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1、2022年高考數(shù)學(xué) 第九篇 第1講 直線方程和兩直線的位置關(guān)系限時(shí)訓(xùn)練 新人教A版
一、選擇題(每小題5分,共20分)
1.直線2x-my+1-3m=0,當(dāng)m變化時(shí),所有直線都過定點(diǎn) ( ).
A. B.
C. D.
解析 原方程可化為(2x+1)-m(y+3)=0,令解得x=-,y=-3,故所有直線都過定點(diǎn).
答案 D
2.若直線l:y=kx-與直線2x+3y-6=0的交點(diǎn)位于第一象限,則直線l的傾斜角的取值范圍是 ( ).
A. B.
C. D.
解析 如圖,直線l:y=kx
2、-,過定點(diǎn)P(0,-),又A(3,0),∴kPA=,則直線PA的傾斜角為,滿足條件的直線l的傾斜角的范圍是.
答案 B
3.(xx·泰安一模)過點(diǎn)A(2,3)且垂直于直線2x+y-5=0的直線方程為( ).
A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0
C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0
解析 由題意可設(shè)所求直線方程為:x-2y+m=0,將A(2,3)代入上式得2-2×3+m=0,即m=4,所以所求直線方程為x-2y+4=0.
答案 A
4.(xx·江西八所重點(diǎn)高中聯(lián)考)“a=0”是“直線l1:(a+1)x+a2y-3=0與直線l2:2x+ay-2
3、a-1=0平行”的 ( ).
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析 當(dāng)a=0時(shí),l1:x-3=0,l2:2x-1=0,此時(shí)l1∥l2,
所以“a=0”是“直線l1與l2平行”的充分條件;
當(dāng)l1∥l2時(shí),a(a+1)-2a2=0,解得a=0或a=1.
當(dāng)a=1時(shí),l1:2x+y-3=0,l2:2x+y-3=0,
此時(shí)l1與l2重合,所以a=1不滿足題意,即a=0.
所以“a=0”是“直線l1∥l2”的必要條件.
答案 C
二、填空題(每小題5分,共10分)
5.一條直線經(jīng)過點(diǎn)A(-2
4、,2),并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1,則此直線的方程為________.
解析 設(shè)所求直線的方程為+=1,
∵A(-2,2)在直線上,∴-+=1. ①
又因直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1,
∴|a|·|b|=1. ②
由①②可得(1)或(2)
由(1)解得或方程組(2)無解.
故所求的直線方程為+=1或+=1,
即x+2y-2=0或2x+y+2=0為所求直線的方程.
答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0
6.(xx·東北三校二模)已知直線l1:ax+3y-1=0與直線l2:2x+(a-1)y+1=0垂直,則實(shí)數(shù)a=___
5、_____.
解析 由兩直線垂直的條件得2a+3(a-1)=0,解得a=.
答案
三、解答題(共25分)
7.(12分)已知兩直線l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求滿足下列條件的a,b的值.
(1)l1⊥l2,且直線l1過點(diǎn)(-3,-1);
(2)l1∥l2,且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等.
解 (1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)-b=0.
又∵直線l1過點(diǎn)(-3,-1),∴-3a+b+4=0.
故a=2,b=2.
(2)∵直線l2的斜率存在,l1∥l2,∴直線l1的斜率存在.
∴k1=k2,即=1-a.
又∵坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等
6、,
∴l(xiāng)1,l2在y軸上的截距互為相反數(shù),即=b.
故a=2,b=-2或a=,b=2.
8.(13分)已知直線l經(jīng)過直線2x+y-5=0與x-2y=0的交點(diǎn).
(1)點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3,求l的方程;
(2)求點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值.
解 (1)經(jīng)過兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,
∴=3.解得λ=2或λ=.
∴l(xiāng)的方程為x=2或4x-3y-5=0.
(2)由解得交點(diǎn)P(2,1),
如圖,過P作任一直線l,設(shè)d為點(diǎn)A到l的距離,
則d≤|PA|(當(dāng)l⊥PA時(shí)等號(hào)成立).
7、
∴dmax=|PA|=.
B級(jí) 能力突破(時(shí)間:30分鐘 滿分:45分)
一、選擇題(每小題5分,共10分)
1.將一張坐標(biāo)紙折疊一次,使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合,點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m,n)重合,則m+n= ( ).
A.4 B.6 C. D.
解析 由題可知紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)連線的中垂線,即直線y=2x-3,它也是點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m,n)連線的中垂線,于是
解得故m+n=.
答案 C
2.(xx·長沙模擬)若動(dòng)點(diǎn)A,B分別在直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=
8、0上移動(dòng),則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為 ( ).
A.3 B.2 C.3 D.4
解析 依題意知AB的中點(diǎn)M的集合為與直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距離都相等的直線,則M到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離,設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為l:x+y+m=0,根據(jù)平行線間的距離公式得=?|m+7|=|m+5|?m=-6,即l:x+y-6=0,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,得M到原點(diǎn)的距離的最小值為=3.
答案 A
二、填空題(每小題5分,共10分)
3.若兩平行直線3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之間的距離為,則的值為______
9、__.
解析 由題意得,=≠,∴a=-4且c≠-2,
則6x+ay+c=0可化為3x-2y+=0,
由兩平行線間的距離,得=,
解得c=2或c=-6,所以=±1.
答案 ±1
4.(xx·鹽城檢測(cè))已知直線x+2y=2分別與x軸、y軸相交于A,B兩點(diǎn),若動(dòng)點(diǎn)P(a,b)在線段AB上,則ab的最大值為________.
解析 直線方程可化為+y=1,故直線與x軸的交點(diǎn)為A(2,0),與y軸的交點(diǎn)為B(0,1),由動(dòng)點(diǎn)P(a,b)在線段AB上,可知0≤b≤1,且a+2b=2,從而a=2-2b,故ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-22+,由于0≤b≤1,故當(dāng)b=時(shí),ab取得最大值
10、.
答案
三、解答題(共25分)
5.(12分)已知直線l過點(diǎn)P(2,3),且被兩條平行直線l1:3x+4y-7=0,l2:3x+4y+8=0截得的線段長為d.
(1)求d的最小值;
(2)當(dāng)直線l與x軸平行,試求d的值.
解 (1)因?yàn)?×2+4×3-7>0,3×2+4×3+8>0,所以點(diǎn)P在兩條平行直線l1,l2外.
過P點(diǎn)作直線l,使l⊥l1,則l⊥l2,設(shè)垂足分別為G,H,則|GH|就是所求的d的最小值.由兩平行線間的距離公式,得d的最小值為|GH|==3.
(2)當(dāng)直線l與x軸平行時(shí),l的方程為y=3,設(shè)直線l與直線l1,l2分別交于點(diǎn)A(x1,3),B(x2,
11、3),則3x1+12-7=0,3x2+12+8=0,所以3(x1-x2)=15,即x1-x2=5,所以d=|AB|=|x1-x2|=5.
6.(13分)已知直線l1:x-y+3=0,直線l:x-y-1=0.若直線l1關(guān)于直線l的對(duì)稱直線為l2,求直線l2的方程.
解 法一 因?yàn)閘1∥l,所以l2∥l,
設(shè)直線l2:x-y+m=0(m≠3,m≠-1).
直線l1,l2關(guān)于直線l對(duì)稱,
所以l1與l,l2與l間的距離相等.
由兩平行直線間的距離公式得=,
解得m=-5或m=3(舍去).
所以直線l2的方程為x-y-5=0.
法二 由題意知l1∥l2,設(shè)直線l2:x-y+m=0(m≠3,m≠-1).
在直線l1上取點(diǎn)M(0,3),
設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為M′(a,b),
于是有解得即M′(4,-1).
把點(diǎn)M′(4,-1)代入l2的方程,得m=-5,
所以直線l2的方程為x-y-5=0.
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