列滿足 （1）求數列的通項公式 （2）設求數列的前項和 解析：（1）由已知 ① 當時， ② 兩式相減得， 在①中，令，得 所以 （2） ③ ④ 相減得 重點5 數列的綜合應用 1.等差數列與等比數列的綜合 2.數列的實際應用（貴州省所考的新課程全國Ⅱ卷基本上不考此類題，故未選入）

10、[高考?？冀嵌萞 角度1設，其中成公比為的等比數列，成公差為的等差數列，則的最小值是________ 解析：由題意：， ，而的最小值分別為 . 角度2已知是以a為首項，q為公比的等比數列，為它的前n項和． （Ⅰ）當、、成等差數列時，求q的值； （Ⅱ）當、、成等差數列時，求證：對任意自然數k，、、也成等差數列． 解析：（Ⅰ）由已知，，因此，，． 當、、成等差數列時，，可得． 化簡得．解得． （Ⅱ）若，則的每項，此時、、顯然成等差數列． 若，由、、成等差數列可得，即． 整理得．因此，． 所以，、、也成等差數列． 突破3個高考難點 難點1 數列的遞推公式及

11、應用 1.求（為常數）型的通項公式 （1）當時，為等差數列 （2）當時，為等差數列 （3）當且時，方法是累差法或待定系數法，具體做法是： 數列為等比數列 2.求（且為常數）型的通項公式，具體做法是：“倒代換” 由變形為，故是以為首項，為公差的等差數列，進而求解 3. 求（為常數）型的通項公式，具體做法是： 由，令，則，再行求解. 典例 根據下列條件，求數列的通項公式 （1） （待定系數法） 解析：由，是以為公比，為首項的等比數列 （2）（換元法） 解析：由，是以公差，1為首項的等差數列 （3） （累差法、換元法、待定系數法） 解析：兩

12、邊除以得，令，則 是以為公比，為首項的等比數列， （4） （累積法） 解析：由已知得 以上各式相乘，得 （5） （換元法） 解析：由已知 是以為公比，為首項的等比數列， 所以 難點2 數列與不等式的交匯 典例設數列滿足且 （Ⅰ）求的通項公式； （Ⅱ）設記證明： 解析：（Ⅰ）由已知，是公差為1的等差數列，， （Ⅱ） 難點3 數列與函數、方程的交匯 典例1已知等比數列的公比，前3項和。 （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）若函數在處取得最大值，且最大值為，求的解析式。 點評：本題考察等比數列的通項公式、三角函數的圖象性質，考查運算求

13、解能力，考查函數與方程思想?；A題。 解：（Ⅰ）由題有； （Ⅱ）由（Ⅰ），故，又， 所以 規(guī)避4個易失分點 易失分點1 忽略成立的條件 典例 已知數列滿足， （1）證明是等差數列，并求出公差 （2）求數列的通項公式 解析：（1）由已知，，所以是等差數列，且公差為 （2） 當時，，驗證與不符 故 易失分點2 數列求和中包含的項數不清 典例 設，則等于（ ） A. B. C. D. 解析：容易錯選A，其實仔細觀察會發(fā)現，有項，故選D 易失分點3 數列中的最值求解不當 典例 已

14、知數列滿足則的最小值為___________ 解析：由已知得以上各式相加得 ， 令，由對鉤函數或者求導可以知道在上遞減，在上遞增 又，所以時可能取到最小值，而，故的最小值為 易失分點4 使用錯位相減法求和時對項數處理不當 典例 數列是等差數列，,其中，數列前項和存在最小值. （1）求通項公式; （2）若，求數列的前項和 解：（1）∵ ∴ ………………………………2分 又數列是等差數列， ∴ ∴（）+（）= 解之得：或 …………………4分 當時，，此時公差， 當時，，公差，此時數列前n項和不存在最小值，故舍去。 ∴ ……………6分 （2）由（1）知， …………… ………8分 ∴（點評：此處有一項為0，但是必須寫上，否則會引起混亂） ………10分（點評：不能打亂原有的結構） …………12分